Tipos de Modelos. Exemplos. Efeito. Causas. Exemplos. Causas. Efeito. Modelo determinístico. Modelo probabilístico. Determinístico.

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1 Tipos de Modelos Sistema Real Determinístico Probabilístico Modelo determinístico Exemplos Gravitação F GM M /r Causas Efeito Aceleração clássica v at Aceleração relativística v at + a t c Modelo probabilístico Exemplos Binomial n x. p.( p) f ( x) x 0 n x x { 0,,..., n} c. c. X Causas Efeito Poisson x λ. e f ( x) x! 0 λ x N c. c. Normal f ( x). e π. σ x µ. σ, x R

2 Experimento Aleatório Exemplos Experiência para o qual o modelo probabilístico é adequado. E : Joga-se um dado e observa-se o número da face superior. E : Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se o número de caras e coroas; E 3 : Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se a sequência de caras e coroas; E 4 : Uma lâmpada nova é ligada e contase o tempo gasto até queimar; E 5 : Joga-se uma moeda até que uma cara seja obtida. Conta-se o número de lançamentos necessários; E 6 : Uma carta de um baralho comum de 5 cartas é retirada e seu naipe registrado; E 7 : Jogam-se dois dados e par de valores obtido; observa-se o Espaço amostra(l) Exemplos S {,, 3, 4, 5, 6} É o conjunto de resultados de uma experiência aleatória. S {0,,, 3, 4} S 3 { cccc, ccck, cckc, ckcc, kccc, cckk, kkcc, ckkc, kcck, ckck, kckc, kkkc, kkck, kckk, ckkk, kkkk}

3 S 4 { t R / t 0 } S 5 {,, 3,...} S 6 {,,, } S 7 { (, ), (, ),(,3), (, 4), (, 5), (, 6) (, ), (, ), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6) (3, ), (3, ), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6) (4, ), (4, ), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) (5, ), (5, ), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6) (6, ), (6, ), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) } Eventos Exemplo: Um evento é um subconjunto de um espaço amostra. Se S {,, 3, 4, 5, 6} é um espaço amostra, então são eventos: A {, 3, 5} B { 6 } C { 4, 5, 6} D E S Ocorrência de um evento Combinação de eventos Seja E um experimento com espaço amostra associado S. Diremos que o evento A ocorre se realizado E o resultado é um elemento de A. Se A e B são eventos de um mesmo espaço amostra S. Diremos que ocorre o evento: 3

4 A união B, A soma B ou A mais B, se e só se A ocorre ou B ocorre. A B A produto B, A vezes B ou A interseção B, se e só se A ocorre e B ocorre. A B A menos B, A diferença B, se e só se A ocorre e B não ocorre. Complementar de A (não A) se e só se A não ocorre. A B A A C A Eventos mutuamente excludentes (exclusivos) Dois eventos A e B são mutuamente excludentes se não puderem ocorrer juntos. Conceitos de probabilidade CLÁSSICO FREQÜENCIAL AXIOMÁTICO 4

5 Clássico Exemplo: (número de casos favoráveis) P(A) (número de casos possíveis) Qual a probabilidade de ganhar na Loto Fácil? Solução: Casos favoráveis Casos possíveis: P(Loto Fácil) Número de favoráveis Número de possíveis 5 5 0,00003% Frequência relativa de um evento (número de vezes quea ocorre) fr A (número de vezes que E é repetido) Exemplo: Um dado é lançado 0 vezes e apresenta FACE SEIS 8 vezes. Então, a freqüência relativa de face seis é: 5

6 fr6 númerode vezesque"f_seis"ocorre númerode vezesqueo dadoé jogado 8 0,5 5%. 0 Conceito frequencial de probabilidade A probabilidade de um evento A é o limite para o qual tende a frequência relativa de A, quando o número de repetições do experimento tende ao infinito, isto é: P(A) lim n fr A Conceito axiomático P(A) é um número real que deve satisfazer as seguintes propriedades: () 0 P(A) () P(S) (3) P(AUB) P(A) + P(B) se A B Consequências dos axiomas (Teoremas) () P( ) 0 () P( A) - P(A) (3) P(A - B) P(A) - P(A B) (4) P(AUB) P(A) + P(B) - P(A B) (5) P(AUBUC) P(A) + P(B) + P(C)- - P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C) 6

