Questões de Exame Resolvidas. Matemática A. 12.º ano. Probabilidades e Combinatória

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1 Questões de Exame Resolvidas Matemática A.º ano Probabilidades e Combinatória

2 Índice Resumo Teórico. Cálculo combinatório. Problemas de contagem 6.. Princípios fundamentais da contagem 6.. Arranjos e combinações 0. Triângulo de Pascal. Binómio de Newton 4.. Triângulo de Pascal 4.. Binómio de Newton 7. Cálculo de probabilidades. Regra de Laplace 9.. Experiência aleatória. Espaço de resultados. Acontecimentos 9.. Regra de Laplace 4 4. Definição axiomática de probabilidade. Acontecimentos independentes Definição axiomática de probabilidade Probabilidade condicionada Probabilidade da interseção de dois acontecimentos Teorema da probabilidade total Acontecimentos independentes Distribuições de probabilidades Distribuição de probabilidades Distribuição binomial Distribuição normal 7

3 Questões de Exame Itens de Seleção. Cálculo combinatório. Problemas de contagem 78. Triângulo de Pascal. Binómio de Newton 88. Cálculo de probabilidades. Regra de Laplace 9 4. Definição axiomática de probabilidade. Acontecimentos independentes Distribuições de probabilidades Itens de Construção. Cálculo combinatório. Problemas de contagem 8. Cálculo de probabilidades. Regra de Laplace 0. Definição axiomática de probabilidade. Acontecimentos independentes 4 4. Distribuições de probabilidades 66 Resoluções das Questões de Exame Itens de Seleção. Cálculo combinatório. Problemas de contagem 8. Triângulo de Pascal. Binómio de Newton 90. Cálculo de probabilidades. Regra de Laplace Definição axiomática de probabilidade. Acontecimentos independentes Distribuições de probabilidades 4 Itens de Construção. Cálculo combinatório. Problemas de contagem 7. Cálculo de probabilidades. Regra de Laplace 9. Definição axiomática de probabilidade. Acontecimentos independentes Distribuições de probabilidades 69 Formulário 88

4 Questões de Exame Itens de Seleção. Cálculo combinatório. Problemas de contagem. Considere todos os números pares com cinco algarismos. Quantos destes números têm quatro algarismos ímpares? A 5 * 5 C 4 B 5 5 C 5! D 5 * 5 A 4. Foram oferecidos dez bilhetes para uma peça de teatro a uma turma com doze rapazes e oito raparigas. Ficou decidido que o grupo que vai ao teatro é formado por cinco rapazes e cinco raparigas. De quantas maneiras diferentes se pode formar este grupo? A C 5 * 8 C 5 B A 5 * 8 A 5 C * 8 * 5 D! * 8! 5!. Na figura ao lado estão representados: o rio que atravessa certa localidade; uma ilha situada no leito desse rio; as oito pontes que ligam a ilha às margens. H representa a habitação e E a escola de um jovem dessa localidade. Para efetuar o percurso de ida casa-ilha-escola e volta escola-ilha-casa, um jovem pode seguir vários caminhos, que diferem uns dos outros pela sequência de pontes utilizadas. Indique quantos caminhos diferentes pode o jovem seguir, num percurso de ida e volta, sem passar duas vezes pela mesma ponte. A 5 * + 4 * B 5 * 4 * * C D 5 * 4. Um novo país, a Colorilândia, quer escolher a sua bandeira, que terá quatro tiras coloridas verticais. Estão disponíveis cinco cores diferentes. Como é óbvio, duas tiras vizinhas não podem ser da mesma cor. Quantas bandeiras diferentes se podem fazer nestas condições? A 5 * 4 B 5 * 4 * * C 5 4 D 78

5 . Cálculo combinatório. Problemas de contagem 5. De quantas maneiras se podem sentar três raparigas e quatro rapazes, num banco de sete lugares, sabendo que em cada um dos extremos fica uma rapariga? A 0 B 40 C 70 D Num torneio de xadrez, cada jogador jogou uma partida com cada um dos outros jogadores. Supondo que participaram no torneio dez jogadores, o número de partidas disputadas foi A 0 C B 0 C 9 C 0! D 0 * 9 7. Os números de telefone de uma certa região têm sete algarismos, sendo os três primeiros por esta ordem. Quantos números de telefone podem existir nessa região? A 0 7 B 0 4 C 7 4 D 0 A 4 8. Admita que tem à sua frente um tabuleiro de xadrez, no qual pretende colocar os dois cavalos brancos, de tal modo que fiquem na mesma fila horizontal. De quantas maneiras diferentes pode colocar os dois cavalos no tabuleiro, respeitando a condição indicada? A 8 * 8 C B 64 C C 64 C 8 D 8 A 9. Considere todos os números de seis algarismos que se podem formar com os algarismos de a 9. Destes números, quantos têm exatamente um algarismo 4? A 8 5 B 9 5 C 6 * 8 5 D 6 * 8 A 5 0. Três rapazes e duas raparigas vão dar um passeio de automóvel. Qualquer um dos cinco jovens pode conduzir. De quantas maneiras podem ocupar os cinco lugares, dois à frente e três atrás, de modo a que o condutor seja uma rapariga e a seu lado viaje um rapaz? A 6 B 0 C D 7 79

6 Questões de Exame Itens de Seleção 5. A tabela de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é: x i P X = x i a a a Qual é o valor de a? A 5 B 4 C D 6. Admita que, numa certa escola, a variável altura das alunas do. ano de escolaridade segue uma distribuição aproximadamente normal, de média 70 cm. Escolhe-se, ao acaso, uma aluna do. ano dessa escola. Relativamente a essa rapariga, qual dos seguintes acontecimentos é o mais provável? A A sua altura é superior a 80 cm. B A sua altura é inferior a 80 cm. C A sua altura é superior a 55 cm. D A sua altura é inferior a 55 cm. 7. Na figura estão representados os gráficos de duas distribuições normais. Uma das distribuições tem valor médio a e desvio -padrão b. A outra distribuição tem valor médio c e desvio-padrão d. Os gráficos são simétricos em relação à mesma reta r. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? A a = c e b > d C a > c e b = d B a = c e b < d D a < c e b = d 8. A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é dada pela tabela: x i 0 4 P X = x i a b b a e b designam números reais A média da variável aleatória X é igual a. Qual é o valor de a e qual é o valor de b? A a = e b = 4 B a = 5 e b = 5 C a = e b = 6 D a = e b = 6 4

7 5. Distribuições de probabilidades 9. Na figura está representado um dado equilibrado, cuja planificação se apresenta esquematizada a seguir. Lança-se este dado duas vezes. Considere as seguintes variáveis aleatórias, associadas a esta experiência: X : número saído no primeiro lançamento. X : quadrado do número saído no segundo lançamento. X : soma dos números saídos nos dois lançamentos. X 4 : produto dos números saídos nos dois lançamentos. Uma destas quatro variáveis tem a seguinte distribuição de probabilidades: Valores da variável Probabilidades Qual delas? A X B X C X D X 4 0. Numa caixa estão três cartões, numerados de a. Extraem-se ao acaso, e em simultâneo, dois cartões da caixa. Seja X o maior dos números saídos. Qual é a distribuição de probabilidades da variável aleatória X? A B x i P X = x i x i P X = x i C D x i P X = x i x i P X = x i 6 5