Experiência para o qual o modelo probabilístico é adequado. Efeito. Causas. Prof. Lorí Viali, Dr.

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1 Prof. Lorí Viali, Dr. Prof. Lorí Viali, Dr. Determinístico Sistema Real Causas Efeito Probabilístico X Causas Efeito Experiência para o qual o modelo probabilístico é adequado.

2 Não é possível prever um resultado particular, mas pode-se enumerar todos os possíveis; Podem ser repetidos inúmeras vezes sob as mesmas condições; Quando repetidos um grande número de vezes apresentam regularidade em termos de freqüências. E : Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se o número de caras e coroas; E : Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se a seqüência de caras e coroas ; E 3 : Uma lâmpada nova é ligada e conta-se o tempo gasto até queimar;

3 E 4 : Joga-se uma moeda até que uma cara seja obtida. Conta-se o número de lançamentos necessários; E 5 : Jogam-se dois dados e observa-se o par de valores obtido; É o conjunto de resultados S {,, 3, 4} de uma experiência aleatória. S { cccc, ccck, cckc, ckcc, kccc, cckk, kkcc, ckkc, kcck, ckck, kckc, kkkc, kkck, kckk, ckkk, kkkk} S 3 { t R / t } 3

4 S 4 {,, 3,...} S 5 { (, ), (, ),(,3), (, 4), (, 5), (, 6) (, ), (, ), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6) (3, ), (3, ), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6) (4, ), (4, ), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) (5, ), (5, ), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6) (6, ), (6, ), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) } Um evento é um subconjunto de um espaço amostra. Seja S {,, 3, 4, 5, 6 } o espaço amostra, obtido no lançamento de um dado. Então são eventos: A {, 3, 5} B { 6 } C { 4, 5, 6} D E S Seja E um experimento com espaço amostra associado S. Diremos que o evento A ocorre se realizado E o resultado é um elemento de A. Sejam A e B eventos de um espaço S. Diremos que ocorre o evento: A união B, A soma B ou A mais B, se e sós se A ocorre ou B ocorre. A B 4

5 Sejam A e B eventos de um espaço S. Diremos que ocorre o evento: A produto B, A vezes B ou A interseção B, se e só se A ocorre e B ocorre. A B Sejam A e B eventos de um espaço S. Diremos que ocorre o evento: A menos B, A diferença B, se e só se A ocorre e B não ocorre. A - B Sejam A e B eventos de um espaço S. Diremos que ocorre o evento: Complementar de A (não A) se e só se A não ocorre. A A C A Dois eventos A e B são mutuamente excludentes se não puderem ocorrer juntos. Leis Comutativas A B B A A B B A Leis Associativas (A B) C A (B C) (A B) C A (B C) Leis Distributivas Α (B C) ( Α B) (A C) Α (B C) ( Α B) (A C) Leis de De Morgan A B AU B A B A B 5

6 Outras Propriedades A A A B A B A B B A CLÁSSICO FREQÜENCIAL AXIOMÁTICO (número de casos favoráveis) P(A) _ (número de casos possíveis) Qual a probabilidade de ganhar no Toto- Bola? Casos favoráveis Casos possíveis: P(Toto_Bola) Número de favoráveis Número de possíveis ,3% 6

7 (número de vezes que A ocorre) fr A (número de vezes que E é repetido) Um dado é lançado vezes e apresenta FACE SEIS 8 vezes. Então, a freqüência relativa de FACE SEIS é: fr6 número de vezes que "f_seis" ocorre número de vezes que o dado é jogado 8,5 5% P(A) lim fr A n P(A) é um número real que deve satisfazer as seguintes propriedades: () P(A) () P(S) (3) P(AUB) P(A) + P(B) se A B () P( ) () P( A) - P(A) (3) P(A - B) P(A) - P(A B) 7

