Tipos de Modelos. Exemplos. Modelo determinístico. Exemplos. Modelo probabilístico. Causas Efeito. Determinístico. Sistema Real.

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1 Tipos de Modelos Sistema Real Determinístico Prof. Lorí Viali, Dr. Probabilístico Modelo determinístico Exemplos Gravitação F GM M /r Causas Efeito Aceleração clássica v at Aceleração relativística v + at a t c Modelo probabilístico Exemplos Binomial n x. p.( p) f ( x) x 0 n x x {0,,..., n} c. c. X Causas Efeito Poisson Normal x λ. e f ( x) x! 0 f ( x) λ. e π. σ x N c. c. x µ. σ, x R

2 Experimento Aleatório Experiência para o qual o modelo probabilístico é adequado. Exemplos E : Joga-se um dado e observa-se o número da face superior. E : Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se o número de caras e coroas; E : Joga-se uma moeda quatro vezes e observa-se a seqüência de caras e coroas; E 4 : Uma lâmpada nova é ligada e contase o tempo gasto até queimar; E 5 : Joga-se uma moeda até que uma cara seja obtida. Conta-se o número de lançamentos necessários; E 6 : Uma carta de um baralho comum de 5 cartas é retirada e seu naipe registrado; E 7 : Jogam-se dois dados e par de valores obtido; observa-se o Espaço amostra(l) Exemplos É o conjunto de resultados de uma experiência aleatória. S {,,, 4, 5, 6} S {0,,,, 4}

3 S { cccc, ccck, cckc, ckcc, kccc, cckk, kkcc, ckkc, kcck, ckck, kckc, kkkc, kkck, kckk, ckkk, kkkk} S 5 {,,,...} S 4 { t R / t 0 } S 6 {,,, } S 7 { (, ), (, ),(,), (, 4), (, 5), (, 6) (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6) (, ), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6) (4, ), (4, ), (4, ), (4, 4), (4, 5), (4, 6) (5, ), (5, ), (5, ), (5, 4), (5, 5), (5, 6) (6, ), (6, ), (6, ), (6, 4), (6, 5), (6, 6) } Eventos Um evento é um subconjunto de um espaço amostra. Exemplo Se S {,,, 4, 5, 6 } é um espaço amostra, então são eventos: A {,, 5} B { 6 } C { 4, 5, 6} D E S Ocorrência de um evento Seja E um experimento com espaço amostra associado S. Diremos que o evento A ocorre se realizado E o resultado é um elemento de A.

4 Combinação de eventos Se A e B são eventos de um mesmo espaço amostra S. Diremos que ocorre o evento: A união B, A soma B ou A mais B, se e só se A ocorre ou B ocorre. A B A produto B, A vezes B ou A interseção B, se e só se A ocorre e B ocorre. A B A menos B, A diferença B, se e só se A ocorre e B não ocorre. A B Complementar de A (não A) se e só se A não ocorre. Eventos mutuamente excludentes (exclusivos) Dois eventos A e B são mutuamente excludentes se não puderem ocorrer juntos. A A C A 4

5 Conceitos de probabilidade Clássico CLÁSSICO FREQÜENCIAL (número de casos favoráveis) P(A) (número de casos possíveis) AXIOMÁTICO Exemplo: Solução: Casos favoráveis Qual a probabilidade de ganhar na Loto Fácil? Casos possíveis: P(Loto Fácil) Número de favoráveis Número de possíveis 5 5 0,0000% Frequência relativa de um evento (número de vezes que A ocorre) fr A (número de vezes que E é repetido) 5

6 Exemplo: Um dado é lançado 0 vezes e apresenta FACE SEIS 8 vezes. Então, a freqüência relativa de face seis é: fr6 númerode vezesque"f_seis"ocorre númerode vezesqueo dadoé jogado 8 0 0,5 5%. Conceito frequencial de probabilidade A probabilidade de um evento A é o limite para o qual tende a frequência relativa de A, quando o número de repetições do experimento tende ao infinito, isto é: P(A) lim fr n A Conceito axiomático P(A) é um número real que deve satisfazer as seguintes propriedades: () 0 P(A) () P(S) () P(AUB) P(A) + P(B) se A B Consequências dos axiomas (Propriedades) () P( ) 0 () P( A) - P(A) () P(A - B) P(A) - P(A B) 6

