Para cada um dos experimentos abaixo, descreva o espaço amostral e dê o número de seus elementos.

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1 1 Exercício 1 Para cada um dos experimentos abaixo, descreva o espaço amostral e dê o número de seus elementos. (a) Numa linha de produção conta-se o número de peças defeituosas num intervalo de uma hora. (b) Um fichário com dez nomes contém três nomes de mulheres. Seleciona-se ficha após ficha, até o último nome de mulher ser selecionado, e anota-se o número de fichas selecionadas. (c) De uma população de diabéticos, três pessoas são selecionadas ao acaso com reposição e anota-se o sexo de cada um delas. (d) Uma amostra de água é retirada de um rio e observa-se a concentração de oxigênio dissolvido na água (mg/ml). (e) De um grupo de cinco pessoas A, B, C, D, E, sorteiam-se duas, uma após outra, com reposição, e anota-se a configuração formada. (f) Como ficaria o espaço amostral do item (e) se as retiradas fossem sem reposição? (a) Ω = {0, 1, 2, } (b) Ω={3,4,5,6,7,8,9,10}, 8 elementos. (c) Ω={FFF, FFM, FMF, MFF, FMM, MFM, MMF, MMM}, onde F representa o sexo feminino e M o masculino. 8 elementos (d) Ω={c : c 0}, tal que c é a concentração de oxigênio dissolvido na água (mg/ml). (e) Ω={AA, AB, AC, AD, AE, BA, BB, BC, BD, BE, CA, CB, CC, CD, CE, DA, DB, DC, DD, DE, EA, EB, EC, ED, EE.}, 25 elementos (f) Ω={AB, AC, AD, AE, BA, BC, BD, BE, CA, CB, CD, CE, DA, DB, DC, DE, EA, EB, EC, ED.}, 20 elementos. Exercício 2 De uma urna contendo 5 bolas brancas e 3 bolas pretas retiramos duas bolas aleatoriamente. Sejam os eventos: A: A primeira retirada resulta em bola branca; B: A segunda retirada resulta em bola branca. Se as retiradas são sem reposição, verifique se as afirmações abaixo são falsas. (a) = P(B); (b) A e B são independentes.

2 2 : Note que, Tabela 1: Probablidade 5 BB = 20 3 PB = 15 5 BP = 15 3 PP = 6 a) Defina, C: A primeira retirada resulta em bola preta. P(B) = P(B A) + P(B C) = = = 35 = 5 8 = Portanto, = P(B) e a afirmação não é falsa. b) Do item anterior P(B) = 5 8. Como, P(B A) = 4 7 então, P(B) P(B A) e portanto a afirmação que A e B são independentes é falsa. Exercício 3 Considere que as probabilidades relacionadas aos eventos G: gostar de gatos e A: gostar de cachorros sejam P(G) = 1/4; P(A G) = 1/2 e P(G A) = 1/4. Responda: (a) Os eventos G e A são mutuamente exclusivos? Justifique. (b) Os eventos G e A são independentes? Justifique. (c) Calcule a probabilidade de não gostar de gatos dado que gosta de cachorros. (d) Calcule a probabilidade de não gostar de gatos e não gostar de cachorros. : a) Observe que P(A G) = P(A G)P(G) = = De modo que, A G. Portanto, A e G não são mutuamente exclusivos. b) Note que, = P(A G) P(G A) = 1/8 1/4 = 1 2 > 0. Temos, P(G A) = P(G), > 0, logo G e A são independentes.

3 3 c) Defina o evento, G c ={Não gostar de gatos.} Resultado 1 Se A e G são independentes, > 0 então A e G c são independentes. De fato, P(G c A) = P(A Gc ) = P(A G) = P(G) = 1 P(G) = P(G c ) Note item (b) vimos que A e G são independentes, portanto, do resultado anterior segue que G c e A também são independentes e assim, P(G c A) = P(G c ) = 1 P(G) = = 3 4. d) Defina o evento, A c ={Não gostar de cachorros.} Como os eventos A e G c são independentes (item c) segue que A c e G c também são independentes e assim, P(A c G c ) = P(A c )P(G c ) = (1 )(1 P(G)) = = 3 8 Outra forma, P(A c G c ) = 1 P((A c G c ) c ) = 1 P(A G) = 1 ( + P(G) P(A G)) = 1 (1/4 + 1/2 1/8) = 3/8. Uma vez que A e G são independentes (como visto anteriormente) e temos que P(A G) = P(G) = 1/8. Exercício 4 Os estudantes da Universidade, cuja área de estudo e sexo foram registradas, responderam à seguinte questão: Você é a favor, contrário, ou não tem opinião sobre a democratização do acesso à Universidade para estudantes da Escola Pública? Os resumos das respostas estão no quadro: Tabela 2: Valores Ordenados das despesas fixas e pessoais em cada departamento. Área Sexo Opinião Sim não nto Exatas masc fem Humanas masc fem Biológicas masc fem Se dentre os alunos escolhemos um aleatoriamente, qual é a probabilidade de: (a) Ser do sexo feminino e ser favorável; (b) Ser contrário, sabendo-se que é da área das exatas; (c) Ser do sexo feminino e da área das biológicas, sabendo-se que não tem opinião.

4 4 O espaço amostral é dado por, Ω={10000 estudantes da universidade.} a) Defina os eventos, F={O estudante entrevistado é do sexo feminino}, S={O estudante entrevistado é favorável a democratização do acesso à universidade para estudantes da escola pública.} P(F S) = = 970 = 0, b) Defina os eventos, E={O estudante entrevistado é da área de exatas}, C={O estudante entrevistado é contrário democratização do acesso à universidade para estudantes da escola pública.} P(C E) = P(C E) P(E) = 1500/ /10000 = = c) Defina os eventos, B={O estudante entrevistado é da área de biológicos}, N={O estudante entrevistado não tem opinião} P(F B N) = P(F B N) P(N) = 430/ /10000 = = Exercício 5 Em um bairro existem três empresas de TV a cabo e 20 mil residências. A empresa TA tem 2100 assinantes, a TB tem 1850 e a empresa TC tem 2600 assinantes, sendo que algumas residências em condomínios subscrevem aos serviços de mais de uma empresa. Assim, temos 420 residências que são assinantes de TA e TB, 120 de TA e TC, 180 de TB e TC e 30 que são assinantes das três empresas. Se uma residência desse bairro é sorteada ao acaso, qual é a probabilidade de: (a) Ser assinante somente da empresa TA? (b) Assinar pelo menos uma delas? (c) Não ser assinante de TV a cabo? O espaço amostral é dado por, Ω={ residências de um bairro.} Defina os eventos, A={A residência é assinante da empresa TA}, B={A residência é assinante da empresa TB}, C={A residência é assinante da empresa TC}, N={A residência não é assinante de nenhuma empresa}.

5 5 a) A probabilidade de ser assinante somente da empresa TA é dada por, P(A B c C c ) = P(A B) P(A C) + P(A B C) = = 1590 = 0, b) A probabilidade de ser assinante de pelo menos uma das empresas é:. P(A B C) = + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) +P(A B C) = = 5860 = 0, 293 c) A probabilidade de não ser assinante de tv a cabo: P(N) = 1 P(TA TB TC) = 5860 = = 0, 707. Observação: Total de assinantes só da empresa TA: 1590; total de assinantes somente da empresa TB: 1280; total de assinantes somente da empresa TC: 2330; total de assinantes somente das empresas TA e TB: 390, total de assinantes somente das empresas TA e TC: 90, total de assinantes somente das empresas TC e TB 150.