MB-210 Probabilidade e Estatística

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1 Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica MB-210 Probabilidade e Estatística Profa. Denise Beatriz Ferrari denise [email protected] 2o. semestre/2013

2 Variáveis Aleatórias

3 Roteiro Motivação Definição VA s Discretas VA s Contínuas Função Distribuição de Probabilidade (fdp) Função Distribuição Acumulada (FDA)

4 Variáveis Aleatórias Motivação Problemas no mundo real envolvem quantidades que não possuem valor fixo ou determinístico: número de bebês que nascem em um determinado hospital por dia tempo de chegada de um ônibus na estação o volume de chuva em SJC em um determinado ano o número de terremotos na Califórnia por mês a produção de trigo em uma certa safra Variáveis Aleatórias Funções complexas de muitos fatores aleatórios sobre os quais não temos controle Transformam um espaço amostral qualitativo em quantitativo

5 Variáveis Aleatórias (Unidimensionais) Definição Uma variável aleatória é uma função que associa a cada elemento do espaço amostral um número real. Notação: X ( ) : Ω R s X(s) Ω R Probabilidade: {X (s) = x} = P[X (s) = x] = P[X = x] = p(x)

6 Variáveis Aleatórias Exemplos (1) Componentes eletrônicos fabricados em uma linha de produção são submetidos a inspeção, sendo classificados como defeituosos ou sem defeitos. Temos: Espaço amostral: Ω = {D, N} (discreto) X (D) = 0 e X (N) = 1

7 Variáveis Aleatórias Exemplos (1) Componentes eletrônicos fabricados em uma linha de produção são submetidos a inspeção, sendo classificados como defeituosos ou sem defeitos. Temos: Espaço amostral: Ω = {D, N} (discreto) X (D) = 0 e X (N) = 1 O número de nascimentos de gêmeos é aproximadamente 1 em cada 90. Seja X a v.a. definida pelo número de nascimentos em um hospital até o nascimento dos primeiros gêmeos. Sejam G o evento representando o nascimento de gêmeos e N o nascimento de uma única crianca. Temos: Espaço amostral: Ω = {G, NG, NNG, NNNG,...} X (NNN }{{... N } G) = i i 1

8 Variáveis Aleatórias Exemplos (2) Seja X a v.a. definida pelo tempo de espera (em horas) entre dois motoristas consecutivos que ultrapassam a velocidade de uma rodovia, detectados por um radar. Temos: Espaço amostral: Ω = {x R : x 0} (contínuo)

9 Variáveis Aleatórias Exemplos (2) Seja X a v.a. definida pelo tempo de espera (em horas) entre dois motoristas consecutivos que ultrapassam a velocidade de uma rodovia, detectados por um radar. Temos: Espaço amostral: Ω = {x R : x 0} (contínuo) Um determinado ônibus chega à estação rodoviária todos os dias entre as 11:00h e 11:30h. Seja X a v.a. definida pelo tempo de chegada do ônibus. Temos: Espaço amostral: Ω = {x R : 11 < x < 11,5} (contínuo)

10 Variáveis Aleatórias Observações: Variável aleatória: nome inadequado v.a. Função Probabilidade Tipos de v.a. s: Qualitativas VA s Discretas Quantitativas Contínuas

11 VA s Discretas Uma v.a. X é dita discreta se assumir um número finito ou infinito e enumerável de valores reais distintos x 1, x 2,..., x n,... (espaço amostral enumerável: contagem) Neste caso: Ω = n {s : X (s) = x n } = n {X = x n } e {X = x i } {X = x j } =, i j Portanto, do axioma (iii): 1 = P[Ω] = n P[X = x n ]

12 VA s Contínuas Uma v.a. X é dita contínua se assumir um número infinito não-enumerável de valores e a probabilidade de que X assuma um valor em particular é nula (espaço amostral não-enumerável: medição) Neste caso: P[X = x i ] = 0, i

13 Função Distribuição de Probabilidade (fdp) caso discreto Seja X uma v.a. discreta que assume os valores discretos x 1, x 2,..., x n,... Definimos a fdp de X como sendo a função Condições f X ( ) : R [0, 1] { P[X = xj ], se x = x f X (x) = j, j = 1, 2,..., n,... 0, se x x j 1. f X (x j ) 0 para j = 1, 2, f X (x j ) = 0 para x x j, j = 1, 2, j f X (x j ) = 1 Nomenclatura alternativa: função massa, função probabilidade ou função freqüência discreta

14 Função Distribuição de Probabilidade (fdp) caso discreto Exemplo Um lote de 8 computadores em uma loja contém 3 defeituosos. Um cliente seleciona ao acaso e compra 2 destes computadores. Qual a distribuição de probabilidade para o número de computadores defeituosos comprados? Solução