8 (4) P(AUB) P(A) + P(B) - P(A B) (5) P(AUBUC) P(A) + P(B) + P(C) - - P(A B) - P(A C) - P(B C) + + P(A B C) Motivação Considere uma urna com 5 fichas, onde 4 são pretas e são brancas. Suponha que desta urna são retiradas duas fichas, ao acaso e sem reposição: Sejam os eventos: A { a primeira ficha é branca} B { a segunda ficha é branca} Então: P(A) /5, % P(B)?/49 Neste caso, não se pode avaliar P(B), pois para isto é necessário saber se A ocorreu ou não, isto é, se saiu ficha branca na primeira retirada. Nesse caso, a probabilidade de B ocorrer, dado que A ocorreu é representada e calculada por: P(B/A) 9/49 Se A não tivesse ocorrido, então: Dois eventos A e B são independentes se a probabilidade de um ocorrer não altera a probabilidade do outro ocorrer, isto é: P(B/ A) /49 8

9 Se: () P(A/B) P(A) ou () P(B/A) P(B) ou ainda (3) P(A B) P(A).P(B) Uma urna contém 6 fichas azuis e 4 vermelhas. Duas fichas são retiradas ao acaso. Determinar as seguintes probabilidades: (i) Duas fichas azuis. (ii) Uma azul e uma vermelha. (iii) Duas fichas da mesma cor. Considerando que a extração (a) é com reposição e (b) é sem reposição. Para a situação (a), tem-se: (i) P(A A ) P(A ).P(A ) (6/).(6/) 36/ 36%. (ii) P(AV VA).P(AV).(6/).(4/) 48/ 48%. (iii) P(A A V V ) P(A A ) + P(V V ) (36/) + (6/) 5/ 5%. Para a situação (b), tem-se: (i) P(A A ) P(A ).P(A /A ) (ii) P(AV VA).P(A)P(V/A) (iii) P(A A V V ) P(A )P(A /A ) + P(V )P(V /V ) KKK CKK KKC KCK CCK CKC KCC s CCC S X x X(s) 3 R X(S) 9

10 Uma função X que associa a cada elemento de S (s S) um número real x X(s) é denominada variável aleatória. O conjunto formado por todos os valores x, isto é, a imagem da variável aleatória X, é denominado de conjunto de valores de X. X(S) { x R/ X(s) x } Conforme o conjunto de valores X(S) uma variável aleatória poderá ser discreta ou contínua. Se o conjunto de valores for finito ou então infinito enumerável a variável é dita discreta. Se o conjunto de valores for infinito não enumerável então a variável é dita contínua.

11 A função de probabilidade (fp) de uma VAD é a função que associa a cada x i X(S) o número f(x i ) P(X x i ) que satisfaz as seguintes propriedades: f(x i ), para todo i f(x i ) A coleção dos pares [x i, f(x i )] para i,, 3,... é denominada de distribuição de probabilidade da VAD X. Suponha que uma moeda equilibrada é lançada três vezes. Seja X número de caras. Então a distribuição de probabilidade de X é: KKK CKK KKC KCK CCK 3 CKC KCC X CCC R [;] x f (x) S f KKK CKK /8 KKC 3/8 KCK CCK 3/8 3 CKC /8 KCC X f CCC R [;] x f (x) S

12 Suponha que um par de dados é lançado. Então X soma do par é uma variável aleatória discreta com o seguinte conjunto de valores: Como X((a, b)) a + b, o conjunto de valores de X é dado por: X(S) {, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,, } A função de probabilidade f(x) P(X x), associa a cada x X(S), um número no intervalo [; ] dado por: f(x) P(X x) P(X(s) x) P([x X(S) / X(s) x}) Desta forma: f() P(X ) P{(,)} /36 f(3) P(X 3) P{(,), (, )} /36... f() P(X) P{(6, 5), (5, 6)} /36 f() P(X ) P{(6, 6)} /36 A distribuição de probabilidade será: A distribuição de probabilidade de X será então: Através de: x f(x) Σ uma tabela uma expressão analítica (fórmula) um diagrama

