EXPERIMENTO ALEATÓRIO : Experimento que pode fornecer diferentes resultados, embora seja repetido toda vez da mesma maneira.

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5 EXPERIMENTO ALEATÓRIO : Experimento que pode fornecer diferentes resultados, embora seja repetido toda vez da mesma maneira. ESPAÇO AMOSTRAL : O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório, é chamado de ESPAÇO AMOSTRAL do experimento. O espaço amostral é denotado por S. Um espaço amostral é discreto se ele consiste de um conjunto infinito ou finito de resultados contáveis. Um espaço amostral é contínuo se ele contém um intervalo (finito ou infinito) de números reais. EVENTO : Um evento é um subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. Como eventos são subconjuntos do espaço amostral, podemos usar a operação básica da teoria de conjuntos para gerar NOVOS eventos.

6 Experimento : Dois dados são lançados aleatoriamente. Espaço amostral : EXEMPLOS Evento 1 : Dados com o mesmo valor de face E1 = { 11,22,33,44,55,66} Evento 2 : Dados soma dos valores maior que 10 E2 = { 56, 65,66}

7 EXEMPLOS Experimento : Valor da resistência medida em um fio de cobre. Espaço amostral : S = R+ = { x x > 0} Experimento : Valor da resistência medida em um fio de cobre, sabido que a resistência medida não será menor que 10K ohms e não será maior que 100 K ohms. Espaço amostral : S = { x < x < }

8 Experimento : Valor da resistência medida em 2 fios de cobre. Espaço amostral : S = R+ x R+ EXEMPLOS Experimento : Verificar se o valor da resistência (R) medida nos dois fios de cobre está ou não dentro da especificação determinada por R menor que 10K ohms e não será maior que 100 K ohms. Espaço amostral : S = { ss, sn, ns, nn } Experimento : Verificar do total de dois fios de cobre, o número de fios de cobre que estão ou não dentro da especificação determinada por R menor que 10K ohms e não será maior que 100 K ohms. Espaço amostral : S = { 0, 1, 2} Experimento : Medir a resistência (R) de fios de cobre até encontrar um fio de cobre fora da especificação determinada por R menor que 10K ohms e não será maior que 100 K ohms. Espaço amostral : S = { s,sn,ssn,sssn,ssssn... } Espaço amostral discreto e infinito contável.

9 Em experimentos que envolvem a seleção de itens de um lote, é importante compreendermos as definições de amostragem com reposição ou sem reposição e com ordenamento ou sem ordenamento, que influenciam na descrição do espaço amostral. AMOSTRAGEM SEM REPOSIÇÃO Por exemplo, se tivermos um lote de 3 fios de cobre a, b, e c. Ao selecionarmos 2 itens SEM REPOSIÇÃO, nosso espaço amostral possível será : S sem/ord = { ab, ac, ba, bc, ca, cb }, caso o ordenamento dos itens seja relevante ou S sem/nord = { {a,b}, {a,c}, {b,c} } se o ordenamento não é relevante.

10 Por outro lado em um lote de 3 fios de cobre a, b, e c ao selecionarmos 2 itens COM REPOSIÇÃO, nosso espaço amostral possível será : S sem/ord = { ab, aa, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc }, caso o ordenamento dos itens seja relevante ou AMOSTRAGEM COM REPOSIÇÃO S sem/nord = { {a,a}, {a,b}, {a,c}, {b,b}, {b,c}, {c,c} } se o ordenamento não é relevante.

11 Alguma vezes não é necessário descrever exatamente o item selecionado, mas somente uma de suas propriedades, como por exemplo atender uma determinada especificação (bom) ou não (defeito). Em um determinado lote, encontramos 5 peças com defeito e 95 peças boas, se selecionarmos uma amostra de 2 itens sem reposição e ordenados, o espaço amostral seria : S = { bb,bd,db,dd } Agora, se nesse mesmo lote, existisse somente uma peça com defeito, qual seria o novo espaço amostral? Dado o espaço amostral original, qual seria o novo espaço amostral se a amostra não fosse ordenada?

12 DESCRIÇÃO GRÁFICA DE ESPAÇOS AMOSTRAIS DIAGRAMAS DE ÁRVORES

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14 DIAGRAMA DE VENN Os diagramas de Venn são usados para retratar relações entre conjuntos, logo podem ser usados também para descrever relações entre eventos.

15 EXERCÍCIO

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18 (1) (2) (3)

19 TÉCNICAS DE CONTAGEM Muitas vezes a determinação dos resultados que compreendem um espaço amostral ou evento não são simples, por isso os métodos de técnicas de contagem são utilizados. REGRA DA MULTIPLICAÇÃO Se uma operação puder ser descrita em k etapas e se o número de maneiras de completar a etapa 1 for n1, o número de maneiras de completar a etapa 2 for n2, para cada maneira de completar a etapa n1 e se o número de maneiras de completar a etapa 3 for n3 para cada maneira de completar a etapa 2 e assim por diante, temos que o número total de completar a operação será : n 1 x n 2 x n 3 x...x n k

20 EXEMPLO Número possível de placas de automóveis : AAA N = 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 =

21 TÉCNICAS DE CONTAGEM PERMUTAÇÃO Para calcularmos o número de sequências ordenadas sem reposição dos elementos de um conjunto, utilizamos a permutação. O número de permutações de n elementos diferentes é P N, sendo P N = n x (n-1) x (n-2) x... x 2x1 = n! Exemplo : Considere o conjunto S = { a, b, c } a sequência ordenada abc,acb,bac,cba e cba. São todas permutações dos elementos de S. Esse resultado é decorrente da regra da multiplicação. XXX 3 2 1

22 TÉCNICAS DE CONTAGEM PERMUTAÇÃO DE OBJETOS SIMILARES Quando precisamos contar o número de permutações (sequências ordenadas) para objetos que não são todos diferente, o número de permutações n = n 1 +n n r objetos dos quais n 1 são de um tipo, n 2 são de um segundo tipo e assim por diante P N = n! n 1! x n 2! x...x n r! Ex.: Considere uma operação de usinagem em que dois orifícios com mesmo diametro, e dois encaixes de mesmo tamanho precisam ser feitos em determinada peça. Seja p a operação de perfuração e e a operação de encaixe, qual o número de possíveis sequencias para estas operações? Faça o diagrama de árvore do espaço amostral. R: P 4 = 4! 2! x 2!

23 TÉCNICAS DE CONTAGEM PERMUTAÇÃO DE SUBCONJUNTOS - ARRANJO Em alguns casos estamos interessados no número de sequências ou arranjos de alguns elementos de um conjunto. Dessa forma para calcularmos o número de permutações de subconjuntos de n elementos, sem reposição, selecionados de um conjunto de N elementos diferentes temos que : A N,n = N! (N-n)! Exemplo : Uma placa de circuito impresso tem 8 localizações diferentes em que um componente pode ser colocado, se 4 componentes diferentes podem ser colocados na placa, quantos projetos diferentes são possíveis? R : Cada projeto consiste em selecionar uma localização para o 1º componente, uma localização das setes restantes para o 2º componente, um localização das seis restantes para o terceiro componente e assim por diante.

24 TÉCNICAS DE CONTAGEM PERMUTAÇÃO DE SUBCONJUNTOS - ARRANJO C 1 C 2 C 3 C A 8,4 = 8! = 8 x7 x 6 x 5 = 1680 (8-4)!