Prof. Lorí Viali, Dr.

Transcrição

1 Prof. Lorí Viali, Dr.

2 Tipos de Modelos Determinístico Sistema Real Probabilístico

3 Modelo determinístico Causas Efeito

4 Exemplos Gravitação F GM 1 M /r Aceleração clássica v at Aceleração relativística v 1 + at a c t

5 Modelo probabilístico X Causas Efeito

6 Exemplos Binomial n. p f ( x) x 0 x.(1 p) n x x { 0,1,..., n} c. c. Poisson f ( x) x λ. e x! 0 λ x N c. c. Normal f ( x) 1. e π. σ 1 x µ. σ, x R

7 Experimento Aleatório Experiência para o qual o modelo probabilístico é adequado.

8 Exemplos E 1 : Joga-se um dado e observa-se o número da face superior. E : Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se o número de caras e coroas;

9 E 3 : Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se a seqüência de caras e coroas; E 4 : Uma lâmpada nova é ligada e contase o tempo gasto até queimar;

10 E 5 : Joga-se uma moeda até que uma cara seja obtida. Conta-se o número de lançamentos necessários; E 6 : Uma carta de um baralho comum de 5 cartas é retirada e seu naipe registrado; E 7 : Jogam-se dois dados e par de valores obtido; observa-se o

11 Espaço amostra(l) É o conjunto de resultados de uma experiência aleatória.

12 Exemplos S 1 {1,, 3, 4, 5, 6} S {0, 1,, 3, 4}

13 S 3 { cccc, ccck, cckc, ckcc, kccc, cckk, kkcc, ckkc, kcck, ckck, kckc, kkkc, kkck, kckk, ckkk, kkkk} S 4 { t R / t 0 }

14 S 5 {1,, 3,...} S 6 {,,, }

15 S 7 { (1, 1), (1, ),(1,3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) (, 1), (, ), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6) (3, 1), (3, ), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6) (4, 1), (4, ), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) (5, 1), (5, ), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6) (6, 1), (6, ), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }

16 Eventos Um evento é um subconjunto de um espaço amostra.

17 Exemplo Se S { 1,, 3, 4, 5, 6 } é um espaço amostra, então são eventos: A { 1, 3, 5} B { 6 } C { 4, 5, 6} D E S

18 Ocorrência de um evento Seja E um experimento com espaço amostra associado S. Diremos que o evento A ocorre se realizado E o resultado é um elemento de A.

19 Combinação de eventos Se A e B são eventos de um mesmo espaço amostra S. Diremos que ocorre o evento:

20 A união B, A soma B ou A mais B, se e só se A ocorre ou B ocorre. A B

21 A produto B, A vezes B ou A interseção B, se e só se A ocorre e B ocorre. A B

22 A menos B, A diferença B, se e só se A ocorre e B não ocorre. A B

23 Complementar de A (não A) se e só se A não ocorre. A A C A

24 Eventos mutuamente excludentes (exclusivos) Dois eventos A e B são mutuamente excludentes se não puderem ocorrer juntos.

25 Conceitos de probabilidade CLÁSSICO FREQÜENCIAL AXIOMÁTICO

26 Clássico (número de casos favoráveis) P(A) (número de casos possíveis)

27 Exemplo: Qual a probabilidade de ganhar na Loto Fácil?

28 Solução: Casos favoráveis 1 Casos possíveis:

29 P(Loto Fácil) Número de favoráveis Número de possíveis ,000031%

30 Frequência relativa de um evento (número de vezes que A ocorre) fr A (número de vezes que E é repetido)

31 Exemplo: Um dado é lançado 10 vezes e apresenta FACE SEIS 18 vezes. seis é: Então, a freqüência relativa de face

32 fr6 númerode vezesque"f_seis"ocorre númerode vezesqueodadoé jogado 18 0,15 15%. 10

33 Conceito frequencial de probabilidade A probabilidade de um evento A é o limite para o qual tende a frequência relativa de A, quando o número de repetições do experimento tende ao infinito, isto é: P(A) lim fr n A

34 Conceito axiomático P(A) é um número real que deve satisfazer as seguintes propriedades: (1) 0 P(A) 1 () P(S) 1 (3) P(AUB) P(A) + P(B) se A B

35 Consequências dos axiomas (Propriedades)

36 (1) P( ) 0 A () P( ) 1 - P(A) (3) P(A - B) P(A) - P(A B)

37 (4) P(AUB) P(A) + P(B) - P(A B) (5) P(AUBUC) P(A) + P(B) + P(C)- - P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C)

38 Probabilidade condicionada

39 Motivação Considere uma urna com 50 fichas, onde 40 são pretas e 10 são brancas. Suponha que desta urna são retiradas duas fichas, ao acaso e sem reposição:

40 Sejam os eventos: A {a primeira ficha é branca} B {a segunda ficha é branca} Então: P(A) 10/50 0,0 0% P(B)?/49

41 Neste caso, não se pode avaliar P(B), pois para isso é necessário saber se A ocorreu ou não, isto é, se saiu ficha branca na primeira retirada.