13 Seja X número de caras, obtidas no lançamento de 4 moedas honestas. Então a distribuição de X é a dada ao lado. x 3 4 Σ f(x) /6 4/6 6/6 4/6 /6 Considere X soma do par, no lançamento de dois dados equilibrados, então: f : X(S) R x (x - )/36 se x 7 ( - x +)/36 se x > 7,8,6,4,,,8,6,4,, (a) Expectância, valor esperado μ E(X) x.f (x) x.p(x x) (b) Desvio padrão σ f (x)(x μ) x f (x) μ Calcular o valor esperado e a variabilidade da variável X número de caras no lançamento de quatro moedas honestas. x 3 4 Σ f(x) /6 4/6 6/6 4/6 /6 x.f(x) 4/6 /6 /6 4/6 3/6 x f(x) 4/6 4/6 36/6 6/6 8/6 3

14 (a) Expectância ou valor esperado 3 μ E (X) x.f (x) caras 6 (b) Desvio padrão 8 σ x f (x) μ (c) Moda m o caras (d) Mediana m e caras Bernoulli Binomial EXPERIMENTO Qualquer um que corresponda a apenas dois resultados. Estes resultados são anotados por ou fracasso e ou sucesso. A probabilidade de ocorrência de sucesso é representada por p e a de insucesso por q p. Conjunto de Valores X(S) {, } A Função de Probabilidade (fp) p f (x) P(X x) p se x se x 4

15 A Função de Probabilidade (fp), A Função de Distribuição (FD),8,6,4, F(x) P(X x) q se x < se x < sex, Função de Distribuição Características Expectância ou Valor Esperado p E(X) x.f (x).q +.p p Variância V ( X ) E ( X ) - E(X) q (.q +.p ) p p p p ( p ) pq EXPERIMENTO Como existem apenas duas situações: A ocorre e A não ocorre, pode-se determinar a probabilidade de A não ocorrer como sendo q p. A VAD definida por X número de vezes que A ocorreu nas n repetições de E é denominada BINOMIAL. 5

16 Conjunto de Valores X(S) {,,, 3,..., n} A Função de Probabilidade (fp) f (x) n P(X x) p x x q n x A Função de Probabilidade (fp),8,6,4,,,8,6,4,, A Função de Distribuição (FD) x n k F(x) P(X x) p q k k n-k se x < se x n se x > n Função de Distribuição,,9,8,7,6,5,4,3,,, Características Expectância ou Valor Esperado n x n x E(X) x.f (x) x. p q np x Variância V(X) E(X ) - E(X) n x n x E(X ) x. p q n(n -) p x + np V(X) E(X n p ) - E(X) n(n ) p + np (np) Assim: + np np( p) npq E (X) σx np npq 6

17 Suponha que numa prova de questões objetivas, de escolha múltipla, um candidato respondeu todas ao acaso. Se o número de alternativas em cada questão é cinco, qual a probabilidade de que tenha acertado 6 questões. Como se tratam de questões a variável X número de acertos ao acaso é uma Binomial com p %, assim a distribuição é: x x f(x) P(X x) (,).(,8) x para x,,,..., Portanto a probabilidade solicitada vale: 6 6 f(6) P(X 6) (,).(,8) ,55% (,) (,8) Variável Aleatória Contínua (VAC) A função densidade de probabilidade (fdp) É a função que associa a cada x de X(S) um número f(x) que deve satisfazer as seguintes propriedades: (i) f(x) (isto é, a função deve ser positiva estar acima do eixo x) e () A área total sob a curva deve ser igual a um. Cálculo de probabilidade com uma VAC A coleção dos pares (x, f(x)) é denominada de distribuição de probabilidade da VAC X. P ( a < X < b ) Á rea entre "a" e "b". y a b x a < X < b 7

18 Diferenças entre uma VAD e uma VAC Distribuições de probabilidade Contínuas (Modelos probabilísticos) P ( X a ) P (a < X < b ) P (a X < b ) A Normal P (a < X b ) P ( a X b ),8 N(; ),6,4, N(;,5) N(; ) N(; ) Como não é possível calcular a área de todas as curvas, escolheu-se uma para ser tabelada., A curva escolhida é a N(, ), isto é, com μ e σ. Se X é uma N(μ, σ), então: Z X μ σ Será uma N(; ),4,3,,, -4, -3, -, -,,,, 3, 4, 8

