Teoria das Probabilidades

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1 Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Estatística Aplicada I Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Capítulo II Teoria das Probabilidades Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

2 Teoria das Probabilidades - Sumário Introdução Aleatoriedade Experimento aleatório Espaço amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Teoria das Probabilidades - Sumário Teoremas fundamentais Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos Espaços amostrais finitos equiprováveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independência estatística Teorema de Bayes 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

3 Teoria das Probabilidades - Sumário Introdução Aleatoriedade Experimento aleatório Espaço amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades. Introdução A estatística tem por objetivo obter, organizar e analisar dados estatísticos, a fim de descrevê-los e explicá-los, além de determinar possíveis correlações e nexos causais. A estatística se utiliza das teorias probabilísticas para explicar a frequência da ocorrência de eventos, tanto em estudos observacionais quanto experimentais. Em outras palavras, a estatística procura modelar a aleatoriedade e a incerteza de forma a estimar ou possibilitar a previsão de fenômenos futuros, conforme o caso. 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 3

4 . Introdução Estudo dos fenômenos de observação: deve-se distinguir o próprio fenômeno e o modelo matemático que melhor o explique, se determinístico ou probabilístico. Modelo determinístico: Adotado para explicar fenômenos submissos às leis sistemáticas. Baseia-se, portanto, num encadeamento em que a relação causa-efeito pressupõe nexos definidos em forma unívoca e imutável. 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades. Introdução Modelo probabilístico: Adotado para explicar os fenômenos aleatórios, que são aqueles cujos resultados, mesmo em condições normais de experimentação, variam de uma observação para outra, dificultando dessa maneira a previsão de um resultado futuro. Portanto, esses fenômenos são insubmissos às leis sistemáticas, pois são regidos ou influenciados pelo acaso. 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 4

5 . Introdução A estatística estuda os fenômenos aleatórios e o modelo matemático será o cálculo das probabilidades. Diante de um acontecimento aleatório é possível, às vezes, atribuir-lhe uma lei ou distribuição de probabilidade. 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Teoria das Probabilidades - Sumário Introdução Aleatoriedade Experimento aleatório Espaço amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 5

6 . Aleatoriedade Aleatoriedade ou acontecimento aleatório pode ser explicado considerando-se as seguintes afirmações: (a) Se x + 8 3x 4, então x 6; (b) A próxima carta retirada de um baralho será um ás. A afirmação (a) pode ser confirmada ou negada de forma conclusiva, utilizando-se elementos da matemática; é uma afirmação categórica (verdadeira ou falsa). Na afirmativa (b), entretanto, somente pode ser afirmado que o fato é possível, mas que é possível, também, a saída de qualquer uma das 5 cartas do baralho. 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades. Aleatoriedade No segundo caso somente a realização do experimento permitirá estabelecer se a afirmação é falsa ou verdadeira; trata-se de um acontecimento aleatório Em geral, os acontecimentos aleatórios se caracterizam por admitirem dois ou mais resultados possíveis, e não se tem elementos de juízo suficientes para predizer qual deles ocorrerá em um determinado experimento. 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 6

7 Teoria das Probabilidades - Sumário Introdução Aleatoriedade Experimento aleatório Espaços amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades.3 Experimento Aleatório Características: Para que um experimento seja considerado aleatório é necessário que apresente as seguintes características:. Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições;. Não se conhece, a priori, um particular valor do experimento; entretanto, pode-se descrever todos os possíveis resultados (as possibilidades); 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 7

8 .3 Experimento Aleatório Características: 3. Quando o experimento for repetido um grande número de vezes surgirá uma regularidade na apresentação dos resultados, ou seja, ocorrerá uma estabilização da fração frequência relativa: r f n onde: n é o número de repetições, e r é o número de sucessos de um particular resultado estabelecido antes da realização do experimento. 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades.3 Experimento Aleatório Exemplos: Jogar um dado e observar o número mostrado na face superior. Jogar uma moeda um certo número de vezes e observar o número de coroas obtidas. Contar o número de peças defeituosas da produção diária da máquina A. 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 8