7 Motivação Probabilidade condicionada Considere uma urna com 50 fichas, onde 40 são pretas e 0 são brancas. Suponha que desta urna são retiradas duas fichas, ao acaso e sem reposição: Sejam os eventos: A {a primeira ficha é branca} B {a segunda ficha é branca} Então: P(A) 0/50 0,0 0% Neste caso, não se pode avaliar P(B), pois para isso é necessário saber se A ocorreu ou não, isto é, se saiu ficha branca na primeira retirada. P(B)?/49 Se for informado que A ocorreu, então a probabilidade de B, será: P(B A) 9/49 0,837 8,37%. Observe a notação. Esta representação é lida: P de B dado A; P de B dado quea ocorreu; P de B condicionada a A. 7

8 Definição: P(A B) P(A B) / P(B) Mas: Se P(A B) P(A B) / P(B) então: P(A B) P(A B).P(B) E também: Se P(B A) P(A B) / P(A) então: P(A B) P(A).P(B A) Assim: P(A B) P(A).P(B A) P(A B).P(B) Esse resultado é conhecido como teorema da multiplicação. Independência Dois eventos A e B são ditos independentes se a probabilidade de um ocorrer não altera a probabilidade do outro ocorrer, isto é: Se: () P(A B) P(A) ou () P(B A) P(B) ou ainda (3) P(A B) P(A).P(B) Partição de um espaço amostra Diz-se que os conjuntos: A, A,..., A n eventos de um mesmo espaço amostra S, formam uma partição deste espaço se: 8

9 () A i A j, para todo i j () A A... A n S (3) P(A i ) > 0, para todo i Teorema da probabilidade total B B A B A 3 B pode ser escrito como: B A B (B A ) (B A )... (B A n ) B 9

10 P(B) será então: P(B) P[(B A ) (B A )... (B A n )] P(B A ) + P(B A ) P(B A n ) P(B A i ) P(A i ).P(B/A i ) Assim: P(B) P(A i ).P(B/A i ) Exemplo: Uma peça é fabricada por três máquinas diferentes. A máquina A participa com 0% da produção, a B com 30% e a C com 50%. Solução: Das peças produzidas por A, 5% são defeituosas, das de B 3% e das de C %. Selecionada uma peça ao acaso da produção global qual a probabilidade de ela ser defeituosa. Tem-se: P(A) 0% P(D A) 5% P(B) 30% P(D B) 3% P(C) 50% P(D C) % P(D) P(A i ).P(D A i ) Então: Teorema de Bayes P(D) P(A).P(D A) + P(B).P(D B) + P(C).P(D C) 0,0.0,05 + 0,30.0,03 + 0,50.0,0 B 0,0 + 0, ,005 A4 0,04,40 % 0

11 Calcula a probabilidade de ocorrência de um dos A i (que formam a partição) dado que ocorreu um evento qualquer B. Aplicando a expressão da probabilidade condicionada vem: P(A i B) P(A i B)/ P(B) P(A i ).P(B A i )/ P(B) Exemplo: Na expressão: P(A i B) P(A i ).P(B A i ) / P(B) o valor de P(B) (denominador) é obtido por meio do Teorema da Probabilidade Total. Considerando o exercício anterior, suponha que uma peça seja selecionada e se verifique que ela é defeituosa. Qual a probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina A? Solução: Tem-se: P(A) 0% P(D A) 5% P(B) 30% P(D B) 3% P(C) 50% P(D C) % P(D),40% Então: P(A D) P(A).P(D A) P(A).P(D A) + P(B).P(D B) + P(C).P(D C) 0, 0.0, 05 0,0.0, ,30.0, 03+ 0,50.0,0 0,0 4, 67% 0,04

12 s KKK CKK KKC KCK CCK CKC KCC CCC S X 0 3 R x X(s) X(S) Variável Aleatória O conjunto de valores Uma função X que associa a cada elemento de S (s S) um número real x X(s) é denominada variável aleatória. O conjunto formado por todos os valores x, isto é, a imagem da variável aleatória X, é denominado de conjunto de valores de X. X(S) { x R X(s) x } Tipos de variáveis Variável Discreta (VAD) Conforme o conjunto de valores X(S) uma variável aleatória poderá ser discreta ou contínua. Se o conjunto de valores for finito ou então infinito enumerável a variável é dita discreta.

