5) São quantos os números ímpares com três algarismos, que não possuem dígitos repetidos e que de trás para frente também são ímpares?

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1 ANÁLISE COMBINATÓRIA PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM O princípio fundamental da contagem diz que um evento que ocorre em n situações independentes e sucessivas, tendo a primeira situação ocorrendo de m 1 maneiras, a segunda situação ocorrendo de m 2 maneiras e assim sucessivamente até a n- ésima situação ocorrendo de m n maneiras, temos que o número total de ocorrências será dado pelo produto: 1) Quantos são os números naturais de dois algarismos que são múltiplos de 5? 2) Eu possuo 4 pares de sapatos e 10 pares de meias. De quantas maneiras poderei me calçar utilizando um par de meias e um de sapatos? 3) De quantas formas podemos dispor as letras da palavra FLUOR de sorte que a última letra seja sempre a letra R? 5) São quantos os números ímpares com três algarismos, que não possuem dígitos repetidos e que de trás para frente também são ímpares? 6) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilassem sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a: a) 420 b) 480 c) 360 d) 240 e) 60 PERMUTAÇÃO SIMPLES Fórmula da Permutação Simples P n = n! 1) Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra ORDEM? 2) Na fila do caixa de uma padaria estão três pessoas. De quantas maneiras elas podem estar posicionadas nesta fila? 4) Quantos números naturais com 3 algarismos podemos formar que não comecem com 16, nem com 17? 3) Quantos são os anagramas que podemos formar a partir das letras da palavra ERVILHAS, sendo que eles comecem com a letra E e terminem com vogal?

2 4) Um grupo formado por 3 meninos, entre eles Caio e Beto e 6 meninas, entre elas Ana e Bia, compraram 9 lugares lado a lado numa fila. Ana e Bia querem sentar juntas, assim como Caio e Beto. Além disso, todas a s meninas querem sentar juntas e todas os meninos tb. De quantas maneiras esses amigos podem se sentar? 4) Dos números distintos que são formados com todos os algarismos do número , quantos desses são ímpares? PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS Fórmula da Permutação com Elementos Repetidos Se em um dado conjunto um elemento é repetido a vezes, outro elemento é repetido b vezes e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos obter é dada por: 1) Quantos anagramas podemos formar a partir das letras da palavra ARARA? ARRANJO SIMPLES Fórmula do Arranjo Simples Ao trabalharmos com arranjos simples, com n elementos distintos, agrupados p a p, com p n, podemos recorrer à seguinte fórmula: 1) Considerando-se os 25 pilotos participantes, qual o número total de possibilidades para os três primeiros colocados? 2) Quantos anagramas podemos obter a partir das letras da palavra PARAR? 2) Em uma escola está sendo realizado um torneio de futebol de salão, no qual dez times estão participando. Quantos jogos podem ser realizados entre os times participantes em turno e returno? 3) Possuo 4 bolas amarelas, 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 1 bola verde. Pretendo colocá-las em um tubo acrílico translúcido e incolor, onde elas ficarão umas sobre as outras na vertical. De quantas maneiras distintas eu poderei formar esta coluna de bolas? 3) Otávio, João, Mário, Luís, Pedro, Roberto e Fábio estão apostando corrida. Quantos são os agrupamentos possíveis para os três primeiros colocados?

3 COMBINAÇÃO SIMPLES É o típico caso, onde agrupamentos com elementos distintos, não se alteram mudando-se apenas a ordem de posicionamento dos elementos no grupo. A diferenciação ocorre apenas, quanto à natureza dos elementos, quando há mudança de elementos. Neste caso estamos tratando de combinação simples. 4) As 14 crianças de uma família serão separadas em grupos de 5, para que elas arrecadem prendas para a quermesse da fazenda onde vivem. De quantas maneiras as crianças poderão ser agrupadas? Fórmula da Combinação Simples Ao trabalharmos com combinações simples, com n elementos distintos, agrupados p a p, com p n, podemos recorrer à seguinte fórmula: 1) Uma conceituada escola de idiomas está realizando uma promoção onde você escolhe três cursos, dos cinco disponíveis, e paga apenas 2 / 3 do valor da mensalidade de cada um dos cursos escolhidos. Considerando-se os 5 idiomas disponíveis, qual o número total de possibilidades se escolhermos três idiomas de cada vez? 5) Sabe-se que os pontos A,B,C, D, E, F e G são coplanares, ou seja, estão localizados no mesmo plano. Sabe-se, também, que destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão numa mesma reta. Assim, o número de retas que ficam determinadas por estes sete pontos é igual a: a) 16 b) 28 c) 15 d) 24 e) 32 2) Com 12 bolas de cores distintas, posso separá-las de quantos modos diferentes em saquinhos, se o fizer colocando 4 bolas em cada saco? 3) Um fabricante de sorvetes possui a disposição 7 variedades de frutas tropicais do nordeste brasileiro e pretende misturá-las duas a duas na fabricação de sorvetes. Quantos serão os tipos de sorvete disponíveis? 6) De quantas maneiras podem sentar-se três homens e três mulheres em uma mesa redonda, isto é, sem cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens? a) 72 b) 36 c) 216 d) 720 e) 360