7 (4) P(AUB) P(A) + P(B) - P(A B) (5) P(AUBUC) P(A) + P(B) + P(C)- - P(A B) - P(A C) - P(B C) Probabilidade condicionada + P(A B C) Motivação Considere uma urna com 50 fichas, onde 40 são pretas e 0 são brancas. Suponha que desta urna são retiradas duas fichas, ao acaso e sem reposição: Sejam os eventos: A {a primeira ficha é branca} B {a segunda ficha é branca} Então: P(A) 0/50 0,0 0% P(B)?/49 Neste caso, não se pode avaliar P(B), pois para isso é necessário saber se A ocorreu ou não, isto é, se saiu ficha branca na primeira retirada. Se for informado que A ocorreu, então a probabilidade de B, será: P(B A) 9/49 0,87 8,7%. Observe a notação. 7

8 Esta representação é lida: P de B dado A; P de B dado que A ocorreu; Definição: P(A B) P(A B) / P(B) P de B condicionada a A. Mas: Se P(A B) P(A B) / P(B) então: P(A B) P(A B).P(B) E também: Se P(B A) P(A B) / P(A) então: P(A B) P(A).P(B A) Assim: P(A B) P(A).P(B A) P(A B).P(B) Esse resultado é conhecido como teorema da multiplicação. Independência Dois eventos A e B são ditos independentes se a probabilidade de um ocorrer não altera a probabilidade do outro ocorrer, isto é: Se: () P(A B) P(A) ou () P(B A) P(B) ou ainda () P(A B) P(A).P(B) 8

9 KKK X x X(s) s CKK KKC KCK CCK CKC KCC CCC S 0 R X(S) Variável Aleatória Uma função X que associa a cada elemento de S (s S) um número real x X(s) é denominada variável aleatória. O conjunto de valores O conjunto formado por todos os valores x, isto é, a imagem da variável aleatória X, é denominado de conjunto de valores de X. X(S) { x R X(s) x } Tipos de variáveis Conforme o conjunto de valores X(S) uma variável aleatória poderá ser discreta ou contínua. Variável Discreta (VAD) Se o conjunto de valores for finito ou então infinito enumerável a variável é dita discreta. 9

10 Variável Contínua (VAC) Se o conjunto de valores for infinito não enumerável então a variável é dita contínua. A função de probabilidade (fp) A função de probabilidade (fp) de uma VAD é a função que associa a cada x i X(S) o número f(x i ) P(X x i ) que satisfaz as seguintes propriedades: f(x i ) 0, para todo i f(x i ) A distribuição de probabilidade A coleção dos pares [x i, f(x i )] para i,,,... é denominada de distribuição de probabilidade da VAD X. Exemplo: Suponha que uma moeda equilibrada é lançada três vezes. Seja X número de caras. Então a distribuição de probabilidade de X é: KKK CKK KKC KCK CCK CKC KCC CCC S X x(s) 0 R f f (x) [0;] 0

11 KKK CKK 0 KKC KCK CCK CKC KCC X /8 /8 /8 /8 CCC R [0;] x(s) f (x) S f Exemplo: Suponha que um par de dados é lançado. Então X soma do par é uma variável aleatória discreta com o seguinte conjunto de valores: Como X((a, b)) a + b, o conjunto de valores de X é dado por: X(S) {,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, } A função de probabilidade f(x) P(X x), associa a cada x X(S), um número no intervalo [0; ] dado por: f(x) P(X x) P(X(s) x) P([x X(S) / X(s) x}) Desta forma: f() P(X ) P{(,)} /6 f() P(X ) P{(,), (, )} /6... f() P(X) P{(6, 5), (5, 6)} /6 f() P(X ) P{(6, 6)} /6 A distribuição de probabilidade será: A distribuição de probabilidade de X será então: x Σ f(x)