19 O que é tabelado é a FDA da variável Z, isto é: P(Z z) Área a esquerda (abaixo) de z.,,9,8,7,6,5 Φ(z),4,3, z,, -4, -3, -, -,,,, 3, 4, Área à esquerda (abaixo) de z P(Z z) Φ(z) Leitura direta Área à direita (acima) de z P(Z > z) -P(Z z) -Φ(z) Φ( z) Área entre dois valores de z P( z < Z < z ) Φ (z ) Φ (z) A tabela é construída como uma matriz. As linhas fornecem a unidade ou unidade mais décimo e as colunas fornecem os centésimos. Assim para ler, por exemplo, -,5 deve-se procurar na linha do, + coluna do 5 (sexta coluna). A primeira é a do (zero). A aproximação é centesimal ( casas após a vírgula) exceto na linha do 3 e do +3, que estão destacadas, onde a aproximação é, em virtude da pouca área, decimal. Observe que está escrito 3 e não 3,! Aproximação decimal, isto é, fatias de,. Depois do ±3, segue ±3, o ±3, até,4 Aproximação centesimal, ±3,9. isto é, fatias de,.,3 Depois do -3, segue,99 o,98 até +,99 e daí 3,.,,, -4, -3, -, -,,,, 3, 4, 9

20 z 3-3,3,,7,5 -,9,9 P(Z,8 < -3,3),8,7 -,8,6 Φ(-3,3),5,4,3 -,7,35,34,33,3 -,6,47 P(Z,45 < -,53),44,43 -,5,6 Φ(-,53),6,59,57 -,4,8,8,78,75 -,3,7,4,,99 P(Z < -,) -,,39,36,3,9 Φ(-,) -,,79,74,7,66 -,,8,,7, Uma VAC tem distribuição normal de média 5 e desvio padrão 8. Determinar: (a) P(X 4) (b) P(X > 65) (c) P(45 < X < 6) (a) P(X 4) (b) P(X > 65) P(X 4) X P( μ 4 5 ) σ 8 P(Z,5),56% P(X > 65) X P( μ σ 65 5 > ) 8 P(Z >,88) P(Z <,88) Φ(,88) Φ(,88) 3,% (c) P(45 < X < 6) P(45 < X < 6) 45 5 P( < 8 P(,6 < Z X μ 6 5 < ) σ 8 <,5) Φ(,5) Φ (,6) 93,3% 7,67% 65,65%

21 Uma VAC tem distribuição normal de média 5 e desvio padrão 8. Determinar: (a) P(X x) 5% (b) P(X > x) % Para resolver este tipo de exercício é preciso utilizar a função inversa, isto pode ser feito direto na tabela. Só que agora devemos procurar uma probabilidade (corpo da tabela) e obter um valor de z (lateral da tabela).,5,4,3, 5%, P(X x) 5%, x Em (a) temos P(X x) 5% P(X x) onde X P( x 5 z 8 μ σ x 5 ) 8 P(Z z) Φ (z) 5% Se Φ ( z ) 5 %, então Φ z [ Φ ( z )] Φ Φ (, 5 ) ( 5%) Procurando na tabela, o valor (z) mais próximo de 5%,5, tem-se: z ,3,,7,5,3, -,9,9,8,8,7,6,6 -,8,6,5,4,3,3, -,7,35,34,33,3,3,3 -,6,47,45,44,43,4,4 -,5,6,6,59,57,55,54 -,4,8,8,78,75,73,7 -,3,7,4, z -,64 z -,65,99,96,94 -,,39,36,3,9,5, -,,79,74,7,66,6,58 -,,8,,7,,7, -,9,87,8,74,68,6,56 -,8,359,35,344,336,39,3 -,7,446,436,47,48,49,4 -,6,548,537,56,56,55,495 -,5 Prof. Lorí Viali,,668Dr. UFRGS,655 Instituto,643 de Matemática,63 - Departamento,68 de Estatística,66