4 Lista de exercício de Probabilidade Nome: sala: RA: 4) Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7 fichas verdes. Se retirarmos uma única ficha, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela? 1) Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidade desta bola ser verde? 2) Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedas caírem com a mesma face para cima? 5) Alguns amigos estão em uma lanchonete. Sobre a mesa há duas travessas. Em uma delas há 3 pastéis e 5 coxinhas. Na outra há 2 coxinhas e 4 pastéis. Se ao acaso alguém escolher uma destas travessas e também ao acaso pegar um dos salgados, qual a probabilidade de se ter pegado um pastel? 3) Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulher engravidar é de 20%. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês de tentativas? 6) O jogo de dominó é composto de peças retangulares formadas pela junção de dois quadrados. Em cada quadrado há a indicação de um número, representado por uma certa quantidade de bolinhas, que variam de nenhuma a seis. O número total de combinações possíveis é de 28 peças. Se pegarmos uma peça qualquer, qual a probabilidade dela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face?

5 7) Em uma caixa há 4 bolas verdes, 4 azuis, 4 vermelhas e 4 brancas. Se tirarmos sem reposição 4 bolas desta caixa, uma a uma, qual a probabilidade de tirarmos nesta ordem bolas nas cores verde, azul, vermelha e branca? 10) De uma sacola contendo 15 bolas numeradas de 1 a 15 retira-se uma bola. Qual é a probabilidade desta bola ser divisível por 3 ou divisível por 4? 9) Em uma escola de idiomas com 2000 alunos, 500 alunos fazem o curso de inglês, 300 fazem o curso de espanhol e 200 cursam ambos os cursos. Selecionando-se um estudante do curso de inglês, qual a probabilidade dele também estar cursando o curso de espanhol?

6 Lista de exercício de Analise Combinatória Nome: sala: RA: 3) Oito pessoas irão acampar e levarão quatro barracas. Em cada barraca dormirão duas pessoas. Quantas são as opções de distribuição das pessoas nas barracas? 1) De um total de 6 pratos à base de carboidratos e 4 pratos à base de proteínas, pretendo fazer o meu prato com 5 destes itens, itens diferentes, de sorte que contenha ao menos 2 proteínas. Qual é o número máximo de pratos distintos que poderei fazer? 4) Em uma sapateira irei guardar 3 sapatos, 2 chinelos e 5 tênis. Quantas são as disposições possíveis desde que os calçados de mesmo tipo fiquem juntos, lado a lado na sapateira? 2) Em um refeitório há doces e salgados. Cada pessoa receberá um recipiente com 3 doces, dos 8 tipos disponíveis e apenas 2 salgados, dos 7 tipos fabricados. Quantas são as diferentes possibilidades de preenchimento do recipiente? 5) Grêmio (RS), Flamengo (RJ), Internacional (RS) e São Paulo (SP) disputam um campeonato. Levando-se em conta apenas a unidade da federação de cada um dos clubes, de quantas maneiras diferentes pode terminar o campeonato?

7 6) Um certo número de pessoas pode ser agrupado de duas em duas pessoas, não importando a ordem das mesmas, resultando em 10 diferentes possibilidades de agrupamento. Quantas pessoas fazem parte deste grupo? 9) Perpendiculares a duas retas paralelas não sobrepostas, foram traçadas outras três retas paralelas não sobrepostas. Formaram-se então seis pontos distintos nestes cruzamentos de retas. Quantos triângulos distintos podem formar interligando três pontos quaisquer? 7) Se enfileirarmos 3 dados iguais, obteremos um agrupamento dentre quantos possíveis? 10) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra CALOUROS, tal que sempre haja a presença da sequência OURO, nesta ordem, e as letras C e S nunca estejam juntas qualquer que seja a ordem? 8) Em um pequeno galinheiro há 12 aves, dentre um galo, galinhas, frangos e frangas, no entanto só existe espaço para 10 aves no poleiro. De quantas maneiras distintas elas podem ser empoleiradas, sabendo-se que o poleiro sempre ficará lotado? 11) Uma reunião no Ministério da Fazenda será composta por seis pessoas, a Presidenta, o Vice-Presidente e quatro Ministros. De quantas formas distintas essas seis pessoas podem se sentar em torno de uma mesa redonda, de modo que a Presidenta e o Vice-Presidente fiquem juntos?