1 Experimento Aleatório 2 - Espaço Amostral 3 Eventos Mutuamentes Exclusivos 4 Experimentos de Contagem. Francisco Cysneiros

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1 Probabilidade bilid d 1 Experimento leatório 2 - Espaço mostral 3 Eventos Mutuamentes Exclusivos 4 Experimentos de Contagem Francisco Cysneiros

2 Introdução Se tomarmos um determinado sólido, sabemos que a uma certa temperatura haverá a passagem para o estado líquido: Experimento Determinístico. Quais as chances das vendas de uma empresa crescerem? Existem dois resultados possíveis: as vendas crescem ou não crescem Experimento leatório.

3 Experimento leatório Processo de observação cujo resultado não é determinado. O que caracteriza um experimento aleatório - possibilidade de repetição sob as mesmas condições - Os resultados não são determinados a priori - Existência de regularidade quando o número de repetições é grande.

4 Exemplo 1: Experimentos leatórios a) Lançar uma moeda honesta. b) Lançamento de um dado. c) Lançamento de duas moedas. d) Retirada de uma carta de um baralho completo de 52 cartas. e) Determinação da vida útil de um componente.

5 Espaço de Resultados: Espaço mostral Conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento. Um resultado do espaço amostral é chamado de evento. Representa-se por Ω. Ω pode ser quantitativo (discreto ou contínuo) ou qualitativo. i) No lançamento de um dado Ω = {1,2,3,4,5,6}. Ω é discreto. ii) Observar os momentos de entrada X e saída Y de um cliente de uma loja no período 9 19 horas. Ω é contínuo. Ω = {(X,Y): 9 < X < Y< 19}

6 a) Ω = {c, r} b) Ω = {123456} {1,2,3,4,5,6} c) Ω = {(c, r), (c,c), (r,c), (r,r)} d) Ω = { 0,...,K 0, p,...,k p, E,..,K E, C,...,K C } e) Ω = {t R/ t 0}

7 Lançam dois dados iguais. Enumerar os seguintes eventos: : saída de faces iguais. B: saída de faces cuja soma seja igual a 10 C: saída das faces cuja soma seja menor que 2 D: saída das faces cuja soma seja menor que 15 E: saída das faces onde uma face é o dobro da outra.

8 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 6)

9 ={(1,1),(2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} B={(4,6), (5,5),(6,4)} ( ) C={ } D={Ω} E={(1,2),(2,1), (2,4),(3,6),(4,2),(6,3)}

10 É o conjunto formado de todos os eventos (subconjuntos) do espaço amostral. Considere como exemplo um espaço amostral finito: Ω = {e 1,e 2,e 3,e 4 } classe de eventos aleatórios F(Ω) φ e 1,e 2 4,e 3,e 4 (e 1,e 0 2 ), (e 1,e 3 ), (e 1,e 4 ), (e 2,e 3 ), (e 2,e 4 ), (e 3,e 4 ) 4 (e,e (e,e ), 1,e (e,e,e (e,e,e ), ), ) 1 (e 1,e 2,e 3, e 4 ) 4 O número de eventos de um espaço amostral é F(Ω)=2 2 4 n. 3 Usando esse espaço 4 amostral temos que 3 o número de eventos é 2 4 4

11 Considere Ω = {e 1,e 2,...,e n }. Sejam e B dois eventos de F(Ω). Operações Uunião: B ={e i Ω / e i ou e i B }. O evento formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos eventos. B Ω

12 Operações Interseção. B ={e i Ω/ e i e e i B }. O evento formado pelos elementos que pertencem simultaneamente aos dois eventos. B Ω B

13 Complementação: Ω = = {e Ω/e } i i Ω = Ω

14 Lançam-se duas moedas. Sejam : saída de faces iguais e B=saída de cara na primeira moeda. Determine a) B b) B c), d) B e) B f) B g) B h) B- B i) -B

15 a) B = {(c,c, (c,r), (r,r)} b) B={(c,c)} Ω = {(c,c), (c,r), (r,r), (r,c)}. = {(c,c), (r,r)} B= {(c,c), (c,r)} c) = {(c,r),(r,c)}, (r c)} d) B = {(r,c)} B = {(r,c),(r,r)} r)} e) f) g) B = {(c,r),(r,c),(r,r)} B = B = {(r,c)} h) B- = {(c,r)} i) -B={(r,r)} {(c,r),(r,c),(r,r)}

16 a) Idempontentes: =, =. b) Comutativas: B=B, B=B c) ssociativas: (B C)= ( B) C (B C)= ( B) C) d) Distribuitivas: (B C)= ( B) ( C) (B C)= ( B) ( C)

17 e) bsorções: ( B)=, ( B)= f) Identidades: Ω=, Ω= Ω =, = g) Complementares: Ω = φ, φ = Ω, = φ, = Ω, () = g) Leis de Morgan ( B) c = ( B) c = B B

18 Dizemos que os eventos 1,..., n formam uma partição do espaço amostral Ω se: a) b) c) U n i = 1 i i i φ =, i j Ω = = 1,..., φ, i n j

19 Dois eventos e B são mutuamente exclusivos se eles não puderem ocorrer simultaneamente, isto é B = Exemplo: No lançamento de um dado : saída impar e B é saída par, então : {1,3,5} B: {2,4,6}

20 b a e c d Permite contar o número de resultados quando n objetos estão para ser selecionados a partir de um conjunto de N objetos, SEM LEVR EM CONT ORDEM DELES. C N n N = = n N! n!(n n)!

21 b a e c d N=5 e n=2 Ω= { {a,b}, {a,c}, {a,d}, {a,e} {b,c}, {b,d}, {b,e}, {c,d}, {c,e}, {d,e} } 5 5! C 5 2 = = = !(5 2)!

22 b a e c d Permite contar o número de resultados quando n objetos estão para ser selecionados a partir de um conjunto de N objetos, LEVNDO EM CONT ORDEM DELES. P N n = N n! = n N! (N n)!

23 b a e c d N=5 e n=2 Ω= { {a,b}, {b,a} {a,c}, {c,a} {a,d}, {d,a}, {a,e}. {e,a} {b,c}, {c,b} {b,d}, {d,b}, {b,e},{e,b} {c,d}, {d,c}, {c,e}, {e,c} {d,e}, {e,d} } 5 5! P 5 2 = 2! = = 2 (5 2)! 20