22 Assim Como os dois valores estão a mesma distância, isto é, apresentam o mesmo erro (,5), pega-se a média entre eles.,64 +,65 z,645 x 5 Como z, tem 8 x 5,645 z 8 x 5, ,84 se :,5 Em (b) temos P(X > x) % P(X P(Z > Mas > x) Logo z X P( z) Φ (z) %, Φ (z) Φ ( z) Φ μ σ (,) x 5 > ) 8,5,4,4,3,3,,,, % P(X > x) %, x Procurando na tabela, o valor (z) mais próximo de %,, tem-se: z -,33 Conforme pode ser visto na próxima lâmina! z 3-3,3,,7,5 -,9,9,8,8,7 -,8,6,5,4,3 -,7,35,34z -,33,33,3 -,6,47,45,44,43 -,5,6,6,59,57 -,4,8,8,78,75 -,3,7,4,,99 -,,39,36,3,9 -,,79,74,7,66 Prof. -,Lorí Viali, Dr.,8 UFRGS Instituto, de Matemática -,7 Departamento de Estatística,

23 Como z Φ (,), tem se : (,33 ) x 5 8 x, ,64,4,3, fdp de t() t(5) t(5),, Expectância ou Valor esperado μ E (X) Variância Var(X) υ υ- O valor υ é denominado de Grau de liberdade O que é tabelado é a função inversa (percentis), em relação a área à direita (unilateral) de cada curva (uma para cada linha), ou a soma das caudas (bilateral), isto é, a tabela retorna um valor t tal que P(Τ t) α (unilateral) ou P( T t) α. 3

24 As duas opções podem ser colocadas em uma mesma tabela. Pode-se ler uma área (α) de cima para baixo e se ter um valor unilateral (P(T t) α) ou ler a área (α) de baixo para cima e se ter um valor t tal que P(T t) α/.,,,5,4,3, 3,78 6,34,76 5,894,5 3,8,886,9 4,33 4,849 5,643 6,965 3,638,353 3,8 3,48 3,896 4,54 P( Τ 4,533,3 9,6) 5%,776,999 3,98 3,747 5,476,5,57,757 3,3 3,365 6,44,943,447,6,89 3,43 7,45,895,365,57,75,998 8,397,86,36,449,634,896 9,383,833,6,398,574,8,37,8,8,359,57,764,,,5,4,3, 3,78 6,34,76 5,894,5 3,8,886,9 4,33 4,849 5,643 6,965 3,638 P(Τ 9,353 < -,6) 3,8,5% 3,48ou 3,896 4,54 4,533 P(Τ,3 9 >,6),776,5%,999 3,98 3,747 5,476,5,57,757 3,3 3,365 6,44,943,447,6,89 3,43 7,45,895,365,57,75,998 8,397,86,36,449,634,896 9,383,833,6,398,574,8 Prof. Lorí Viali,,37 Dr. UFRGS,8 Instituto,8 de Matemática,359 - Departamento,57 de Estatística,764 Expectância ou Valor esperado E(X) υ Variância Var(X) υ,,8,6,4, Q() Q() Q(3) O valor υ é denominado de Grau de liberdade,,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 4

25 O que é tabelado é a função inversa, em relação a área à direita de cada curva (uma para cada linha), isto é, dado um valor de área na cauda direita (α), a tabela retorna um valor x tal que P(χ x) α.,995,99,975,95,9,,,,4,6,,,5,3, 3,7,5,6,35,584 4,7,97,484,7,64 5,4,554,83,45,6 6,676,87,37,635,4 7,989 P[χ,39 (),] 9%,69,67,833 8,344,647,8,733 3,49 9,735,88,7 3,35 4,68,56,558 3,47 3,94 4, ,,5,5,,5 5,949 56,94 6,56 64,95 68,53 54,9 58,4 6,777 66,6 69,336 55,3 59,34 P[χ (49) 74,99] 6,99 67,459 % 7,66 56,369 6,48 64, 68,7 7,89 57,55 6,656 65,4 69,957 73,66 58,64 6,83 66,66 7, 74,437 59,774 64, 67,8 7,443 75,74 6,97 65,7 69,3 73,683 76,969 6,38 66,339 7, 74,99 78,3 63,67 67,55 7,4 76,54 79,49 5