15 Função Distribuição de Probabilidade (fdp) caso contínuo Seja X uma v.a. contínua. Definimos a fdp de X como sendo a função f X ( ) : R [0, ) tal que, para quaisquer números a b Condições P[a X b] = b a f X (u)du 1. f X (x) 0, x R 2. f X (x)dx = 1 3. P[X = c] = 0, c R. Portanto, para quaisquer números a < b: P[a X b] = P[a < X b] = P[a X < b] = P[a < X < b] Nomenclatura alternativa: função densidade ou função densidade de probabilidade

16 Função Distribuição de Probabilidade (fdp) caso contínuo Exemplo Suponha que o erro medido na temperatura de reação ( C) em um experimento controlado em laboratório seja uma v.a. contínua cuja fdp é dada por: { 1 f X (x) = 3 x 2, 1 < x < 2 0, caso contrário Verifique que a condição (2) é válida. Calcule P[0 < X 1]. Solução

17 Função Distribuição Acumulada (FDA) Definição A FDA de uma v.a. X, representada por F X ( ) é a função F X ( ) : R [0, 1] F X (x) = P[X x], < x < Condições 1. F X ( ) é monotônica não-decrescente: 2. F X ( ) = 3. F X ( ) é contínua pela direita: F X (x 1 ) < F X (x 2 ), x 1 < x 2 lim F X (x) = 0 e F X (+ ) = lim F X (x) = 1 x x + F X (x) = lim F X (x + h) 0<h 0 Nomenclatura alternativa: função distribuição

18 Função Distribuição Acumulada (FDA) Propriedades Caso Discreto: F X ( ) pode ser obtida a partir de f X ( ) e vice-versa. (i) Dada f X ( ), F X (x) = P[X x] = x j <x f X (x j ) (ii) Dada F X ( ), f X (x j ) = F X (x j ) lim F X (x j h) 0<h 0

19 Função Distribuição Acumulada (FDA) caso discreto Exemplo: Computadores defeituosos (continuação) 1. Determine a FDA para a v.a. X = no. de computadores defeituosos comprados pelo cliente 2. Usando F X (x), verifique que f X (2) = 3/28 Solução

20 Função Distribuição Acumulada (FDA) Propriedades Caso Contínuo: F X ( ) pode ser obtida a partir de f X ( ) e vice-versa. (i) Dada f X ( ), F X (x) = P[X x] = x f X (u)du Para cada x, F X ( ) corresponde à área debaixo da curva de f X ( ) à esquerda de x. (ii) Dada F X ( ), f X (x) = df X (x) dx

21 Função Distribuição Acumulada (FDA) caso contínuo Exemplo: Reação química (continuação) 1. Determine a FDA para a v.a. X = erro na medida da temperatura de reação 2. Usando F X (x), calcule P[0 < X 1] Solução

22 Variáveis Aleatórias Multidimensionais

23 Variáveis Aleatórias Multidimensionais Definição Sejam X 1, X 2,..., X k v.a. s definidas no mesmo espaço de probabilidades E = (Ω, A, P[ ]). A coleção X = (X 1, X 2,..., X k ) é chamada v.a. k-dimensional. As v.a. s X 1, X 2,..., X k são chamadas v.a. s conjuntas. (Daqui em diante, consideraremos apenas o caso bidimensional).

24 Função Distribuição de Probabilidade (fdp) caso discreto A v.a. bidimensional discreta Z = (X, Y ) é dita v.a. conjunta discreta se assumir apenas os valores de um conjunto enumerável de pontos (x,y) no espaço R 2. Definimos a fdp discreta de (X,Y ) como sendo a função f X,Y (x,y) = P[X = x, Y = y], para qualquer valor (x,y) que o (X,Y ) possa assumir. Condições 1. f X,Y (x,y) 0 para todo (x,y) 2. X Y f X,Y (x,y) = 1 3. Para qualquer subconjunto A do plano xy P[(X,Y ) A] = f X,Y (x,y) (x,y) A

25 Função Distribuição de Probabilidade (fdp) caso discreto Exemplo Duas canetas esferográficas são escolhidas aleatoriamente de uma caixa que contém 3 canetas azuis, 2 canetas vermelhas e 3 canetas verdes. Seja X a v.a. que representa o número de canetas azuis e Y a v.a. que representa o número de canetas vermelhas selecionadas. Determine: A fdp conjunta de X e Y P[(X,Y ) A], em que A é a região definida por {(x,y) x + y 1} Solução

26 Função Distribuição de Probabilidade (fdp) caso contínuo A v.a. bidimensional discreta Z = (X, Y ) é dita v.a. conjunta contínua se existe uma função f X,Y (, ) tal que F X,Y (x,y) = para todo (x,y) no plano real. Condições y x 1. f X,Y (x,y) 0 para todo (x,y) 2. f X,Y (x,y)dxdy = 1 3. Para qualquer região A do plano xy P[(X,Y ) A] = f X,Y (u,v)dudv A f X,Y (x,y)dxdy

