Universidade Federal de Goiás Campus Catalão Departamento de Matemática

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1 Universidade Federal de Goiás Campus Catalão Departamento de Matemática Disciplina: Álgebra Linear Professor: André Luiz Galdino Aluno(a): 4 a Lista de Exercícios 1. Podemos entender transformações lineares como um tipo apropriado de funções entre espaços vetoriais, pois, como em um espaço vetorial são definidas duas operações, são de interesse as funções que preservam essas operações. Retome a definição de transformação linear e procure observar nela esse sentido. Use na resolução dos itens abaixo, a linguagem simbólica da Matemática. Considere a função f : R 2 R 3, com f(x, y) = (x y, 2x, y). a) Calcule a imagem, por f, dos vetores u = ( 1, 2) e v = (1, 3) e a soma dessas imagens. b) Calcule a imagem, por f, da soma dos vetores u e v. c) Calcule a imagem, por f, do vetor u multiplicado por 3. d) Multiplique a imagem de u por 3. e) Para os vetores e escalar dados nos itens acima, as operações de soma e o produto por escalar são preservadas pela função f? Por quê? f) O que fizemos acima pode ser aceito com a prova de que f é linear? Se não, faça a prova. g) Escreva o conjunto Dom(f), domínio de f. h) Escreva o conjunto CDom(f), contra-domínio de f. i) Escreva o conjunto Im(f). j) Qual dos vetores r = (5, 6, 2) e s = (3, 4, 6) está no conjunto Im(f), imagem de f? Justifique. k) Verifique quais dos vetores p = (2, 5) e q = (0, 0) esta no conjunto N(f), núcleo de f. l) Escreva o subespaço N(f). 2. Seja T : R 2 R 3 a função dada por T (x, y) = (x, x y, y). a) Encontre o vetor de R 2 cuja a imagem pela aplicação de T seja (2, 2, 4). b) Prove que T é uma Transformação Linear. 3. Seja a função f : R 2 R 2 dada por f(x, y) = (x + 2y, 2x 3y). a) Quais são as imagens de u = (2, 1) e v = ( 1, 3)? b) Qual é a imagem de u + v? c) Qual é a imagem de 2u? d) Compare o resultado obtido em b) com os resultados obtidos em a). Podemos afirmar que f(u + v) = f(u) + f(v)? e) Comparando o resultado de c) com a) podemos afirmar que f(2u) = 2f(u)? f) O que fizemos acima pode ser aceito com a prova de que f é linear? Se não, faça a prova. 4. Seja A uma matriz m n e T A : R n R m a aplicação definida por T A (v) = Av onde v R n. Aqui Av é o produto da matrix A m n pelo vetor coluna v n 1. Pág. 1 de 8

2 a) Mostre que T A é uma tranformação linear. b) Como vimos no item a) anterior Toda matriz A m n pode ser usada para definir uma transformação linear T A : R n R m onde a imagem T A (v) é o produto da matriz A m n pelo vetor coluna v n 1. Sendo assim, escreva as transformações lineares T A, T B, T C, T D determinadas respectivamente pelas matrizes: A = , B = [ , C = [ e D = 5. Mostre que as transformações Π 1, Π 2, Π 3, as projetam os vetores de R 3, respectivamente, nos planos xoy, xoz e yoz, são transformações lineares: P 1 (x, y, z) = (x, y, 0), P 2 (x, y, z) = (x, 0, z) e P 3 (x, y, z) = (0, y, z) 6. Mostre que a aplicação T : M m n M n m dada por T (A) = A t, onde A M m n e A t M n m é sua transposta, é uma transformação linear. 7. Verifique se as seguintes transformações são lineares: a) f : R R dada por f(x) = 2x + 3. b) g : R 3 R 3 dada por g(x, y, z) = (x 2, y, 2z). c) h : R R 2 dada por h(x) = (x, x). d) T : R 3 R 2 dada por T (x, y, z) = (x + y, y + z). ([ ) a b e) L : M 2 2 R dada por L = a b c + 2d 1. ([ ) a b c f) J : M 2 3 M 1 3 dada por J = [ a + d b e 0. d e f g) T : P 3 P 3 dada por T (p(t)) = p (t) onde p (t) é a primeira derivada do polinômio de grau 3 p(t). h) G : P 1 P 2 dada por G(p(t)) = t.p(t) + t 2. [ 1 2 i) F : M 2 2 M 2 2 dada por F (v) = 1 1 M 2 2. j) T : R 3 R 2 dada por T (x, y, z) = (y, z). k) H : R 3 R 2 dada por H(x, y, z) = (z, x + y). l) L : R 2 R 3 dada por L(x, y) = (x, y, 1). m) f : R 3 R 2 dada por f(x, y, z) = (0, 0). n) R : R 3 R 2 dada por R(x, y, z) = (x 2 + y, y z). o) S : R 2 R 3 dada por S(x, y) = (x, y, x + 2y). [ 1 2 v v 1 1 p) K : R 4 R 2 dada por K(x, y, z, w) = (x + z, y + w). ([ ) [ a b a 1 b + 1 q) F : M 2 2 M 2 2 dada por F = 2c 3d ([ ) a b r) N : M 2 2 R dada por N = ad. ([ ) a b s) B : M 2 2 R dada por B = a + d [ a b onde v =. Pág. 2 de 8

