ARRANJO E COMBINAÇÃO. n! n,p. =, com n p. (n - p)! 4! 4! 4,3 = = = 4! = = 24 (4-3)! 1! Prof. Rivelino Matemática Básica TIPOS DE AGRUPAMENTOS

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1 RRNJO E COMBINÇÃO TIPOS DE GRUPMENTOS Problema 01 n! n,p =, com n p. (n - p)! No problema 01, devemos contar quantas sequências de três seleções podemos formar com as quatro seleções semifinalistas. 4! 4! 4,3 = = = 4! = = 24 (4-3)! 1! Existem 24 maneiras diferentes para os três primeiros lugares. Nos jogos Olímpicos de 2008, em Pequim, as quatro seleções semifinalistas do voleibol masculino foram: Brasil, Itália, Rússia e EU. De quantas maneiras distintas poderiam ter sido definidos os três primeiros lugares? Problema 02 Cada maneira possível para os três primeiros lugares é uma sequência ordenada de três seleções escolhidas entre as quatro semifinalistas. { Brasil, Itália, E.U. } ; { E.U., Brasil, Itália }... Observe que neste problema, embora os três primeiros lugares sejam formados pelas mesmas equipes, os grupos diferem pela ordem (colocações). Esse tipo de problema é resolvido pela idéia de arranjo. RRNJO Chamamos de arranjo de n elementos tomados p a p, a qualquer agrupamento ordenado dos p elementos distintos escolhidos dos n elementos existentes. Para calcularmos o número de arranjos simples de n elementos tomados p a p, utilizamos: De quantas maneiras diferentes manda pode escolher quatro, entre os oito vestidos que possui, para levar a uma viagem para Jericoacoara? Vejamos estas duas escolhas de manda: {v } = {v } Observe que não importa em que ordem manda escolhe os vestidos que vai levar, o que importa é que os vestidos escolhidos são os mesmos na primeira e na segunda situação. Este tipo de problema é resolvido pela idéia de combinação. 1 Repita com fé: Eu Vou Passar

2 COMBINÇÃO Chamamos de combinação de n elementos tomados p a p, a qualquer agrupamento não ordenado dos p elementos distintos escolhidos dos n elementos existentes. Para calcularmos o número de combinações simples de n elementos tomados p a p, utilizamos: n! C n,p =, com n p. p!.(n - p)! No problema 02, devemos contar quantos subconjuntos de 4 elementos podemos formar com um conjunto formado por 8 elementos. 3. Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissões de 5 pessoas, com exatamente 3 homens, podem ser formadas? a) 60 b) 30 c) 15 d) 5 4. Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissões de 5 pessoas, com pelo menos 3 homens, podem ser formadas? a) 81 b) 64 c) 49 d) 36 8! 8! ! C 8,4 = = = = = 70 4!.(8 4)! 4!.4! ! Júlio deseja pintar a palavra LIVRE em um cartaz de publicidade, usando uma cor em cada letra. De Existem 70 maneiras diferentes de escolher 4 quantos modos isso pode ser feito, se ele dispõe vestidos entre 8 vestidos que possui. de 8 cores de tinta? EXERCÍCIOS a) 56 b) Quantas saladas contendo exatamente quatro c) 3360 frutas podemos formar se dispomos de 10 frutas d) 6720 diferentes? a) (ESF) Em um grupo de dança, participam 10 b) 2520 meninos e 10 meninas. O número de diferentes c) 420 grupos de cinco crianças, que podem ser d) 210 formados, de modo que em cada um dos grupos participem três meninos e duas meninas, é dado 2. Duas pessoas entram num ônibus que tem 7 por: lugares vagos. De quantas maneiras diferentes as a) pessoas podem ocupar esses lugares? b) 6200 a) 48 c) 6800 b) 42 d) 7200 c) 36 e) 7800 d) Repita com fé: Eu Vou Passar