9 Teoria das Probabilidades - Sumário Introdução Aleatoriedade Experimento aleatório Espaço amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades.4 Espaço Amostral Definição: Para cada experimento aleatório, E, define-se espaço amostral S como o conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento (Fonseca e Martins, 996). - Exemplos: a) E: jogar um dado e observar o número na face superior. S {,, 3, 4, 5, 6} b) E: lançar duas moedas e observar o resultado. S {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)}, onde c- cara e k- coroa. 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 9

10 .4 Espaço Amostral - Exemplos: c) E: Fabricar um lâmpada, colocá-la em um suporte, acendê-la e registrar o tempo de funcionamento até fundir o filamento: S {t : t 0} d) E: Registrar a temperatura continuamente durante um período de 4 horas em uma determinada localidade; as temperaturas mínima e máxima são registradas: S {(x, y) : x y}, onde x é a temperatura mínima e y a máxima 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades.4 Espaço Amostral - Exemplos: e) E: Admitir que a temperatura mínima nessa localidade não poderá ser menor que um certo valor (m) e a temperatura máxima não poderá ser superior a um certo valor (M). S {(x, y) : m x y M} 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 0

11 Teoria das Probabilidades - Sumário Introdução Aleatoriedade Experimento aleatório Espaço amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades.5 Evento Definição: É um conjunto de resultados do experimento. Em analogia com os conjuntos, é um subconjunto de S. Observação: - Em particular, o espaço amostral, S, e o conjunto vazio,, são eventos. - S é dito o evento certo e o evento impossível. 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

12 .5 Evento - Exemplo : E: lançar o dado e observar o número da face superior. S {,, 3, 4, 5, 6} Eventos: A: ocorrer número par: A {, 4, 6} B: ocorrer número impar: B {, 3, 5} C: ocorrer número múltiplo de e 3: C {6}. 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades.5 Evento - Exemplo : E: jogar três moedas e observar o resultado. (c- cara; k- coroa). S {(c, c, c), (c, c, k), (k, c, c), (c, k, c), (k, k, k), (k, k, c), (c, k, k), (k, c, k)} Eventos: A: ocorrer pelo menos duas caras: A {(c, c, k), (k, c, c), (c, k, c), (c, c, c)} B: ocorrer somente coroa: B {(k, k, k)}. 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

13 .5 Evento Observações: - Sendo S um espaço amostral finito com n elementos, podese verificar que o número total de eventos extraídos de S é dado por n ; - No exemplo (lançamento do dado), o número total de eventos é :8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades.5 Evento Observações: - A partir do uso das operações com conjuntos, novos eventos podem ser formados: a) A B é o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem; b) A B é o evento que ocorre se A e B ocorrem simultaneamente; c) A é o evento que ocorre se A não ocorre. 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 3

14 .5 Evento - Exemplo: E: lançar um dado e observar o resultado. S {,, 3, 4, 5, 6} A ocorrer número múltiplo de : A {, 4, 6} B ocorrer número múltiplo de 3: B {3, 6} A B A B A {, 3, 4, 6} {6} {, 3, 5} A B {,, 3, 4, 5} 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Teoria das Probabilidades - Sumário Introdução Aleatoriedade Experimento aleatório Espaço amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 4

15 .6 Eventos Mutuamente exclusivos Dois eventos A e B são denominados mutuamente exclusivos se os mesmos não puderem ocorrer simultaneamente, ou seja, A B Exemplo: E: lançar um dado e observar o resultado. S {,, 3, 4, 5, 6} A ocorre número par A {, 4, 6} B ocorrer número ímpar B {, 3, 5} ; logo, A e B são mutuamente exclusivos, pois a ocorrência de um número que seja par e ímpar não pode ser verificada como decorrência do mesmo evento. A B 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Teoria das Probabilidades - Sumário Introdução Aleatoriedade Experimento aleatório Espaço amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 5

16 .7 Probabilidade Definição: - Dado um experimento aleatório E, sendo S o seu espaço amostral, a probabilidade de um evento A ocorrer, P(A), é uma função definida em S que associa a cada evento um número real, satisfazendo os seguintes axiomas: (i) 0 P(A) ; (ii) P(S) ; (iii) Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos, então P ( A B ) P( A ) + P( B ) A B 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Teoria das Probabilidades - Sumário Teoremas fundamentais Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos Espaços amostrais finitos equiprováveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independência estatística Teorema de Bayes 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 6