3 ([ a b t) T : M 2 2 R dada por T ) = a + b c d + 1. u) T : P 2 P 1 dada por T (at 2 + bt + c) = at + b Represente em sua forma matricial as transformações dadas nos itens de j) a p) do exercício anterior. 9. Chamamos uma transformação linear T : V V de operador linear. Assim, mostre que as seguintes transformações de R 2 em R 2 são operadores lineares. a) Reflexão em torno do eixo x: T (x, y) = (x, y). b) Reflexão em torno do eixo y: T (x, y) = ( x, y). c) Reflexão em torno da origem: T (x, y) = ( x, y). d) Reflexão em torno da reta x = y: T (x, y) = (y, x). e) Reflexão em torno da reta x = y: T (x, y) = ( y, x). f) Dilatação ou Contração de fator k na direção do vetor (x, y): T (x, y) = (kx, ky) e k R. Dessa forma temos os seguintes casos: i) Se k > 1 temos uma dilatação; ii) Se k < 1 temos uma contração; iii) Se k < 0 temos uma troca de sentido; iv) Se k = 1 temos o operador identidade. g) Dilatação ou Contração de fator k na direção do eixo x: T (x, y) = (kx, y) com k R e k > 0. h) Dilatação ou Contração de fator k na direção do eixo y: T (x, y) = (x, ky) com k R e k > 0. i) Cisalhamento na direção do eixo x: T (x, y) = (x + ky, y) com k R. j) Cisalhamento na direção do eixo y: T (x, y) = (x, kx + y) com k R. k) Rotação: com 0 θ 2π. T (x, y) = (xcosθ ysenθ, xsenθ + ycosθ) 10. Represente em sua forma matricial as transformações dadas no exercício anterior. 11. Verifique se as seguintes são transformações lineares: a) T (x, y, z) = (x 2, y + z). b) T (x, y, z) = (x, 2y). c) T (x, y) = (x + a, y + b), com a, b R 0. d) T (x, y, z) = x 3y + 1. e) T (x, y) = x. 12. Seja M n n o espaço das matrizes quadradas n n sobre R e T : M n n M n n. Sendo M M n n uma matriz qualquer. A transformação T (A) = AM + MA é linear? 13. Para que valores de k R o operador T no R 3 tal que T (x, y, z) = (2x+3k, y, 3z) é linear? 14. Sejam v = (0, 1), u = (1, 0), t = (2, 1) e w = (1, 2) e T : R 2 R 2 tal que T (x, y) = (2x, 2y), a qual define a dilatação de fator 2 na direção do vetor (x, y). Represente v, u, t, w, T (u), T (v), T (t) e T (w) em um sistema de eixos cartesianos. Pág. 3 de 8

