PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

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1 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA Profa. Dra. Yara de Souza Tadano [email protected]

2 Aula 5 09/2014 Probabilidade

3 Espaços Amostrais e Eventos Probabilidade e Estatística 3/41

4 Experimentos Aleatórios Experimento Componente aleatório medir a corrente em um fio de cobre. Repetições diárias da medida. Os resultados podem diferir levemente, por causa de pequenas variações em variáveis que não estejam controladas em nosso experimento: Variações nas temperaturas ambientes; Pequenas variações nos medidores; Pequenas impurezas na composição química do fio; Seleção de diferentes localizações e fonte da corrente oscilante. Probabilidade e Estatística 4/41

5 Experimentos Aleatórios Em alguns casos, as variações aleatórias são experimentais, que podem ser ignoradas., relativa aos nossos objetivos No entanto, não importa quão cuidadosamente nosso experimento seja planejado e conduzido, a variação está quase sempre presente e sua magnitude pode ser grande o suficiente que conclusões importantes podem não ser óbvias. Nosso é compreender, quantificar e modelar os tipos de variações que encontramos com frequência. Probabilidade e Estatística 5/41

6 Experimentos Aleatórios Um experimento que pode fornecer diferentes resultados, muito embora seja repetido toda vez da mesma maneira, é chamado de um. Probabilidade e Estatística 6/41

7 Espaços Amostrais Para modelar e analisar um experimento aleatório, temos de entender o de um experimento. Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Probabilidade e Estatística 7/41

8 Espaços Amostrais Considere um experimento em que você seleciona uma peça plástica moldada, tal como um conector, e mede sua espessura. Os valores possíveis da espessura dependem da resolução do instrumento de medição e também dos limites superior e inferior da espessura. S = R + = { x x > 0} Já que um valor negativo para espessura não pode ocorrer. Probabilidade e Estatística 8/41

9 Espaços Amostrais Se soubéssemos que todos os conetores terão espessura entre 10 e 11 milímetros. S = x 10 < x <11 { } Objetivo da análise é verificar se a peça tem espessura baixa, média ou alta. S = baixa, média, alta { } Objetivo da análise é verificar se a peça obedece ou não às especificações de fabricação. S = sim, não { } Probabilidade e Estatística 9/41

10 Espaços Amostrais Se agora, dois conectores forem selecionados e medidos, a extensão da linha real positiva R será considerar o espaço amostral como o quadrante positivo do plano: S = R + R + Probabilidade e Estatística 10/41

11 Espaços Amostrais Objetivo da análise é verificar se as peças obedecem ou não às especificações de fabricação. Se estivermos interessados somente no número de peças conformes na amostra. Objetivo é medir o conector até que ele esteja de acordo com as especificações. S = ss, sn, ns, nn { } S = 0, 1, 2 { } S = { s, ns, nns, nnns, nnnns e assim por diante} Probabilidade e Estatística 11/41

12 Espaços Amostrais Dois tipos de espaços amostrais: Discretos Consistem em um conjunto finito ou infinito contável de resultados. S = sim, não { } Contínuos Consistem em um intervalo (tanto finito como infinito) de número reais. S = R + = x x > 0 { } Probabilidade e Estatística 12/41

13 Espaços Amostrais Espaços amostrais podem ser descritos graficamente com. Um mágico se apresenta vestindo calça e paletó de cores diferentes. Ele possui as peças nas seguintes cores: De quantas maneiras diferentes o mágico poderá se vestir para um espetáculo? Probabilidade e Estatística 13/41

14 Espaços Amostrais Utilizando um diagrama em forma de árvore: Probabilidade e Estatística 14/41

15 Espaços Amostrais Um fabricante de automóveis fornece veículos equipados com opcionais selecionados. Cada veículo é encomendado: Com ou sem transmissão automática; Com ou sem ar-condicionado; Com uma das três escolhas de um sistema estéreo; Com uma das quatro cores exteriores. Se o espaço amostral consistir no conjunto de todos os tipos possíveis de veículos, qual será o número de resultados no espaço amostral? Probabilidade e Estatística 15/41

16 Espaços Amostrais Considere agora, uma extensão do fabricante de veículos, em que outra opção é a cor interior. Há quatro escolhas de cor interior: vermelha, preta, azul ou marrom. No entanto: Com um exterior vermelho, somente um interior preto ou vermelho pode ser escolhido. Com um exterior branco, qualquer cor interior pode ser escolhida. Com um exterior azul, somente um interior preto, vermelho ou azul pode ser escolhido. Com um exterior marrom, somente um interior marrom pode ser escolhido. Qual será o número de resultados do espaço amostral? Probabilidade e Estatística 16/41

17 Eventos Frequentemente, estamos interessados, a partir de um experimento aleatório, em uma coleção de resultados relacionados. Um experimento aleatório. é um subconjunto do espaço amostral de um Probabilidade e Estatística 17/41

18 Eventos Podemos também estar interessados em descrever novos eventos a partir de de eventos existentes. Como eventos são subconjuntos, podemos usar operações básicas de conjuntos. Probabilidade e Estatística 18/41

19 Eventos Operações básicas de conjuntos: de dois eventos E1 E 2 Evento que consiste em todos os resultados que estão contidos em cada um dos dois eventos. de dois eventos E1 E 2 Evento que consiste em todos os resultados que estão contidos nos dois eventos, simultaneamente. Probabilidade e Estatística 19/41

20 Eventos Operações básicas de conjuntos: de um evento C E' ou E É o conjunto dos resultados do espaço amostral que não estão no evento. Probabilidade e Estatística 20/41