42 Se for informado que A ocorreu, então a probabilidade de B, será: P(B A) 9/49 0, ,37%. Observe a notação.

43 Esta representação é lida: P de B dado A; P de B dado que A ocorreu; P de B condicionada a A.

44 Definição: P(A B) P(A B) / P(B)

45 Mas: Se P(A B) P(A B) / P(B) então: P(A B) P(A B).P(B) E também: Se P(B A) P(A B) / P(A) então: P(A B) P(A).P(B A)

46 Assim: P(A B).P(B) P(A B) P(A).P(B A) Esse resultado é conhecido como teorema da multiplicação.

47 Independência Dois eventos A e B são ditos independentes se a probabilidade de um ocorrer não altera a probabilidade do outro ocorrer, isto é:

48 Se: (1) P(A B) P(A) ou () P(B A) P(B) ou ainda (3) P(A B) P(A).P(B)

49

50 s KKK CKK KKC KCK CCK CKC KCC CCC S X R x X(s) X(S)

51 Variável Aleatória Uma função X que associa a cada elemento de S (s S) um número real x X(s) é denominada variável aleatória.

52 O conjunto de valores O conjunto formado por todos os valores x, isto é, a imagem da variável aleatória X, é denominado de conjunto de valores de X. X(S) { x R X(s) x }

53 Tipos de variáveis Conforme o conjunto de valores X(S) uma variável aleatória poderá ser discreta ou contínua.

54 Variável Discreta (VAD) Se o conjunto de valores for finito ou então infinito enumerável a variável é dita discreta.

55 Variável Contínua (VAC) Se o conjunto de valores for infinito não enumerável então a variável é dita contínua.

56

57 A função de probabilidade (fp) A função de probabilidade (fp) de uma VAD é a função que associa a cada x i X(S) o número f(x i ) P(X x i ) que satisfaz as seguintes propriedades: f(x i ) 0, para todo i f(x i ) 1

58 A distribuição de probabilidade A coleção dos pares [x i, f(x i )] para i 1,, 3,... é denominada de distribuição de probabilidade da VAD X.

59 Exemplo: Suponha que uma moeda equilibrada é lançada três vezes. Seja X número de caras. Então a distribuição de probabilidade de X é:

60 KKK X f CKK 0 0 KKC KCK CCK CKC KCC CCC S x(s) R f (x) [0;1]

61 X f KKK CKK KKC KCK CCK CKC /8 3/8 3/8 1/8 KCC CCC x(s) R f (x) [0;1] S

62 Exemplo: Suponha que um par de dados é lançado. Então X soma do par é uma variável aleatória discreta com o seguinte conjunto de valores:

63 Como X((a, b)) a + b, o conjunto de valores de X é dado por: X(S) {, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1}

64 A função de probabilidade f(x) P(X x), associa a cada x X(S), um número no intervalo [0; 1] dado por: f(x) P(X x) P(X(s) x) P([x X(S) / X(s) x})

65 Desta forma: f() P(X ) P{(1,1)} 1/36 f(3) P(X 3) P{(1,), (, 1)} /36... f(11) P(X11) P{(6, 5), (5, 6)} /36 f(1) P(X 1) P{(6, 6)} 1/36 A distribuição de probabilidade será:

66 A distribuição de probabilidade de X será então: x Σ 1 f(x)

67 Representação de uma distribuição de probabilidade: Poderá ser feita por meio de: uma tabela uma expressão analítica (fórmula) um diagrama

68 Tabela Seja X número de caras, obtidas no lançamento de 4 moedas honestas. Então a distribuição de X é a da tabela ao lado. x f(x) 0 1/16 1 4/16 6/16 3 4/16 4 1/16 Σ 1

69 Expressão analítica Considere X soma do par, no lançamento de dois dados equilibrados, então: f : X(S) R x (x - 1)/36 se x 7 (1 - x + 1)/36 se x > 7

70 Diagrama 0,18 0,16 0,14 0,1 0,10 0,08 0,06 0,04 0,0 0,

71 VAD - Caracterização (a) Expectância, valor esperado (Expectation) µ E(X) x.f(x) x.p(x x) (b) Variância (Variance) σ f(x) (x µ ) x f(x) µ E( X )-E(X)

72 (iii) Desvio Padrão (Standard Deviation) σ f (x)(x µ ) x f (x) µ E( X )-E(X) (iv) O Coeficiente de Variação (Variation Coeficient) γ σ/µ

73 Exemplo Calcular o valor esperado, a variabilidade da variável X número de caras no lançamento de quatro moedas honestas.