3 7. (ESF) Uma empresa possui 20 funcionários, dos quais 10 são homens e 10 são mulheres. Desse modo, o número de comissões de 5 pessoas que se podem formar com 3 homens e 2 mulheres é: a) 5400 b) 165 c) 1650 d) 5830 e) 5600 Simpósio de Matemática do próximo ano. O grupo é composto de 15 rapazes e de um certo número de moças. Os rapazes cumprimentam-se, todos e apenas entre si, uma única vez; as moças cumprimentam-se, todas e apenas entre si, uma única vez. Há um total de 150 cumprimentos. O número de moças é, portanto, igual a: a) 10 b) 14 c) (ESF) Marcam-se 5 pontos sobre uma reta r e 8 pontos sobre uma reta r` paralela a r. O número de d) 25 e) 45 n triângulos com vértices em 3 desses 13 pontos é dado por: a) n=230 b) n=220 c) n=320 d) n= (UFRJ) Certa competição de esportes envolve atletas de três faixas etárias. faixa compreende atletas de 11 a 20 anos; a B, de 21 a 30 anos; e a C, de 31 a 40 anos. Uma equipe é formada com um atleta da faixa, dois da faixa B e um da faixa C. Numa academia, há 5 atletas na 9. (ESF) Um grupo de dança folclórica, formado por sete meninos e quatro meninas, foi convidado a realizar apresentações de dança no exterior. Contudo, o grupo dispõe de recursos para custear as passagens de apenas seis dessas crianças. Sabendo-se que, nas apresentações do programa de danças, devem participar pelo menos duas faixa, 12 na faixa B e 8 na faixa C. O número de modos possíveis para se formar uma equipe é: a) 480 b) 1320 c) 2640 d) 5280 e) meninas, o número de diferentes maneiras que as seis crianças podem ser escolhidas é igual a: a) 286 b) 756 c) 468 d) 371 e) (ESF) Num vôo da ponte aérea Rio São Paulo, há apenas 7 lugares disponíveis e um grupo de 10 pessoas pretende embarcar nesse vôo. De quantas maneiras é possível lotar o vôo? a) 100 b) 132 c) (ESF) Um grupo de estudantes encontra-se d) 120 reunido em uma sala para escolher, e) 90 aleatoriamente, por sorteio, quem entre eles irá ao 3 Repita com fé: Eu Vou Passar

4 13. (FCC) Uma pessoa joga seis partidasencendo três e perdendo três. Em quantas ordens diferentes podem ocorrer suas vitórias e derrotas? a) 18 b) 20 c) 36 d) Quantos subconjuntos de 4 elementos possuem um conjunto de 6 elementos? a) 360 b) 180 c) 90 d) 30 e) 15 e) (ESF) Na Mega-Sena são sorteadas seis 14. Em um edifício residencial, os moradores foram convocados para uma reunião, com a finalidade de escolher um síndico e quatro membros do conselho fiscal, sendo proibida a acumulação de cargos. escolha deverá ser feita entre dez moradores. De quantas maneiras diferentes será possível fazer estas escolhas? a) 64 b) 126 c) 252 d) 640 e) 1260 dezenas de um conjunto de 60 possíveis ( as dezenas sorteáveis são 01, 02, 03,..., 60 ). Uma aposta simples (ou aposta mínima), na Mega- Sena, consiste em escolher 6 dezenas. Pedro sonhou que as seis dezenas que serão sorteadas no próximo concurso da Mega-Sena estarão entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45. O número mínimo de apostas simples para o próximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve fazer para ter certeza matemática que será um dos ganhadores caso o seu sonho esteja correto é: a) 08 b) (ESF) Em um campeonato de padel participam 10 duplas, todas com a mesma probabilidade de vencer. De quantas maneiras poderemos ter a c) 40 d) 60 e) 84 classificação para os três primeiros lugares? a) 240 b) 270 c) 420 d) 720 e) Se o conjunto X tem 45 subconjuntos de 2 elementos, então o número de elementos de X é igual a: a) 10 b) 20 c) (ESF) Quantas comissões compostas de 4 pessoas cada uma, podem ser formadas com 10 d) 45 e) 90 funcionários de uma empresa? a) 120 c) 720 e) 5040 b) 210 d) Repita com fé: Eu Vou Passar

5 GBRITO D B D B D C D B E D B E B Repita com fé: Eu Vou Passar