21 Eventos EXERCÍCIO: Medidas da espessura de um conector plástico devem ser modeladas com o espaço amostral Seja: E { x 10 12} 1 = x < e E S + = R { x 11< 15} 2 = x < Expresse: E1 E 2 E1 E 2 E 1 ' E1' E 2 Probabilidade e Estatística 21/41

22 Eventos Frequentemente, utilizamos diagramas para retratar relações entre eventos, assim como é feito na teoria de conjuntos. Utilizaremos o Probabilidade e Estatística 22/41 S

23 Eventos Dois eventos, denotados por E 1 e E 2, tal que: E E 1 2 = são chamados de. Probabilidade e Estatística 23/41

24 Data de entrega: 17/10/2014. Lista de exercícios entregue em sala de aula. Disponível em: paginapessoal.utfpr.edu.br/yaratadano Probabilidade e Estatística 24/41

25 Técnicas de Contagem No exemplo do mágico, foi fácil determinar o número de resultados do espaço amostral. Em exemplos mais complicados, a determinação de resultados que compreendem o espaço amostral ou um evento se torna mais difícil. Temos, então, algumas TÉCNICAS DE CONTAGEM. Probabilidade e Estatística 25/41

26 Técnicas de Contagem Considere uma operação que possa ser descrita como uma sequência de k etapas e, O número de maneiras de completar a etapa 1 for n 1 ; O número de maneiras de completar a etapa 2 for n 2 para cada maneira de completar a etapa 1; O número de maneiras de completar a etapa 3 for n 3 para cada maneira de completar a etapa 2; Assim por diante. O número total de maneiras de completar a operação será: n 1 n 2... n k Probabilidade e Estatística 26/41

27 Técnicas de Contagem Um fabricante de automóveis fornece veículos equipados com opcionais selecionados. Cada veículo é encomendado: Com ou sem transmissão automática; Com ou sem ar-condicionado; Com uma das três escolhas de um sistema estéreo; Com uma das quatro cores exteriores. Se o espaço amostral consistir no conjunto de todos os tipos possíveis de veículos, qual será o número de resultados no espaço amostral? Probabilidade e Estatística 27/41

28 Técnicas de Contagem Uma sequência ordenada dos elementos de um conjunto. O número de permutações de n elementos diferentes é n! n! = n (n - 1) (n - 2) Em algumas situações estamos interessados no número de arranjos de somente alguns dos elementos de um conjunto. Probabilidade e Estatística 28/41

29 Técnicas de Contagem O número de permutações de subconjuntos de r elementos selecionados de um conjunto de n elementos diferentes é: P r n = n n 1 ( ) n 2 ( )! n r +1 ( ) = n! n r ( )! Probabilidade e Estatística 29/41

30 Técnicas de Contagem Uma placa de circuito impresso tem oito localizações diferentes em que um componente pode ser colocado. Se quatro componentes diferentes forem colocados na placa, quantos projetos diferentes são possíveis? 8 P 4 = 1680 projetos diferentes são possíveis. Probabilidade e Estatística 30/41

31 Técnicas de Contagem Algumas vezes estamos interessados em contar o número de sequências ordenadas para objetos que não são todos diferentes. O número de permutações de n = n 1 + n n r objetos dos quais n 1 são de um tipo, n 2 são de um segundo tipo,..., e n r são do r ésimo tipo é: n! n n!! n!! n r! Probabilidade e Estatística 31/41

32 Técnicas de Contagem Um item é codificado pela impressão de quatro linhas espessas, três linhas médias e duas linhas finas. Se cada ordenação das nove linhas representa um código diferente, quantos códigos diferentes podem ser gerados pelo uso desse esquema? 9! 4!3!2! = 1260 Probabilidade e Estatística 32/41

33 Técnicas de Contagem Em certas ocasiões, necessitamos contar o número de subconjuntos de r elementos que pode ser selecionado a partir de um conjunto de n elementos, independente da ordem. Esses casos são chamados de. O número de combinações, subconjuntos de tamanho r, que pode ser selecionado a partir de um conjunto de n elementos é: C r n =! # " n r $ & = % n! r! n r ( )! Probabilidade e Estatística 33/41

34 Técnicas de Contagem Um componente pode ser colocado em oito localizações diferentes em uma placa de circuito impresso. Se cinco componentes idênticos forem colocados na placa, quantos projetos diferentes serão possíveis? Cada projeto é um subconjunto das oito localizações que devem conter os componentes. O número de projetos possíveis será: C 5 8 =! # " 8 5 $ & = 8! % 5!3! = 56 Probabilidade e Estatística 34/41

35 Técnicas de Contagem Em experimentos aleatórios em que itens sejam selecionados a partir de uma batelada, um item pode ou não ser resposto antes de o próximo ser selecionado. Chamamos de amostragem com ou sem reposição, respectivamente. Podemos, então, usar a regra da multiplicação junto com o número de combinações. Probabilidade e Estatística 35/41

36 Técnicas de Contagem Amostragem sem reposição. Um silo de 50 itens fabricados contém três itens defeituosos e 47 itens não defeituosos. Uma amostra de seis itens é selecionada a partir dos 50 itens. Os itens selecionados não são repostos, ou seja, cada item pode somente ser selecionado uma única vez e a amostra é um subconjunto dos 50 itens. Quantas amostras diferentes existem, de tamanho seis, que contêm exatamente dois itens defeituosos? Probabilidade e Estatística 36/41

37 Probabilidade As técnicas de contagem nos permitem determinar facilmente o número de resultados em um espaço amostral ou eventos e isso, por sua vez, permite calcular as probabilidades dos eventos. A probabilidade de um evento é determinada como a entre o número de resultados de resultados no igualmente prováveis). e o número (para resultados Para o exemplo anterior, qual a probabilidade de uma amostra conter exatamente dois itens defeituosos? Probabilidade e Estatística 37/41