12 Representação de uma distribuição de probabilidade: Poderá ser feita por meio de: uma tabela uma expressão analítica (fórmula) um diagrama Tabela Seja X número de caras, obtidas no lançamento de 4 moedas honestas. Então a distribuição de X é a da tabela ao lado. x f(x) 0 /6 4/6 6/6 4/6 4 /6 Σ Expressão analítica Diagrama Considere X soma do par, no lançamento de dois dados equilibrados, então: f : X(S) R x (x - )/6 se x 7 ( - x + )/6 se x > 7 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 0,08 0,06 0,04 0,0 0, VAD - Caracterização (a) Expectância, valor esperado (Expectation) µ E(X) x.f(x) x.p(x x) (b) Variância (Variance) σ f(x) (x µ ) x f(x) µ E( X )-E(X) (iii) Desvio Padrão (Standard Deviation) σ f (x)(x µ ) x f (x) µ E( X )-E(X) (iv) O Coeficiente de Variação (Variation Coeficient) γ σ/µ

13 Exemplo Calcular o valor esperado, a variabilidade da variável X número de caras no lançamento de quatro moedas honestas. Cálculos x f(x) x.f(x) x f(x) 0 / /6 4/6 4/6 6/6 /6 4/6 4/6 /6 6/6 4 /6 4/6 6/6 Σ 5 Tem-se: Assim: (i) E(X) caras (ii) σ 5 4 cara (iii) γ / 00% A Função de Distribuição (FD) Seja X uma variável aleatória (discreta ou contínua). A função de distribuição (acumulada) ou simplesmente função de repartição é definida por: F(x) P(X x). Determinação de probabilidades a partir da FD (i) P(a < X b) F(b) F(a); (ii) P(X < a) F(a) e (iii) P(X > a) - F(a)

14 Bernoulli Binomial Poisson Experimento Qualquer um que corresponda a apenas dois resultados. Estes resultados são anotados por 0 ou fracasso e ou sucesso. A probabilidade de ocorrência de sucesso é representada por p e a de insucesso por q p. Conjunto de Valores X(S) {0, } A Função de Probabilidade (fp) p se x 0 f (x) P(X x) p se x A Função de Probabilidade (fp),0 Características Expectância ou Valor Esperado 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 0 E(X) x.f (x) 0.q +.p p Variância V(X) E(X (0.q +.p) p p p ) - E(X) p( p) pq 4

15 Suponha que um circuito é testado e que ele seja rejeitado com probabilidade 0,0. Seja X o número de circuitos rejeitados em um teste. Determine a distribuição de X. Como se trata de um único teste, a variável X é Bernoulli com p 0%, assim a distribuição é: 0,9 f (x) P(X x) 0, se se x 0 x Experimento Como existem apenas duas situações: A ocorre ou não, pode-se determinar a probabilidade de A não ocorrer como sendo q p. A VAD definida por X número de vezes que A ocorreu nas n repetições de E é denominada BINOMIAL. Conjunto de Valores A Função de Probabilidade (fp) X(S) {0,,,,..., n} A Função de Probabilidade (fp) n f (x) P(X x) p x x q n x 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 0,08 0,06 0,04 0,0 0,

16 Características Expectância ou Valor Esperado n x n x E(X) x.f (x) x. p q np x Variância V(X) E(X ) - E(X) n x n x E(X ) x. p q n(n -) p x + np V(X) E(X ) - E(X) n(n ) p + np (np) n p + np np( p) npq Assim: E (X) np σx npq Exemplo: Uma fábrica recebe um lote de 00 peças das quais cinco são defeituosas. Suponhamos que a fábrica aceite todas as 00 peças se não houver nenhuma defeituosa em uma amostra aleatória de 0 peças selecionadas para inspeção. Determinar a probabilidade de o lote ser aceito. Tem-se: n 0 e p 5/00 0, f (0) P(X 0) 0,05 0, ,87% 0 Tem-se: n 0 e p 5/00 5% Então: 0 0 f (0) P(X 0).(0,5).(0,95) 0 59,87% 0 6

17 Seja X uma variável aleatória com conjunto de valores X(S). Se o conjunto de valores for infinito não enumerável então a variável é dita contínua. A Função Densidade de Probabilidade É a função que associa a cada x X(S) um número f(x) que deve satisfazer as seguintes propriedades: f(x) 0 f(x)dx A Distribuição de Probabilidade A coleção dos pares (x, f(x)) é denominada de distribuição de probabilidade da VAC X. Exemplo Seja X uma VAC. Determine o valor de c para que f(x) seja uma função densidade de probabilidade (fdp). c.x f (x) 0 se c. c. x Para determinar o valor de c, devemos igualar a área total a um, isto é, devemos fazer: - f(x)dx - c.x dx Tem-se: c.x dx - c x dx - x - c c - c c - 7