27 Função Distribuição de Probabilidade (fdp) caso contínuo Exemplo Um fabricante de bombons produz caixas de chocolates recheados com creme, caramelo e nozes e cobertura de chocolate amargo ou chocolate ao leite. Para uma certa caixa escolhida ao acaso, sejam X e Y, respectivamente, as proporções de chocolate ao leite e amargo com recheio de creme e suponha que a fdp conjunta correspondente seja dada por { 2 f X,Y (x,y) = 5 (2x + 3y), 0 x 1, 0 y 1 0, c.c Verifique se a condição (2) é válida Determine P[(X,Y ) A], em que A = {(x,y) 0 < x < 1/2, 1/4 < y < 1/2} Solução

28 Função Distribuição Acumulada (FDA) Definição A FDA conjunta de uma v.a. bidimensional Z = (X,Y ), representada por F X,Y (, ) é a função F X,Y (, ) : R 2 [0, 1], tal que F X,Y (x,y) = P[X x, Y y], (x,y)

29 Função Distribuição Acumulada (FDA) Definição Condições (análogas ao caso unidimensional) 1. F X ( ) é monotônica não-decrescente: P[x 1 < X x 2 ; y 1 < Y y 2 ] = F X,Y (x 2,y 2 ) F X,Y (x 2,y 1 ) F X,Y (x 1,y 2 ) + F X,Y (x 1,y 1 ) 0, 2. x 1 x 2 ; y 1 y 2 F X,Y (, y) = F X,Y (x, ) = F X,Y (, ) = lim F X,Y (x,y) = 0, x lim F X,Y (x,y) = 0, y lim F X,Y (x,y) = 1 x,y y x 3. F X,Y (x,y) é contínua em cada argumento: F X,Y (x,y) = lim F X,Y (x + h, y) = lim F X,Y (x, y + h) 0<h 0 0<h 0

30 Função Distribuição de Probabilidade (fdp) Marginal Seja Z = (X,Y ) uma v.a. conjunta. As distribuições marginais de X e Y são dadas por 1. Caso discreto f X (x) = y f X,Y (x,y) e f Y (y) = x f X,Y (x,y) 2. Caso contínuo f X (x) = f X,Y (x,y)dy e f Y (y) = f X,Y (x,y)dx

31 Função Distribuição de Probabilidade (fdp) Marginal Exemplos Determine as fdp s marginais para os exemplos anteriores. Verifique que as fdp s marginais são, de fato, fdp s. Solução

32 Função Distribuição de Probabilidade (fdp) Condicional Seja Z = (X,Y ) uma v.a. conjunta com fdp conjunta f X,Y (, ). As distribuições condicionais de X Y = y e Y X = x, representadas respectivamente, por f Y X ( x) e f X Y ( y), são dadas por: f Y X (y x) = f X,Y (x,y), f X (x) com f X (x) > 0 f X Y (x y) = f X,Y (x,y), f Y (y) com f Y (y) > 0 1. Caso discreto P[a < X < b Y = y] = f X Y (x y) 2. Caso contínuo P[a < X < b Y = y] = a<x<b b a f X Y (x y)dx

33 Função Distribuição de Probabilidade (fdp) Condicional Exemplos 1. Caso discreto: No exemplo das canetas, determine a distribuição condicional de X, dado Y = 1 e a empregue para calcular P[X = 0 Y = 1]. 2. Caso contínuo: A fdp conjunta para as v.a. s (X,Y ), em que X = variação unitária de temperatura e Y = proporção de variação do espectro produzido por uma determinada partícula atômica, é dada por { 10xy f X,Y (x,y) = 2, 0 < x < y < 1 0, c.c. Solução Determine as fdp s marginais fx (x) e f Y (y) e a fdp condicional f Y X (y x) Qual a probabilidade de que o espectro varie mais que a metade do total de observações, dado que a temperatura sofreu um acréscimo de 0,25 unidade.

34 Independência Estatística Sejam X e Y duas v.a. s (contínuas ou discretas) com fdp conjunta f X,Y (, ) e distribuições marginais f X (x) e f Y (y). As v.a. s X e Y são ditas estatisticamente independentes se, e somente se, f X,Y (x,y) = f X (x)f Y (y), (x,y) (Demonstração) Independência Estatística para v.a. s discretas É possível que o produto das fdp s marginais seja igual à fdp conjunta para algumas (mas não todas as) combinações de (x,y). Portanto, se existir algum ponto (x,y) para o qual f X,Y (x,y) é definida e tal que f X,Y (x,y) f X (x)f Y (y), as v.a. s discretas X e Y não são estatisticamente independentes.

35 Independência Estatística Exemplos 1. Caso discreto: No exemplo das canetas, mostre que as v.a. s X e Y não são estatisticamente independentes. 2. Caso contínuo: Verifique se as v.a. s X e Y cuja fdp conjunta é dada por { x f X,Y (x,y) = 4 (1 + 3y 2 ), 0 < x < 2, 0 < y < 1 0, c.c. Solução são estatisticamente independentes.