4 15. Considere a transformação T : R 2 M 2 1 tal que [ 1 2 T (x, y) = 0 3 Determine T (1, 1), T ( 3, 4) e T (x, y). 16. Como vimos na sala de aula, se T : V W é uma transformação linear temos: com a 1, a 2 R e v 1, v 2 V.. [ x y T (a 1 v 1 + a 2 v 2 ) = T (a 1 v 1 ) + T (a 2 v 2 ) = a 1 T (v 1 ) + a 2 T (v 2 ) Este fato pode ser generalizado. Assim, T (a 1 v 1 + a 2 v a n v n ) = a 1 T (v 1 ) + a 2 T (v 2 ) + + a n (v n ), ou seja, a imagem de uma combinação linear de vetores de V é a combinação linear, de mesmos escalares, das imagens T (v 1 ), T (v 2 ),, T (v n ). Um fato muito importante, que decorre dessa propriedade é que: Uma transformação linear fica completamente determinada se conhecemos as imagens dos vetores de uma base do espaço vetorial domínio. Assim, se T : V W é uma transformação linear, então nós só precisamos saber como T atua nos vetores de uma base de V para determinarmos a imagem de qualquer outro vetor u V. Para ver esse fato tomemos, B = v 1, v 2,, v n, uma base de V e qualquer outro vetor u V. Como B é uma base de V, existem únicos escalares a 1, a 2,, a n tais que: v = a 1 v 1 + a 2 v a n v n. Assim, e, sendo T linear, temos T (v) = T (a 1 v 1 + a 2 v a n v n ) T (v) = a 1 T (v 1 ) + a 2 T (v 2 ) a n T (v n ). Com base no visto acima responda os seguintes quetionamentos: a) Seja a transformação linear T : R 3 R 2 e sejam T (1, 0, 0) = (2, 3), T (0, 1, 0) = ( 1, 4) e T (0, 0, 1) = (5, 3). i) Calcular T (3, 4, 5). ii) Calcular a imagem de um vetor u qualquer de R 3. iii) Qual é a transformação T? b) Escreva a lei que define a transformação linear f : R 2 R 3 sabendo que f(1, 1) = (3, 2, 1) e f(0, 2) = (0, 1, 0). c) Considere as bases do R 2, A = {(1, 0), (0, 1)} e B = {( 1, 1), (1, 2)}, e a transformação linear f tal que: f(1, 0) = (1, 2),, f(0, 1) = (1, 1), f( 1, 1) = (0, 3) e f(1, 2) = ( 1, 4). i) Calcule a imagem, por f, do vetor v = (2, 5) de dois modos: primeiro, utilizando as imagens dos vetores da base A e, depois, utilizando as imagens dos vetores da base B; ii) Determine, também pelos dois modos sugeridos acima, a lei de f, ou seja, f(x, y). Pág. 4 de 8

5 d) Sendo G : P 2 P 3, uma transformação linear e G(1) = 1, G(t) = t 2 e G(t 2 ) = t 3 + t, obtenha i) G(2t 2 5t + 3). ii) G(at 2 + bt + c). 17. Seja f : R 2 R 4 com f(1, 0) = (1, 2, 1, 0) e f(0, 1) = (2, 1, 1, 1), ache, na ordem que julgar conveniente: a)f(2, 1) b)f(3, 1) c)f(0, 0) d)f(x, y) 18. Seja L : R 2 R 2 tal que L(1, 1) = (1, 2) e L( 1, 1) = (2, 3) ache: a)l( 1, 3) b)l(a1, a2) 19. Seja T : P 2 P 3 tal que T (1) = 1, T (t) = t 2 e T (t 2 ) = t 3 + t. Ache: a)t (2t 2 + 5t + 3) b)t (at 2 + bt + c) 20. Seja L : P 1 P 1 tal que L(t + 1) = 2t + 3 e L(t 1) = 3t 2. a)l(6t 4) b)l(at + b) 21. Encontre a lei que define a transformação linear T : R 2 R 2 que faz associar cada vetor v = (x, y) à sua reflexão em torno do eixo y. Determine T ( 2, 3) e represente no sistema de eixos cartesianos. 22. Seja T : R 3 R 2 uma transformação linear tal que T (1, 0, 0) = (2, 4), T (0, 1, 0) = (3, 5) e T (1, 1, 1) = (1, 1). Indique a lei de T. 23. Seja T : R 3 R 2 uma transformação linear definida por T (1, 1, 1) = (1, 2), T (1, 1, 0) = (2, 3) e T (1, 0, 0) = (3, 4). a) Determine T (x, y, z). b) Determine (x, y, z) R 3 tal que T (x, y, z) = ( 3, 2). c) Determine (x, y, z) R 3 tal que T (x, y, z) = (0, 0). 24. Calcule o núcleo e o conjunto imagem das transformações abaixo: a) T (x, y, z) = (x + 2y + 3z, 3x + 2y + z). b) T (x, y) = (x + y, 2x y, x + 3y). c) T (x, y) = x + y. 25. Seja o operador linear T de R 3 tal que T (x, y, z) = (x + 2y, y, x + z). Mostre que T é um isomorfismo Seja T A a transformação linear associada a matriz a) Ache o núcleo N(T ). b) Ache a imagem Im(T ). c) T é sobrejetora? E injetora? 27. Mostre que uma transformação linear T : V W é injetora se, e somente se, N(T ) = {0}. Solução: A demonstração dessa propriedade tem duas partes: Pág. 5 de 8