13 Variável Contínua (VAC) Se o conjunto de valores for infinito não enumerável então a variável é dita contínua. A função de probabilidade (fp) A distribuição de probabilidade A função de probabilidade (fp) de uma VAD é a função que associa a cada x i X(S) o número f(x i ) P(X x i ) que satisfaz as seguintes propriedades: f(x i ) 0, para todo i f(x i ) A coleção dos pares [x i, f(x i )] para i,, 3,... é denominada de distribuição de probabilidade da VAD X. Exemplo: KKK X f Suponha que uma moeda equilibrada é lançada três vezes. Seja X número de caras. Então a distribuição de CKK KKC KCK CCK CKC probabilidade de X é: KCC CCC S x(s) R f (x) [0;] 3

14 KKK CKK KKC KCK CCK CKC KCC CCC S X x(s) 0 3 R f f (x) /8 3/8 3/8 /8 [0;] Exemplo: Suponha que um par de dados é lançado. Então X soma do par é uma variável aleatória discreta com o seguinte conjunto de valores: A função de probabilidade Como X((a, b)) a + b, o conjunto de valores de X é dado por: X(S) {, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, } f(x) P(X x), associa a cada x X(S), um número no intervalo [0; ] dado por: f(x) P(X x) P(X(s) x) P([x X(S) / X(s) x}) Desta forma: f() P(X ) P{(,)} /36 f(3) P(X 3) P{(,), (, )} /36... f() P(X) P{(6, 5), (5, 6)} /36 f() P(X ) P{(6, 6)} /36 A distribuição de probabilidade será: A distribuição de probabilidade de X será então: x Σ f(x)

15 Representação de uma distribuição de probabilidade: Poderá ser feita por meio de: uma tabela uma expressão analítica (fórmula) um diagrama Tabela Seja X número de caras, obtidas no lançamento de 4 moedas honestas. Então a distribuição de X é a da tabela ao lado. x f(x) 0 /6 4/6 6/6 3 4/6 4 /6 Σ Expressão analítica Diagrama Considere X soma do par, no lançamento de dois dados equilibrados, então: f : X(S) R x (x - )/36 se x 7 ( - x + )/36 se x > 7 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 0,08 0,06 0,04 0,0 0, VAD - Caracterização (a) Expectância, valor esperado (Expectation) µ E(X) x.f(x) x.p(x x) (b) Variância (Variance) σ f(x) (x µ ) x f(x) µ E( X )-E(X) (iii) Desvio Padrão (Standard Deviation) σ f (x) f (x) E( )- (x µ ) x µ X E(X) (iv) O Coeficiente de Variação (Variation Coeficient) γ σ/µ 5

16 Exemplo Calcular o valor esperado, a variabilidade da variável X número de caras no lançamento de quatro moedas honestas. Cálculos x f(x) x.f(x) x f(x) 0 / /6 4/6 4/6 6/6 /6 4/6 3 4/6 /6 36/6 4 /6 4/6 6/6 Σ 5 Tem-se: A Função de Distribuição (FD) Assim: (i) E(X) caras (ii) σ 5 4 cara (iii) γ / 0,5 50% Seja X uma variável aleatória (discreta ou contínua). A função de distribuição (acumulada) ou simplesmente função de repartição é definida por: F(x) P(X x). Propriedades da FD (a) 0 F(x) ; (b) F(x ) F(x ) se x < x (c) lim F(x) 0 x (d) lim F(x) x + Determinação de probabilidades a partir da FD (i) P(a < X b) F(b) F(a); (ii) P(X < a) F(a) e (iii) P(X > a) - F(a) 6

17 Bernoulli Binomial Poisson Experimento Qualquer um que corresponda a apenas dois resultados. Estes resultados são anotados por 0 ou fracasso e ou sucesso. A probabilidade de ocorrência de sucesso é representada por p e a de insucesso por q p. A Função de Probabilidade (fp) Conjunto de Valores X(S) { 0, } A Função de Probabilidade (fp),0 0,8 0,6 0,4 p f (x) P(X x) p se se x 0 x 0, 0,0 0 7

