Lista de exercícios Defina o espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos aleatórios:

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS Centro de Ciências Agrárias Departamento de Tecnologia Agroindustrial e Socioeconomia Rural Disciplina: Noções de Probabilidade e Estatística (221171) Prof. a Dr. a Simone D. Sartorio de Medeiros Lista de exercícios 8 (Probabilidades) 1. Defina o espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos aleatórios: a) Uma moeda é lançada duas vezes e observam-se as faces obtidas. b) Um dado é lançado duas vezes e a ocorrência de face par ou ímpar é observada. c) Investigam-se famílias com quatro crianças, anotando-se a configuração segundo o sexo (M =Masculino, F =Feminino). d) Lance um dado até que a face 5 apareça pela primeira vez. e) Mede-se a duração de lâmpadas, deixando-as acesas até que queimem. f) Uma urna contém 10 bolas azuis e 10 vermelhas com dimensões rigorosamente iguais. Três bolas são selecionadas ao acaso com reposição e as cores são anotadas. Resposta: a) Ω = {(C, C); (C, R); (R, C); (R, R)}, para C =Cara e R =Coroa; b) Ω = {(P, P ); (P, I); (I, P ); (P, P )}, para P =Par e I =Ímpar; c) Ω = {(M, M, M, M); (M, M, M, F ); (M, M, F, M); (M, F, M, M);... ; (F, F, F, F )}, com o total de 16 pontos amostrais; d) Ω = {(5); (F, 5); (F, F, 5); (F, F, F, 5); (F, F, F, F, 5);...}, em que F =face diferente de 5; e) Ω = {t R t 0}; f) Ω = {(A, A, A); (A, A, V ); (A, V, A); (V, A, A); (A, V, V ); (V, A, V ); (V, V, A); (V, V, V )}, sendo A =azul e V =vermelha. 2. (Magalhães e Lima, 2002 ) Para cada um dos casos abaixo escreva o espaço amostral correspondente e conte o número de elementos. a) Em uma cidade, famílias com 3 crianças são selecionadas ao acaso, anotando-se o sexo de cada uma delas. b) Uma máquina produz 20 peças por hora, escolhe-se um instante qualquer e observa-se o número de defeituosas na próxima hora. c) Uma moeda é lançada consecutivamente até o aparecimento da primeira cara. 3. Três eventos são mostrados no diagrama de Venn na Figura 1. Reproduza a figura e sombreie a região que corresponde a cada um dos seguintes eventos: 1

2 a) A c b) A B c) (A B) C d) (B C) c Figura 1: Diagrama de Venn. e) (A B) c C 4. Três eventos são mostrados no diagrama de Venn na Figura 2. Reproduza a figura e sombreie a região que corresponde a cada um dos seguintes eventos: a) A c b) (A B) (A B c ) c) (A B) C d) (B C) c Figura 2: Diagrama de Venn. e) (A B) c C 5. Seja A o evento passar na disciplina A e B o evento passar na disciplina B. Considerando: P (A) = 1/2, P (B) = 2/3, e P (A B) = 1/4, calcular e interpretar: a) P (A c ) e P (B c ) b) P (A B) c) P (A c B c ) d) P (A c B c ) e) P (A c B) 6. Considere uma urna contendo 3 bolas pretas e 5 bolas vermelhas. Retire duas bolas da urna, sem reposição. a) Obtenha os resultados possíveis e as respectivas probabilidades. b) Refaça o item anterior para extrações com reposição. Calcule as probabilidades dos eventos: c) Bola preta na primeira e segunda extrações. (Resp: 6/56; 9/64) d) bola preta na segunda extração. (Resp: 21/56; 24/64) e) bola vermelha na primeira extração. (Resp: 35/56; 40/64) 7. Uma balança digital é usada para fornecer pesos para o grama mais próximo. 2

3 a) Qual é o espaço amostral para esse experimento? Faça A denotar o evento em que um peso excede 11 gramas; Faça B denotar o evento em que um peso é menor que ou igual a 15 gramas; e Faça C denotar o evento em que um peso é maior que ou igual a 8 gramas e menor que 12 gramas. Descreva os seguintes eventos: b) A B c) A B d) A c e) A B C f) (A C) c g) A B C h) B c C i) A (B C) 8. Se P (A B) = 0, 8; P (A) = 0, 5 e P (B) = x, determine o valor de x no caso de: a) A e B serem mutuamente exclusivos. (Resp: x = 0, 3) b) A e B serem independentes. (Resp: x = 0, 6) 9. Em um certo locus podem ocorrer dois alelos: C e D. Admitamos que os possíveis genótipos têm as seguintes probabilidades: P (CC) = 0, 46; P (CD) = 0, 31; P (DD) = 0, 23. Qual é a probabilidade de que um genótipo contenha: a) o alelo C? (Resp: 0,77) b) o alelo D? (Resp: 0,54) c) Qual a suposição feita em a e b? 10. Em um locus de um certo par de cromossomos, podem ocorrer alelos A e a. Os genótipos AA, Aa, aa tem probabilidades P (AA) = 0, 11; P (Aa) = 0, 37 e P (aa) = 0, 52. Em um locus de outro par de cromossomos podem ocorrer os alelos B e b. Os genótipos BB, Bb, bb tem probabilidades P (BB) = 0, 35, P (Bb) = 0, 25 e P (bb) = 0, 40. Encontrar as probabilidades das combinações genéticas: a) AA junto com BB, isto é AA e BB. (Resp: 0,0385) b) Aa junto com Bb, isto é Aa e Bb. (Resp:0,0925) c) Qual a suposição feita em a e b? 11. Num levantamento em um município sobre a propriedade da terra e o tamanho do estabelecimento agrícola, encontrou-se a seguinte situação: 3