6 i) T é injetora N(T ) = {0}. De fato, seja v N(T ), ou seja, T (v) = 0. Por outro lado, sabe-se que T (0) = 0. Logo T (v) = T (0). Como por hipótese T é injetora, então v = 0. Portanto, o vetor nulo 0 é o único elemento do núcleo, isto é, N(T ) = {0}. ii) N(T ) = {0} T é injetora. De fato, Sejam u, v V tais que T (u) = T (v). Então, T (u) T (v) = T (u v) = 0 Logo, u v N(T ). Mas, por hipótese, o único elemento do núcleo é o vetor nulo 0, assim u v = 0 u = v Portanto. T é injetora. E assim termina a demonstração. 28. Determine o núcleo das seguintes transformações lineares. A transformação T é injetora? a) T (x, y) = (x + y, 2x y). b) T (x, y, z) = (x y + 4z, 3x + y + 8z) 29. Considere a transformação T : R 2 R 3 definida por T (x, y) = (x + y, 0, 2x y). Verifique que a transformação é linear e determine o seu núcleo. 30. Considere a transformação T : R 2 R 2 tal que T (x, y) = (1, y). Explique porque é que a transformação T não é linear. 31. Determine o núcleo e a imagem daa transformações T (x, y, z) = (x, y, 0), G(x, y, z) = (x + y z, 2x + y + z, x + 2y) e f(x, y, z, s, t) = (x + 2y + z 3s + 4t, 2x + 5y + 4z 5s + 5t, x + 4y + 5z s 2t) 32. Seja T : R 2 R 2 a transformação linear definida por T (x, y) = (x, 0). a) (0, 2) N(T )? b) (2, 2) N(T )? c) (3, 0) Im(T )? d) (3, 2) Im(T )? e) Encontre N(T ). f) Encontre Im(T ). 33. Seja f : R 4 R 3 definida por f(x, y, z, w) = (x + y, z + w, x + z). a) Verifique se os vetores u = (0, 0, 0, 0), v = (1, 2, 2, 1), s = (3, 3, 3, 3) pertencem ao núcleo de f. b) Encontre N(f). c) Encontre dois vetores w e r pertencentes a Im(f). 34. Seja L : P 3 P 3 a transformação linear definida por L(at 3 +bt 2 +ct+d) = (a b)t 3 +(c d)t. a) t 3 + t 2 + t 1 N(L)? b) t 3 t 2 + t 1 N(L)? c) 3t 3 t Im(L)? d) Encontre N(L) e Im(L). Pág. 6 de 8

7 35. Consideremos o operador linear definido por T (x, y) = (4x + 5y, 2x + y). Determine os autovalores e autovetores de T. 36. Determine os autovalores e autovetores das seguintes matrizes: [ A = 0 3 5, B = , C = e D = [ Sendo λ um autovalor de uma transformação linear T : V V, o conjunto W λ = {u V T (u) = λu} é um subespaço vetorial de V, formado pelo vetor nulo e por todos os autovalores associados a λ. Esse conjunto é chamado de subespaço associado ao autovalor λ. a) Mostre que é um subespaço vetorial de V. b) Encontre os autovalores λ i, com i = 1, 2, 3, os subespaços associados a casa autovalor para o operador linear T : R 3 R 3 definido por T (x, y, z) = (2x z, 2y, x + 2z). 38. Referente ao exercício anterior: Chame de v i um dos autovetores associados ao autovalor λ i. a) Quantos autovalores λ i foram obtidos para o operador T : R 3 R 3 definido? b) Um autovetor associado ao correspondente autovalor formam o que designamos autopar. Assim são os autopares: i) λ 1 =..., v 1 =... ii) λ 2 =..., v 2 =... iii) λ 3 =..., v 3 =... c) O conjunto {v 1, v 2, v 3 } forma uma base de R 3? [ Seja A =. Ache os autovalores de A e de A 1 1 1, e os autovetores correspondentes. 40. Ache os autovalores e autovetores das transformações lineares T (x, y) = (x + y, 2x + y) e G(x, y) = (4x + 5y, 2x + y) e. 41. Determine os autovalores e autovetores das seguintes matrizes [ [ [ A =, B =, C = , D = F = K = [ , G =, L = [ , H = [ [ 1 4, I = Verificar, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores: [ 1 3 a) ( 2, 1) para T = b) ( 2, 1, 3) para T = [ 1 2, E = 0 1 [ 5 6, J = Determinar os autovalores e os autovetores dos seguintes operadores lineares no R 2.,, Pág. 7 de 8

8 a) T (x, y) = (x + 2y, x + 4y). b) T (x, y) = (y, x). 44. Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas: a) T : R 2 R 2 tal que T (x, y) = (x + y, 2x + y). b) T : R 4 R 4 tal que T (x, y, z, w) = (x, x + y, x + y + z, x + y + z + w) 45. Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo. Em cada parte, A é uma matrix n n. a) Se Av = λv para algum escalar não-nulo λ, então v é um autovetor de A. b) Se λ não é um autovalor de A, então o sistema linear (λi A)v = 0 só tem a solução trivial. c) Se λ = 0 é um autovalor de A, então A 2 não é invertível. d) Se o polinômio característico de A é p(λ) = λ n + 1, então A é invertível. Pág. 8 de 8 Fim da Lista de Exercícios Boa Sorte!