18 Representação Gráfica Cálculo da Probabilidade,5 P(a < X < b) b a f (x) dx,0 y 0,5 0,0 f (x) x -,5 -, -,0-0,8-0,5-0, 0,0 0, 0,5 0,8,0,,5 - X a b x a < X < b P(a < X < b) Isto é, a probabilidade de que X assuma valores entre os números a e b é a área sob o gráfico de f(x) entre os pontos x a e x b. b a f (x) dx Observações: Se X é uma VAC, então: a P(X a) f (x)dx 0 a P(a < X < b) P(a X < b) P(a < X b) P(a X b). Exemplo Seja X uma VAC. Determine a probabilidade de X assumir valores no intervalo [-0,5; 0,5]. x f (x) 0 se c. c. x A probabilidade solicitada é dada por: P( 0,5 < X < 0,5) 0,5-0,5 x dx 0,5 x x dx -0,5 [(0,5) (-0,5) ],50% 0,5-05 8

19 VAC Caracterização (a) Expectância, valor esperado (iii) Desvio Padrão µ E(X) xf (x) dx σ (x µ) f (x)dx (b) Variância x f (x)dx µ E(X ) E(X) σ V(X) (x µ) f (x)dx x f (x)dx x f (x)dx µ ( xf (x)dx) E(X ) E(X) (iv) O Coeficiente de Variação γ σ/µ Exemplo : Determinar a expectância e o desvio padrão da variável X dada por: x f (x) 0 se c. c. x µ E(X) x.f(x)dx x. x - -.dx x 4 dx x σ E(X ) E(X). x E(X ) x dx - 5 x x dx , O desvio padrão de X será, então: σ E(X ) E(X) 0,60 0 0,77 9

20 A Função de Distribuição É a função F(x) definida por: F(x) P(X x) f (u)du A F(x) é a integral da f(x) até um ponto genérico x. x Considerando a função abaixo como a fdp de uma VAC X, determinar a F(x). Exemplo x f (x) 0 se c. c. x A F(x) é uma função definida em todo o intervalo real da seguinte forma: F(x) 0 x u du se x < - se x se x > Vamos determinar o valor da integral em u : F(x) x u du x x u du u x x + [u ] Assim a Função de Distribuição Acumulada (FDA) é: 0 se x < - x + F(x) se x se x > Representação Gráfica,0 0,9 x + F(x) 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0, 0, 0, 0,0 -,5 -,0-0,5 0,0 0,5,0,5 0

21 Cálculo de Probabilidade com a FDA O uso da FDA é bastante prático no cálculo das probabilidades, pois não é necessário integrar, já que ela é uma função Integral. Usando a FDA, teremos sempre três casos possíveis: P(X x) F(x) P(X > x) F(x) P(x < X < x) F(x) F(x) Normal t (de Student) χ (Qui-Quadrado) F de Snedecor A distribuição normal Representação gráfica Uma variável aleatória X tem uma distribuição normal se sua fdp for do tipo: 0,8 0,6 N(0; ) N(0; 0,5) N(0; ) N(; ) f (x).e π. σ x µ. σ, x R 0,4 0, com - < µ < e σ > 0 0,

22 Cálculo de probabilidades P(X x) x.e π. σ u µ. σ du? A normal não é integrável por meio do TFC, isto é, não existe uma F(x) tal que F (x) f(x). Solução: Utilizar integração numérica. Como não é possível fazer isto com todas as curvas, escolheu-se uma para ser tabelada (integrada numericamente). A normal padrão A curva escolhida é a N(0, ), isto é, com µ 0 e σ. Se X é uma N(µ, σ), então: Z X µ σ Será uma N(0; ). A fdp da variável Z é dada por: ϕ(z).e π z., z R uma vez que µ 0 e σ. A distribuição N(0, ) 0,4 0, 0, 0, 0,0-4,0 -,0 -,0 -,0 0,0,0,0,0 4,0 Tabela (ou planilha): O que é tabelado ou obtido na planilha é a FDA da variável Z, isto é: z - P(Z z) ϕ(u)du u z..e du Φ(z) - π