17 .8 Teoremas Fundamentais T: Se é o conjunto vazio, então P ( ) 0. Demonstração: - Seja A um evento qualquer, A e são disjuntos, pois ; A - Então, de (iii), temos que P( A ) P( A ) + P( ) ; - Como A A, então P( A ) P( A ) + P( ) ou P( ) P( A ) P( A ) P ( ) 0 - Logo. 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades.8 Teoremas Fundamentais T: Se Ā é o complemento do evento A, então P(Ā) P(A). Demonstração: - Do diagrama, pode-se escrever S A A. - Como A A (são mutuamente exclusivos), P ( A A ) P( A ) + P( A ) P ( S ) P( A ) + P( A ); - De (ii) P(A) + P(Ā), S A Ā - Logo P(Ā) P(A). 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 7

18 .8 Teoremas Fundamentais T3: Se A B Demonstração:, então P(A) P(B). - Do diagrama, pode-se escrever que B A ( A B ). - Como A ( A B ) (são mutuamente exclusivos), P( B ) P( A ) + P( A B ), e P( A B ) P( B ) P( A ) P(B) P(A) 0, (de i), tem-se que S A B P(A) P(B). 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades.8 Teoremas Fundamentais T4: (Teorema da soma) Se A e B são dois eventos quaisquer, então P( A B ) P( A ) + P( B ) P( A B ). Demonstração: a) Se A e B são mutuamente exclusivos ( A B ), recai-se no axioma (iii); S A A B B 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 8

19 .8 Teoremas Fundamentais Demonstração: b) Se A e B não são mutuamente exclusivos ( A B ), tem-se: - Os eventos A e ( A B ) são mutuamente exclusivos; logo, pelo axioma (iii) P[ A ( A B )] P( A B ) P( A ) + P( A B ) - Mas, B é a união dos eventos mutuamente exclusivos e ; ( B A ) ) - Logo, P( B ) ( B A P( A B ) + P( A B ). S A A B B 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades.8 Teoremas Fundamentais Demonstração: - Substituindo o valor de P( A na expressão anterior, tem-se: P( A B ) P( A ) + P( B ) P( A B ) - Analogamente, para três eventos tem-se: + P( A B C ) B ) P( A B C ) P( A ) + P( B ) + P( C ) P( B ) P( A B ) P( A B ) P( A C ) P( B C ) + 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 9

20 .8 Teoremas Fundamentais P(A B) P(A) P(B) P(A B C) P(A C) P(B C) P(C) 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Teoria das Probabilidades - Sumário Teoremas Fundamentais Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos Espaços amostrais finitos equiprováveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independência estatística Teorema de Bayes 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 0

21 .9 Probabilidades Finitas dos S Finitos Seja S um espaço amostral finito S {a, a,..., a n }. Considere-se o evento formado por um resultado simples A {a i }. A cada evento simples {a i } associa-se um número p i denominado probabilidade de {a i }, que satisfaz as condições: a) p i 0, i,,..., n b) p + p p n A probabilidade de cada evento composto (mais de um elemento) é definida, então, pela soma das probabilidades dos pontos de A. 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades.9 Probabilidades Finitas dos S Finitos Exemplo: Três cavalos A, B e C estão em uma corrida. Se A tem duas vezes mais probabilidades de ganhar de B, e B tem duas vezes mais probabilidade de ganhar de C, quais são as probabilidades de cada um dos cavalos ganhar? Qual seria a probabilidade de B ou C ganhar? Solução: P(C) p ; P(B).P(C) p ; P(A).P(B) 4p Como P(A) + P(B) + P(C), então 4p + p + p, de onde se obtém p /7. Logo: P(A) 4/7; P(B) /7 e P(C) /7. 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

22 .9 Probabilidades Finitas dos S Finitos Solução (continuação): - Qual a probabilidade de B ou C ganhar? Do axioma (iii): P ( B C ) P( B ) + P( C ) /7 + /7 3/7. 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Teoria das Probabilidades - Sumário Teoremas fundamentais Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos Espaços amostrais finitos equiprováveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independência estatística Teorema de Bayes 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