74 Cálculos x f(x) x.f(x) x f(x) 0 1/ /16 4/16 4/16 6/16 1/16 4/16 3 4/16 1/16 36/16 4 1/16 4/16 16/16 Σ 1 5

75 Tem-se: Assim: (i) E(X) caras (ii) σ cara (iii) γ /1 00%

76 A Função de Distribuição (FD) Seja X uma variável aleatória (discreta ou contínua). A função de distribuição (acumulada) ou simplesmente função de repartição é definida por: F(x) P(X x).

77 Determinação de probabilidades a partir da FD (i) P(a < X b) F(b) F(a); (ii) P(X < a) F(a) e (iii) P(X > a) 1 - F(a)

78

79 Bernoulli Binomial Poisson

80

81 Experimento Qualquer um que corresponda a apenas dois resultados. Estes resultados são anotados por 0 ou fracasso e 1 ou sucesso. A probabilidade de ocorrência de sucesso é representada por p e a de insucesso por q 1 p.

82 Conjunto de Valores X(S) {0, 1} A Função de Probabilidade (fp) f (x) P(X x) 1 p p se se x 0 x 1

83 A Função de Probabilidade (fp) 1,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 0 1

84 Características Expectância ou Valor Esperado E(X) x.f (x) 0.q + 1.p p Variância V(X) E(X ) - E(X) (0.q + 1.p) p p p p(1 p) pq

85 Suponha que um circuito é testado e que ele seja rejeitado com probabilidade 0,10. Seja X o número de circuitos rejeitados em um teste. Determine a distribuição de X.

86 Como se trata de um único teste, a variável X é Bernoulli com p 10%, assim a distribuição é: f (x) P(X x) 0,9 0,1 se se x 0 x 1

87

88 Experimento Como existem apenas duas situações: A ocorre ou não, pode-se determinar a probabilidade de A não ocorrer como sendo q 1 p. A VAD definida por X número de vezes que A ocorreu nas n repetições de E é denominada BINOMIAL.

89 Conjunto de Valores X(S) {0, 1,, 3,..., n} A Função de Probabilidade (fp) f (x) P(X x) n x p x q n x

90 A Função de Probabilidade (fp) 0,18 0,16 0,14 0,1 0,10 0,08 0,06 0,04 0,0 0,

91 Características Expectância ou Valor Esperado E(X) x.f (x) Variância n x n x x. p q x np V(X) E(X ) - E(X) n x n x E(X ) x. p q n(n -1) p + x np

92 V(X) E(X ) - E(X) n(n 1) p + np (np) n p + np np(1 p) npq Assim: E (X) np σx npq

93 Exemplo: Uma fábrica recebe um lote de 100 peças das quais cinco são defeituosas. Suponhamos que a fábrica aceite todas as 100 peças se não houver nenhuma defeituosa em uma amostra aleatória de 10 peças selecionadas para inspeção. Determinar a probabilidade de o lote ser aceito.

94 Tem-se: n 10 e p 5/100 0,05 f (0) P(X 0) 10 0, ,87% 0 0,95 10

95 Então: Tem-se: n 10 e p 5/100 5% f (0) P(X 0) 59,87% 10.(0,5) 0 0.(0,95) 10

96

97 Seja X uma variável aleatória com conjunto de valores X(S). Se o conjunto de valores for infinito não enumerável então a variável é dita contínua.

98 A Função Densidade de Probabilidade É a função que associa a cada x X(S) um número f(x) que deve satisfazer as seguintes propriedades: f(x) 0 f(x)dx 1

99 A Distribuição de Probabilidade A coleção dos pares (x, f(x)) é denominada de distribuição de probabilidade da VAC X.

100 Exemplo Seja X uma VAC. Determine o valor de c para que f(x) seja uma função densidade de probabilidade (fdp). f (x) c.x 0 se 1 c. c. x 1

101 Para determinar o valor de c, devemos igualar a área total a um, isto é, devemos fazer: 1-1 f(x)dx c.x dx 1

102 Tem-se: 1-1 c.x dx 1-1 c x dx 3 1 x c 3-1 c 1 3 c c

103 Representação Gráfica 1,5 1,0 0,5 0,0 f (x) 3x -1,5-1,3-1,0-0,8-0,5-0, 0,0 0,3 0,5 0,8 1,0 1,3 1,5-1 X 1

104 Cálculo da Probabilidade P(a < X < b) b a f (x) dx y a b x a < X < b

105 P(a < X < b) b a f (x) dx Isto é, a probabilidade de que X assuma valores entre os números a e b é a área sob o gráfico de f(x) entre os pontos x a e x b.