18 Características Expectância ou Valor Esperado E(X) x.f (x) 0.q +.p p Variância V(X) E(X ) - E(X) (0.q +.p) p p p p( p) pq Suponha que um circuito é testado e que ele seja rejeitado com probabilidade 0,0. Seja X o número de circuitos rejeitados em um teste. Determine a distribuição de X. Como se trata de um único teste, a variável X é Bernoulli com p 0%, assim a distribuição é: 0,9 f (x) P(X x) 0, se se x 0 x Experimento Como existem apenas duas situações: A ocorre ou não, pode-se determinar a probabilidade de A não ocorrer como sendo q p. A VAD definida por X número de vezes que A ocorreu nas n repetições de E é denominada BINOMIAL. Conjunto de Valores X(S) {0,,, 3,..., n} A Função de Probabilidade (fp) n f (x) P(X x) p x x q n x 8

19 A Função de Probabilidade (fp) Características 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 0,08 0,06 0,04 0,0 0, Expectância ou Valor Esperado n x n x E(X) x.f (x) x. p q np x Variância V(X) E(X ) - E(X) n x n x E(X ) x. p q n(n -) p + np x Exemplo V(X) E(X ) - E(X) n(n ) p + np (np) n p + np np( p) npq Assim: E (X) np σx npq Uma fábrica recebe um lote de 00 peças das quais cinco são defeituosas. Suponhamos que a fábrica aceite todas as 00 peças se não houver nenhuma defeituosa em uma amostra aleatória de 0 peças selecionadas para inspeção. Determinar a probabilidade de o lote ser aceito. Tem-se: n 0 e p 5/00 5% Então: 0 0 f (0) P(X 0).(0,5).(0,95) 0 59,87% 0 9

20 Experimento Na Binomial a variável que interessa é o número de sucessos em um intervalo discreto (n repetições de um experimento). Muitas vezes, entretanto, o interesse é o número de sucessos em um intervalo contínuo, como o tempo, área, superfície, etc. Para determinar a f(x) de uma distribuição deste tipo, será suposto que: (i) Eventos definidos em intervalos não sobrepostos são independentes; (ii) Em intervalos de mesmo tamanho as probabilidades de um mesmo número de sucessos são iguais; Definição: (iii) Em intervalos muito pequenos a probabilidade de mais de um sucesso é desprezível. (iv) Em intervalos muito pequenos a probabilidade de um sucesso é proporcional ao tamanho do intervalo. Se uma variável satisfaz estas quatro propriedades ela é dita VAD de POISSON. Se X é uma VAD de POISSON, então a função de probabilidade de X é dada por: A Função de Probabilidade (fp) f (x) para λ e. λ P(X x) x! x 0,,,... λ é denominada de taxa de sucessos. x A Função de Probabilidade (fp) - P(0) 0,5 0, 0,09 0,06 0,03 0,

21 Características: Expectância ou Valor Esperado E(X) λ Desvio Padrão σ X λ Exemplo: O número de consultas a uma base de dados computacional é uma VAD de Poisson com λ 6 em um intervalo de dez segundos. Qual é a probabilidade de que num intervalo de 5 segundos nenhum acesso se verifique? A taxa de consultas é de seis em dez segundos em cinco segundos teremos uma taxa de λ 3 consultas. Então: -3 0 e.3 f (0) P(X 0) 0! -3 e 4,98% A Função Densidade de Probabilidade Seja X uma variável aleatória com conjunto de valores X(S). Se o conjunto de valores for infinito não enumerável então a variável é dita contínua. É a função que associa a cada x X(S) um número f(x) satisfazer as seguintes propriedades: f(x) 0 f(x)dx que deve

22 A Distribuição de Probabilidade A coleção dos pares (x, f(x)) é denominada de distribuição de probabilidade da VAC X. Exemplo Seja X uma VAC. Determine o valor de c para que f(x) seja uma função densidade de probabilidade (fdp). c.x f (x) 0 se c. c. x Para determinar o valor de c, devemos igualar a área total a um, isto é, devemos fazer: - f(x)dx c. x dx - Tem-se: c.x dx - c x dx - 3 c x 3 c c c 3 - Representação Gráfica Cálculo da Probabilidade,5 b a P(a < X < b) f (x) dx f (x) 3x,0 0,5 y 0,0 -,5 -,3 -,0-0,8-0,5-0, 0,0 0,3 0,5 0,8,0,3,5 - X a b x a < X < b

