Caique Tavares. Probabilidade Parte 1

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1 Caique Tavares Probabilidade Parte 1

2 Probabilidade: A teoria das probabilidades é um ramo da Matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios. Principais assuntos abordados em probabilidade: Porcentagens; Conjuntos; Análise Combinatória. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2

3 Espaço Amostral: Espaço amostral: é o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um determinado experimento ou fenômeno. No experimento aleatório lançar um dado e registrar o seu resultado, temos: espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 3

4 Evento: Evento: é qualquer subconjunto do espaço amostral. Quando um evento coincide com o espaço amostral, ele é chamado evento certo. Quando um evento é vazio, ele é chamado evento impossível. E quando a intersecção de dois eventos é o conjunto vazio, eles são chamados eventos mutuamente exclusivos. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4

5 Evento: No experimento aleatório lançar um dado e registrar o seu resultado, temos: espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; A: ocorrência de um número menor que 7 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (evento certo); B: ocorrência de um número maior que 6 B = Ø (evento impossível); C: ocorrência de número par C = {2, 4, 6}; UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 5

6 Evento D: ocorrência de múltiplo de 3 D = {3, 6}; E: ocorrência de número par ou ocorrência de múltiplo de 3 E = C D = {2, 4, 6} {3, 6} = {2, 3, 4, 6} (união); F: ocorrência de número par e ocorrência de múltiplo de 3 E = C D = {2, 4, 6} {3, 6} = {6} (intersecção). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 6

7 Exercício 1: No lançamento simultâneo de duas moedas distinguíveis, defina o espaço amostral e os eventos A: ocorrência de exatamente uma cara; B: ocorrência de coroa em ambas; C: ocorrência de pelo menos uma cara. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 7

8 Exercício 1: Resolução: espaço amostral: Ω = {cara, cara; cara, coroa; coroa, coroa; coroa, cara}; evento A: A = {cara, coroa; coroa, cara} evento B: B = {coroa, coroa}; evento C: C = {cara, cara; cara, coroa; coroa, cara}. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 8

9 Exercício 2: Defina o espaço amostral do experimento retirar uma carta, ao acaso, de um baralho de 52 cartas e os eventos A: ocorrência de ás; B: ocorrência de ás de ouros; C: ocorrência do número 2. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 9

10 Exercício 2: Resolução: espaço amostral: 52(total de cartas); evento A: 4 áses (paus, espadas, ouros e copas); evento B: 1 ás de ouros ; evento C: 4 números 2 (paus, espadas, ouros e copas). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 10

11 Cálculos de Probabilidades p(a) = número de elementos de A números de elementos de Ω = n(a) n(ω) ou p(a) = número de resultados favoráveis números total de resultados póssiveis 0 p(a) 1 Quando p(a) = 0, A é um evento impossível Quando p(a) = 1, A é um evento certo UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 11

12 Exercício 3: No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair número maior do que 4? a) 66% b) 50% c) 33% d) 100% e) Não existe essa probabilidade UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 12

13 Exercício 3: Resolução: Espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(ω) = 6; A: ocorrência de número maior do que 4 A = {5, 6} n(a) = 2; Logo, p(a) = n(a) n(ω) = 2 6 = 1 3 = 33, %. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 13

14 Exercício 4: Um casal planeja ter exatamente 3 crianças. Qual é a probabilidade de que todas as crianças sejam do mesmo sexo? a) 75,00% b) 12,50% c) 50,00% d) 37,50% e) 25,00% Dica: Para resolver essa questão é interessante desenhar um diagrama de árvore para mostrar todos os possíveis arranjos de meninos e meninas. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 14

15 Exercício 4: Resolução: X X Y X X Y Y X X Y Y X Y Y X: menino Y: menina Ω = {(X, X, X), (X, X, Y), (X, Y, X), (X, Y, Y), (Y, X, X), (Y, X, Y), (Y, Y, X), (Y, Y, Y)} A: sejam do mesmo sexo A = {(X, X, X), (Y, Y, Y)} n(a) = 2 p(a) = 2 8 = 0,25 p(a) = 25% UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 15

16 Exercício 5 : Numa enquete foram entrevistados 80 pessoas sobre os meios de transporte que utilizavam para ir ao trabalho e/ou à escola. Quarenta e duas responderam ônibus, 28 responderam carro e 30 responderam moto. Doze utilizavam-se de ônibus e carro,14 de carro e moto e 18 de ônibus e moto. Cinco utilizavam-se dos três: carro, moto e ônibus. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 16

17 Exercício 5 : Qual é a probabilidade de que uma dessas pessoas, selecionadas ao acaso, utilize somente ônibus? a) 27,50% b) 21,25% c) 08,75% d) 52,50% e) 21,25% UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 17

18 Exercício 5 : Transporte Entrevistados A ônibus 42 B carro 28 C moto 30 D ônibus e carro 12 E carro e moto 14 F ônibus e moto 18 G carro, ônibus e carro 5 Dica: Para resolver essa questão é interessante desenhar um diagrama. Note, que a questão não restringe cada opção de transporte. Portanto o conjunto dos eventos A, B e C não possuem apenas pessoas que utilizam apenas um transporte, como também D, E e F não possuem pessoas que utilizam apenas dois transportes. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 18

19 Exercício 5 : Resolução: Diagrama A 17 D 7 7 F E G C X: somente ônibus X = A (D G) (F G) G = = 17 n(x) = 17 p(x) = = 0,2125 p(x) = 21,25%. 3 B UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 19