106 Observações: Se X é uma VAC, então: P(X P(a < a) X < a a b) f (x)dx P(a P(a P(a < X X X 0 < b) b) b).

107 Exemplo Seja X uma VAC. Determine a probabilidade de X assumir valores no intervalo [-0,5; 0,5]. f (x) 3x 0 se 1 c. c. x 1

108 A probabilidade solicitada é dada por: P( 0,5 < X < 0,5) 0,5-0,5 3 3x 0,5-0,5 dx x dx 1 [(0,5) 1,50% 3 3 (-0,5) x 3 3 ] 3 0,5-05

109 VAC Caracterização (a) Expectância, valor esperado µ E(X) xf (x) dx (b) Variância σ V(X) x x f (x)dx f (x)dx (x µ) µ f (x)dx ( xf (x)dx) E(X ) E(X)

110 (iii) Desvio Padrão σ (x µ) f (x)dx x f (x)dx µ E(X ) E(X) (iv) O Coeficiente de Variação γ σ/µ

111 Exemplo : Determinar a expectância e o desvio padrão da variável X dada por: f (x) 3x 0 se 1 c. c. x 1

112 µ E(X) x. 3x x.f(x)dx 1-1.dx x 3 3 dx x 4 1-1

113 σ E(X ) E(X ) 1. 3x x dx x E(X) x dx ,60 1-1

114 O desvio padrão de X será, então: σ E(X ) E(X) 0,60 0 0,77

115 A Função de Distribuição É a função F(x) definida por: F(x) P(X x) x f (u)du A F(x) é a integral da f(x) até um ponto genérico x.

116 Exemplo Considerando a função abaixo como a fdp de uma VAC X, determinar a F(x). f (x) 3x 0 se 1 c. c. x 1

117 A F(x) é uma função definida em todo o intervalo real da seguinte forma: F(x) 0 x 3u 1 1 du se x < se 1 se x > 1-1 x 1

118 Vamos determinar o valor da integral em u : F(x) x 3 3u du x 3 u du 3 u 1 3 x x [u 3 + ] x 1 1

119 Assim a Função de Distribuição Acumulada (FDA) é: F(x) 0 3 x se se se x < -1 1 x x > 1 1

120 Representação Gráfica F(x) x ,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0,0-1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5

121 Cálculo de Probabilidade com a FDA O uso da FDA é bastante prático no cálculo das probabilidades, pois não é necessário integrar, já que ela é uma função Integral.

122 Usando a FDA, teremos sempre três casos possíveis: P(X x) F(x) P(X > x) 1 F(x) P(x < X < x ) F(x ) 1 F(x 1 )

123

124 Normal t (de Student) χ (Qui-Quadrado) F de Snedecor

125 A distribuição normal Uma variável aleatória X tem uma distribuição normal se sua fdp for do tipo: f (x) 1.e 1. x µ σ, x R π. σ com - < µ < e σ > 0

126 Representação gráfica 0,8 0,6 N(0; 1) N(0; 0,5) N(0; ) N(; 1) 0,4 0, 0,

127 Cálculo de probabilidades P(X x) x 1 π. σ.e 1. u µ σ du? A normal não é integrável por meio do TFC, isto é, não existe uma F(x) tal que F (x) f(x).

128 Solução: Utilizar integração numérica. Como não é possível fazer isto com todas as curvas, escolheu-se uma para ser tabelada (integrada numericamente).

129 A normal padrão A curva escolhida é a N(0, 1), isto é, com µ 0 e σ 1. Se X é uma N(µ, σ), então: Z X µ σ Será uma N(0; 1).