23 Observações: P(a < X < b) Isto é, a probabilidade de que X assuma valores entre os números a e b é a área sob o gráfico de f(x) entre os pontos x a e x b. b a f (x) dx Se X é uma VAC, então: a P(X a) f (x)dx 0 a P(a < X < b) P(a X < b) P(a < X b) P(a X b). Exemplo Seja X uma VAC. Determine a probabilidade de X assumir valores no intervalo [-0,5; 0,5]. 3x f (x) 0 se c. c. x A probabilidade solicitada é dada por: P( 0,5 < X < 0,5) 0,5-0,5 3x dx 3 0,5 3 3 x -0,5 x dx [(0,5) (-0,5) ],50% 0,5-05 VAC Caracterização (a) Expectância, valor esperado µ E(X) xf (x) dx (b) Variância σ V(X) (x µ) f (x)dx x f (x)dx x f (x)dx µ ( xf (x)dx) E(X ) E(X) (iii) Desvio Padrão σ (x µ) f (x)dx x f(x)dx µ (iv) O Coeficiente de Variação γ σ/µ E(X ) E(X) 3

24 Exemplo: Determinar a expectância e o desvio padrão da variável X dada por: 3x f(x) 0 se c. c. x - µ E(X) x.f(x)dx 3x - x..dx x 3 4 dx x σ E(X ) E(X) ). 3x E(X x dx x x dx , O desvio padrão de X será, então: σ E(X ) E(X) 0,60 0 0,77 A Função de Distribuição É a função F(x) definida por: F(x) P(X x) f (u)du A F(x) é a integral da f(x) até um ponto genérico x. x Exemplo: Considerando a função abaixo como a fdp de uma VAC X, determinar a F(x). 3x f (x) 0 se c. c. x 4

25 A F(x) é uma função definida em todo o intervalo real da seguinte forma: F(x) 0 x 3u du se x < - se x se x > Vamos determinar o valor da integral em u : F(x) x 3u du x 3 x u du 3 3 u 3 x x + 3 [u ] 3 Representação Gráfica Assim a Função de Distribuição Acumulada (FDA) é: 0 se x < - 3 x + F(x) se x se x > 3 x + F(x),0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0,0 -,5 -,0-0,5 0,0 0,5,0,5 Cálculo de Probabilidade com a FDA O uso da FDA é bastante prático no cálculo das probabilidades, pois não é necessário integrar, já que ela é uma função Integral. Usando a FDA, teremos sempre três casos possíveis: P(X x) F(x) P(X > x) F(x) P(x < X < x) F(x) F(x) 5

26 Normal t (de Student) χ (Qui-Quadrado) F de Snedecor A distribuição normal Uma variável aleatória X tem uma distribuição normal se sua fdp for do tipo: f (x).e π. σ x µ. σ, x R com - < µ < e σ > 0 Representação gráfica N(0; ) 0,8 N(0; 0,5) N(0; ) 0,6 N(; ) 0,4 0, 0, Cálculo de probabilidades P(X x) x.e π. σ u. µ σ du? A normal não é integrável por meio do TFC, isto é, não existe uma F(x) tal que F (x) f(x). Solução: Utilizar integração numérica. Como não é possível fazer isto com todas as curvas, escolheu-se uma para ser tabelada (integrada numericamente). 6

27 A normal padrão A curva escolhida é a N(0, ), isto é, com µ 0 e σ. Se X é uma N(µ, σ), então: Z X µ σ Será uma N(0; ). A fdp da variável Z é dada por: ϕ(z).e π z., z R uma vez que µ 0 e σ. A distribuição N(0, ) Tabela (ou planilha): 0,4 0,3 0, 0, 0,0-4,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0 4,0 O que é tabelado ou obtido na planilha é a FDA da variável Z, isto é: z - P(Z z) ϕ(u)du u z..e du Φ(z) - π A FDA da N(0; ),0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 Φ(z) 0,4 0,3 0, z 0, 0,0-4,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0 4,0 Uso da tabela ou Planilha Área à esquerda (abaixo) de z P(Z z) Φ(z) Leitura direta Área à direita (acima) de z P(Z > z) - P(Z z) - Φ(z) Φ( z) Área entre dois valores de z P( z < Z < z) Φ(z) Φ(z) 7