23 .0 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis O espaço amostral chama-se equiprovável quando à cada ponto amostral desse espaço está associada a mesma probabilidade. Portanto, se S contém n pontos, então a probabilidade de cada ponto será igual a /n. Se um evento A contém r pontos, então: P( A ) r. n 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades.0 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis Frequentemente, este método de avaliar a probabilidade é enunciado da seguinte forma: nº de vezes em que o evento A pode ocorrer P( A ) nº de vezes em que o espaço amostral S ocorre ou P( A ) NCF ( nº NTC ( nº de casos favoráveis) total de casos ) 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 3

24 .0 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis Exemplo : Numa escolha aleatória de uma carta de baralho com 5 cartas, qual a probabilidade de sair um rei? e uma carta de copas? Solução: Seja A {a carta é um rei} e B {A carta é de copas} nº de reis P( A ) nº total de cartas P( B ) 4 5 nº de cartas de copas nº total de cartas :8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades.0 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis Na maioria dos casos, utiliza-se os conhecimentos de análise combinatória (Teoria de Contagem) para se obter o número de casos favoráveis (NCF) e o número total de casos (NTC). Exemplo : De um lote de doze peças onde quatro são defeituosas, retira-se duas peças. Calcular a probabilidade: a) de ambas serem defeituosas; b) de ambas não serem defeituosas; c) de pelo menos uma ser defeituosa. 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 4

25 .0 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis Soluções: a) A {ambas são defeituosas} A pode ocorrer C S pode ocorrer C Logo, P( A ) 4,, NCF NTC 4!!( 4!!( 6 66 )! )! 4.3.! 6 vezes..!..0! 66 vezes..0! 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades.0 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis Soluções: b) B {ambas não são defeituosas} B pode ocorrer C S pode ocorrer C Logo, P( B ) 8,, NCF NTC 8!!( 8!!( 8 66 )! 4 33 )! 8.7.6! 8 vezes..6!..0! 66 vezes..0! 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 5

26 .0 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis Soluções: c) C {pelo menos uma é defeituosa} C é o complemento P( C ) P( B ) de B ou C B OU 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades.0 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis Soluções: C { defeituosa e sem defeito}+{ambas defeituosas} C pode ocorrer 4 C S pode ocorrer C Logo, P( C ), NCF NTC 8, + C!!( , 8! 8! 4 +!( 8 )!!( 8 )! vezes )!..0! 66 vezes..0! 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 6

27 Teoria das Probabilidades - Sumário Teoremas fundamentais Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos Espaços amostrais finitos equiprováveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independência estatística Teorema de Bayes 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades. Probabilidade Condicional Considere o experimento aleatório E: lançar um dado e observar o resultado, e o evento A {sair o nº 3}. Então P(A) /6. Considere agora o evento B {sair um nº ímpar} {, 3,5}, então P(B) /. A probabilidade de ocorrer o evento A condicionada à ocorrência do evento B, representada por P(A/B), será P(A/B) /3. 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 7

28 . Probabilidade Condicional Com a informação da ocorrência do novo evento, reduz-se o espaço amostral. No exemplo dado, S {,, 3, 4, 5, 6} foi reduzido para S* {, 3, 5}, e é neste espaço reduzido que a probabilidade do novo evento é avaliada. Definição: Se A e B são dois eventos, a probabilidade do evento A ocorrer quando o evento B tiver ocorrido é denominada probabilidade condicionada, P(A/B), dada por: P( A / B ) P( A B ), P( B ) P( B ) 0, pois já ocorreu. 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades. Probabilidade Condicional Para o exemplo apresentado, tem-se: P( A B ) P ( A / B ) 6 P( B ) No caso de aplicações mais complexas é mais prático se utilizar a seguinte fórmula: 3 P( A / B ) P( A B ) P( B ) NCF ( A B ) NTC NCF ( B ) NTC NCF ( A B ) NCF ( B ) 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 8