4 45 agricultores proprietários com estabelecimentos menores que 50 hectares. 10 agricultores arrendatários com estabelecimentos menores que 50 hectares. 15 agricultores proprietários com estabelecimentos maiores que 50 hectares. 2 agricultores arrendatários com estabelecimentos maiores que 50 hectares. Ao escolher, ao acaso, algum agricultor do município, qual é a probabilidade de que: a) O agricultor seja arrendatário e o estabelecimento agrícola menor que 50 hectares?(resp: 10/72) b) O estabelecimento agrícola tenha menos de 50 hectares? (Resp: 55/72) 12. A empresa M& B tem empregados, classificados de acordo com a Tabela a seguir: Sexo Idade Homens (H) Mulheres (F) Total < 25 anos (A) anos (B) > 40 anos (C) Total Se um empregado é selecionado ao acaso, calcular a probabilidade de ele ser: a) Um empregado com 40 anos de idade ou menos; (Resp: 0,62) b) Um empregado com 40 anos de idade ou menos, e mulher; (Resp: 0,21) c) Um empregado com mais de 40 anos de idade e que seja homem; (Resp: 0,114) d) Uma mulher, dado que é um empregado com menos de 25 anos. (Resp: 0,286) 13. Um número inteiro é escolhido ao acaso, dentre os vinte primeiros positivos. Qual é a probabilidade do numero inteiro escolhido ser divisivel por 4 ou 6? (Resposta: P (A B) = 0, Um número inteiro é escolhido ao acaso, dentre os vinte primeiros positivos. Verificar se são independentes os eventos A e B no seguinte caso: A = {o número escolhido é par}. B = {o número escolhido é múltiplo de 3}. (Resposta: Os eventos são independentes. 15. Determinar a probabilidade para cada um dos seguintes eventos: a) De aparecer um número ímpar em um único lance de um dado não viciado. b) De surgir um ás, um dez de outro, ou um dois de espadas naretirada de uma carta única de um baralho de 52 cartas. 4

5 16. Uma bola é retirada ao acaso de uma urna que contém 6 vermelhas, 4 brancas e 5 azuis. Determinar a probabilidade dela: a) ser vermelha. b) ser branca. c) ser azul. d) não ser vermelha. e) ser vermelha ou branca. 17. O cruzamento de plantas provenientes de sementes de ervilha amarelas e lisas originou 556 descendentes, que produziram sementes de diversos tipos, distribuídos conforme as proporções abaixo: 315 produziram sementes amarelas e lisas. 108 produziram sementes verdes e lisas. 101 produziram sementes amarelas e rugosas. 32 produziram sementes verdes e rugosas. A partir destes dados, calcule as probabilidades de, em um outro cruzamento idêntico, aparecem as sementes: a) amarelas lisas. b) verdes e lisas ou verdes e rugosas. 18. O seguinte grupo de alunos está numa sala de aula: 5 homens maiores de 21 anos. 5 homens menores de 21 anos. 6 mulheres maiores de 21 anos. 2 mulheres menores de 21 anos. Ao escolher alguém do grupo, qual a probabilidade de que: a) Tenha mais de 21 anos. b) Seja mulher e tenha menos de 21 anos. 19. Dentre 6 números positivos e 8 negativos são sorteados dois números, sem reposição, e multiplicados. Qual a probabilidade de que o produto seja positivo? E negativo? (Dica: usar o diagrama de árvore). (Respostas: P (produto positivo) = 0, 4726; P (produto negativo) = 0, 5274) 20. Considere os eventos A: O animal sorteado tem peso superior a 200kg e B: o animal sorteado é macho, com as seguintes probabilidades associadas: P (A) = 1/4, P (B A) = 1/2 e P (A B) = 1/4. Com base nesses valores, pede-se: 5

6 a) Os eventos A e B são mutuamente exclusivos? Porquê? b) Os eventos A e B são independentes? Porquê? c) Calcule e interprete P (A c B c ) e P (A B c ). (Respostas: a) Não são mutuamente exclusivos porque P (A B) = 1/8; b) São independentes porque 1/4 = P (A B) = P (A) = 1/4; c) P (A c B c ) = 0, 75 e P (A B c ) = 0, 25.) 21. A probabilidade de que o Palmeiras vença seu próximo jogo no Campeonato Paulista é estimada em 70% se não chover, mas só em 50% se chover. Se os registros meteorológicos mostrarem que tem chovido em 40% dos jogos do Palmeiras, qual a probabilidade dele vencer o próximo jogo? E de perder? (Respostas: Dica: Usando o diagrama de árvore...p (G) = 0, 62; P (P ) = 0, 38.) 22. Sabe-se que as aves de um box do galpão experimental para frangos de corte, escolhido ao acaso, recebeu uma nova vacina. Dos seis boxes existentes, os boxes 1, 2 e 3 têm 20 fêmeas e 40 machos, o box 4 tem 20 machos e 40 fêmeas e os boxes 5 e 6 têm 30 machos e 30 fêmeas cada um. Nosso experimento consiste em sortear um desses seis boxes e dentro dele, sortear uma ave. Pede-se: a) Qual a probabilidade da ave sorteada de ser um macho? E ser uma fêmea? b) Sabendo-se que a ave sorteada é uma fêmea, qual a probabilidade dela ter sido retirada do box 1? E do box 4? E do box 5? (Respostas: Dica: Usando o diagrama de árvore...a) P (M) = 0, 5555 e P (F ) = 0, 4445; b) P (1 F ) = P (2 F ) = P (3 F ) = 0, 1251; P (4 F ) = 0, 25; P (5 F ) = P (6 F ) = 0, 1874.) 6