130 A fdp da variável Z é dada por: ϕ(z) 1 π.e z., z R uma vez que µ 0 e σ 1.

131 A distribuição N(0, 1) 0,4 0,3 0, 0,1 0,0-4,0-3,0 -,0-1,0 0,0 1,0,0 3,0 4,0

132 Tabela (ou planilha): O que é tabelado ou obtido na planilha é a FDA da variável Z, isto é: P(Z z) z - ϕ(u)du u 1 z..e du - π Φ(z)

133 A FDA da N(0; 1) 1,0 0,9 0,8 0,7 Φ(z) 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 z 0,0-4,0-3,0 -,0-1,0 0,0 1,0,0 3,0 4,0

134 Uso da tabela ou Planilha Área à esquerda (abaixo) de z P(Z z) Φ(z) Leitura direta Área à direita (acima) de z P(Z > z) 1- P(Z z) 1- Φ(z) Φ( z) Área entre dois valores de z P( z < Z < z ) Φ(z ) Φ(z ) 1 1

135 Exemplo: Uma VAC tem distribuição normal de média 50 e desvio padrão 8. Determinar: (a) P(X 40) (b) P(X > 65) (c) P(45 < X < 6)

136 (a) P(X 40) P(X 40) P( X µ σ ) P(Z 1,5) 10,56%

137 (b) P(X > 65) P(X > 65) P( X µ σ > ) P(Z > 1,88) 1 P(Z < 1,88) 1 Φ(1,88) Φ( 1,88) 3,01%

138 (c) P(45 < X < 6) P(45 < X < 6) P( 8 P( 0,6 < < Z X µ 6 < σ < 1,50) 8 50 ) Φ(1,50) Φ( 0,6) 93,3% 7,67% 65,65%

139 A função inversa: Uma VAC tem distribuição normal de média 50 e desvio padrão 8. Determinar: (a) P(X x) 5% (b) P(X > x) 1%

140 Para resolver este tipo de exercício é preciso utilizar a função inversa, isto pode ser feito utilizando a função Invnorm da planilha.

141 Graficamente 0,05 0,04 0,03 0,0 5% 0,01 P(X x) 5% x 0,

142 Em (a) temos P(X x) 5% P(X x) P( X µ σ x 50 ) 8 P(Z z) Φ(z) 5% onde z x 8 50

143 SeΦ(z) 5%, então Φ 1 z [Φ(z)] Φ 1 Φ (0,05) 1 (5%) O valor acima pode ser obtido diretamente da planilha.

144 Assim z 1,645 x 50 Como z, tem 8 x 50 1,645 z 8 x 50 1, ,84 se:

145 Em (b) temos P(X > x) 1% P(X > x) X µ P( σ P(Z > z) > x 50 ) 8 1 Φ(z) 1% 0,01 Mas 1 Φ(z) Φ( z) Logo z Φ 1 (0,01)

146 0,05 0,05 0,04 0,04 0,03 0,03 0,0 0,0 0,01 0,01 P(X > x) 1% 1% 0,00 0, x

147

148 Uma variável aleatória X tem uma distribuição t ou de Student se sua fdp for do tipo: f (x) υ + 1 Γ 1+ x υ υ πυ. Γ para x υ+ 1 R

149 0,40 0,30 0,0 fdp de t(1) t(5) t(5) 0,10 0,

150 Expectância ou Valor esperado µ E (X) 0 Variância Var(X) υ υ - O valor υ é denominado de Grau de liberdade

151 A planilha fornece a função direta e inversa (percentis), em relação a área à direita (unilateral) ou da soma das caudas (bilateral) de cada curva, isto é, a tabela retorna um valor t tal que P(Τ t) α (unilateral) ou P( T t) α.

152

153 Uma variável aleatória X tem uma distribuição Qui-Quadrado se sua fdp for do tipo: x υ f (x) 0 υ 1 e υ Γ x se x sex > 0 0

154 Expectância ou Valor esperado E (X) υ Variância Var(X) υ O valor υ é denominado de Grau de liberdade

155 1,00 0,80 Q(1) Q() Q(3) 0,60 0,40 0,0 0,00 0,0 1,0,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

156 A planilha fornece a função direta e inversa, em relação a área à direita de cada curva (uma para cada linha), isto é, dado um valor de área na cauda direita (α), a tabela retorna um valor x tal que P(χ x) α

157

158 Uma variável aleatória X tem uma distribuição F ou de Snedecor se sua fdp for do tipo: ( ) 0 sex 0 0 x se n Γ m Γ mx n x n m n m Γ (x) f n m 1 m n m > + + +

159 Expectância ou Valor esperado m E(X) m Variância m é o grau de liberdade do numerador e n do denominador Var(X) (m + n - ) m(n - )(n - m 4)

160 1,0 0,8 0,6 fdp de F(1, 3) F(, 5) F(5, 10) F(0, 0) 0,4 0, 0,

161 A planilha fornece a função direta e inversa da área à direita de cada curva (uma para cada par de valores numerador, denominador).