28 Exemplo: Uma VAC tem distribuição normal de média 50 e desvio padrão 8. Determinar: (a) P(X 40) (b) P(X > 65) (c) P(45 < X < 6) (a) P(X 40) X µ P(X 40) P( ) σ 8 P(Z,5) 0,56% (b) P(X > 65) X µ P(X > 65) P( > ) σ 8 P(Z >,88) P(Z <,88) Φ(,88) Φ(,88) 3,0% (c) P(45 < X < 6) P(45 < X < 6) X µ 6 50 P( < < ) 8 σ 8 P( 0,6 < Z <,50) Φ(,50) Φ( 0,6) 93,3% 7,67% 65,65% A função inversa: Uma VAC tem distribuição normal de média 50 e desvio padrão 8. Determinar: (a) P(X x) 5% (b) P(X > x) % Para resolver este tipo de exercício é preciso utilizar a função inversa, isto pode ser feito utilizando a função Invnorm da planilha. 8

29 Graficamente 0,05 0,04 0,03 0,0 0,0 5% P(X x) 5% x 0, Em (a) temos P(X x) 5% X µ x 50 P(X x) P( ) σ 8 P(Z z) Φ(z) 5% onde x 50 z 8 Se Φ(z) 5%, então Φ [ Φ(z)] Φ z Φ (0,05) (5%) O valor acima pode ser obtido diretamente da planilha. Assim z,645 x 50 Como z, tem se: 8 x 50,645 z 8 x 50, ,84 0,05 Em (b) temos P(X > x) % X µ x 50 P(X > x) P( > ) σ 8 P(Z > z) Φ(z) % 0,0 Mas Φ(z) Φ( z) Logo z Φ (0,0) 0,05 0,04 0,04 0,03 0,03 0,0 0,0 0,0 0,0 % P(X > x) % 0,00 0, x 9

30 Uma variável aleatória X tem uma distribuição t ou de Student se sua fdp for do tipo: f (x) υ+ υ + x Γ + υ υ πυ. Γ para x R 0,40 0,30 0,0 0,0 0,00 fdp de t() t(5) t(5) Expectância ou Valor esperado Variância µ E (X) Var(X) 0 υ υ - O valor υ é denominado de Grau de liberdade A planilha fornece a função direta e inversa (percentis), em relação a área à direita (unilateral) ou da soma das caudas (bilateral) de cada curva, isto é, a tabela retorna um valor t tal que P(Τ t) α (unilateral) ou P( T t) α. 30

31 Uma variável aleatória X tem uma distribuição Qui-Quadrado se sua fdp for do tipo: υ x x e υ f (x) υ Γ 0 sex > 0 sex 0 Expectância ou Valor esperado Variância E(X) υ Var(X) υ O valor υ é denominado de Grau de liberdade,00 Q() Q() Q(3) 0,80 0,60 0,40 0,0 0,00 0,0,0,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 A planilha fornece a função direta e inversa, em relação a área à direita de cada curva (uma para cada linha), isto é, dado um valor de área na cauda direita (α), a tabela retorna um valor x tal que P(χ x) α Uma variável aleatória X tem uma distribuição F ou de Snedecor se sua fdp for do tipo: m n m m + n Γ m n x f (x) m n Γ Γ 0 ( n + mx ) m+ n se x 0 se x > 0 3

32 Expectância ou Valor esperado m E(X) m Variância m é o grau de liberdade do numerador e n do denominador,0 0,8 0,6 0,4 0, fdp de F(, 3) F(, 5) F(5, 0) F(0, 0) (m + ) Var(X) n - m m(n - )(n - 4) 0, A planilha fornece a função direta e inversa da área à direita de cada curva (uma para cada par de valores numerador, denominador). A desiguldade de Tchebycheff, Tchebichev ou Chebyshev (8 894), é dada por: P( X - µ kσ) < /k P( X - µ < kσ) - /k Esta desigualdade fornece a probabilidade de que os valores de uma VAD/VAC estejam em um intervalo simétrico em torno da média de amplitude igual a k desvios padrões. 3

33 Assim se k, por exemplo, a desigualdade de Tchebycheff estabelece que o percentual de valores da variável aleatória que está compreendida no intervalo µ ± σ é de pelo menos - /4 75%. Na normal este percentual vale exatamente 95,44%. X - µ < σ - /4 75%. 33