23 A FDA da N(0; ) Φ(z),0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0, 0, 0, 0,0-4,0 -,0 -,0 -,0 0,0,0,0,0 4,0 z Uso da tabela ou Planilha Área à esquerda (abaixo) de z P(Z z) Φ(z) Leitura direta Área à direita (acima) de z P(Z > z) - P(Z z) - Φ(z) Φ( z) Área entre dois valores de z P( z < Z < z) Φ(z) Φ(z) Exemplo: Uma VAC tem distribuição normal de média 50 e desvio padrão 8. Determinar: (a) P(X 40) (b) P(X > 65) (c) P(45 < X < 6) (a) P(X 40) X µ P(X 40) P( ) σ 8 P(Z,5) 0,56% (b) P(X > 65) X µ P(X > 65) P( > ) σ 8 P(Z >,88) P(Z <,88) Φ(,88) Φ(,88),0% (c) P(45 < X < 6) P(45 < X < 6) X µ 6 50 P( < < ) 8 σ 8 P( 0,6 < Z <,50) Φ(,50) Φ( 0,6) 9,% 7,67% 65,65%

24 A função inversa: Uma VAC tem distribuição normal de média 50 e desvio padrão 8. Determinar: (a) P(X x) 5% (b) P(X > x) % Para resolver este tipo de exercício é preciso utilizar a função inversa, isto pode ser feito utilizando a função Invnorm da planilha. Graficamente 0,05 Em (a) temos P(X x) 5% 0,04 0,0 0,0 0,0 5% P(X x) 5% x 0, X µ x 50 P(X x) P( ) σ 8 P(Z z) Φ(z) 5% onde z x 50 8 SeΦ(z) 5%, então Φ [Φ(z)] Φ z Φ (0,05) (5%) O valor acima pode ser obtido diretamente da planilha. Assim z,645 x 50 Como z, tem se: 8 x 50,645 z 8 x 50, ,84 4

25 0,05 X µ x 50 P(X > x) P( > ) σ 8 P(Z > z) Φ(z) % 0,0 Mas Em (b) temos P(X > x) % Φ(z) Φ( z) Logo z Φ (0,0) 0,05 0,04 0,04 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 % P(X > x) % 0,00 0, x Uma variável aleatória X tem uma distribuição t ou de Student se sua fdp for do tipo: f (x) υ+ υ + x Γ + υ υ πυ. Γ para x R 0,40 0,0 0,0 0,0 fdp de t() t(5) t(5) 0, Expectância ou Valor esperado Variância µ E (X) Var(X) 0 υ υ - O valor υ é denominado de Grau de liberdade 5

26 A planilha fornece a função direta e inversa (percentis), em relação a área à direita (unilateral) ou da soma das caudas (bilateral) de cada curva, isto é, a tabela retorna um valor t tal que P(Τ t) α (unilateral) ou P( T t) α. Uma variável aleatória X tem uma distribuição Qui-Quadrado se sua fdp for do tipo: υ x x e υ f (x) υ Γ 0 se x > 0 se x 0 Expectância ou Valor esperado Variância E (X) Var(X) υ υ O valor υ é denominado de Grau de liberdade,00 0,80 Q() Q() Q() A planilha fornece a função direta e 0,60 0,40 0,0 0,00 0,0,0,0,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 inversa, em relação a área à direita de cada curva (uma para cada linha), isto é, dado um valor de área na cauda direita (α), a tabela retorna um valor x tal que P(χ x) α 6

27 Uma variável aleatória X tem uma distribuição F ou de Snedecor se sua fdp for do tipo: m n m m + n Γ m n x f (x) m n Γ Γ 0 ( n + mx ) m+ n se x 0 se x > 0 Expectância ou Valor esperado m E(X) m Variância Var(X) (m + n - ) m m(n - )(n - 4) m é o grau de liberdade do numerador e n do denominador,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 fdp de F(, ) F(, 5) F(5, 0) F(0, 0) A planilha fornece a função direta e inversa da área à direita de cada curva (uma para cada par de valores numerador, denominador). 7