29 . Probabilidade Condicional Exemplo: No experimento do lançamento de dois dados, considere os eventos: A {(x,x ) (x + x ) 0} e B {(x,x ) x > x }, onde x é o resultado do dado e x o resultado do dado. Avalie P(A), P(B) e P(B/A). Soluções: S {(,), (,), (,3), (,4), (,5), (,6), A {(6,4), (5,5), (4,6)} (,), (,), (,3), (,4), (,5), (,6), B {(,), (3,), (4,), (5,), (3,), (3,), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (6,), (3,), (4,), (5,), (4,), (4,), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,), (4,3), (5,3), (6,3), (5,), (5,), (5,3). (5,4), (5,5), (5,6), (5,4), (6,4), (6,5)} (6,). (6,), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} A B {(6,4)} 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades. Probabilidade Condicional Soluções: P( A ) P( B ) P( A / P( B / NCF ( A ) NTC NCF ( B ) 5 NTC 36 NCF ( A B ) B ) NCF ( B ) A ) 3 36 ; 5 ; NCF ( A B ) NCF ( A ) 5 3. ; 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 9

30 Teoria das Probabilidades - Sumário Teoremas fundamentais Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos Espaços amostrais finitos equiprováveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independência estatística Teorema de Bayes 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades. Teorema do Produto O Teorema do Produto pode ser enunciado a partir da definição de probabilidade condicional, como: A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos, A e B, do mesmo espaço amostral, é igual ao produto da probabilidade de um deles ocorrer pela probabilidade condicional do outro em relação ao primeiro. Assim: P( A / P( B / P( A B ) B ) P( B ) P( A B ) A ) P( A ) P( A P( A B ) B ) P( B ).P( A / P( A ).P( B / B ) A ) 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 30

31 . Teorema do Produto Exemplo: Em um lote de peças contendo doze unidades onde quatro são defeituosas, duas são retiradas, uma após a outra, sem reposição. Qual a probabilidade de que ambas não sejam defeituosas? Solução: A { a primeira peça retirada é boa} B {a segunda peça retirada é boa} 8 7 P ( A B ) P( B ).P( A / B ) :8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Teoria das Probabilidades - Sumário Teoremas fundamentais Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos Espaços amostrais finitos equiprováveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independência estatística Teorema de Bayes 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 3

32 .3 Independência Estatística Definição: Um evento A é considerado independente de um outro evento, B, se a probabilidade de A é igual a probabilidade de A condicionada a B, ou P ( A ) P( A / B ) Se A é independente de B, então B é independente de A; logo: P ( B ) P( B / A ) - Do teorema do produto, pode-se afirmar que, se A e B são independentes, então: P ( A B ) P( A ).P( B ) 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades.3 Independência Estatística - Dados n eventos A, A,..., A n, diz-se que eles são independentes se o forem a ; 3 a 3,..., n a n, isto é: P( A A ) P( A ).P( A );...; P( A P( A A A ) P( A ).P( A ).P( A );...; P( A n A n 3 A ) P( A n n ).P( A n 3 n A ) P( A n ).P( A n ) n ).P( A n ) P( A A... A ) P( A ).P( A ).P( A )...P( A n 3 n ).P( A n ) 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 3

33 .3 Independência Estatística Exemplo : Uma caixa contém doze peças, sendo quatro defeituosas; retira-se duas peças, uma após a outra, com reposição. Calcular a probabilidade de ambas não possuírem defeitos? Solução: A {a primeira peça não possui defeito} B {a segunda peça não possui defeito} - Como a primeira peça foi reposta, B não é condicionado por A, ou seja, A e B são independentes; logo: 8 8 P ( A B ) P( A ).P( B ) :8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades.3 Independência Estatística Exemplo : Sendo S {,, 3, 4} um espaço amostral equiprovável, e A {, }, B {, 3} e C {, 4} eventos de S, verificar se estes eventos são independentes. Solução: S {,, 3, 4}; A {, }; B {, 3}; C {, 4}; A B { }; A C { }; B C { }; A B C { } 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 33

34 .3 Independência Estatística Solução (continuação): Para A e B : Para A e C : P( A ) P( A P( A ) P( A 4 B ) C ) ; P( B ) P( A ).P( B ) ; P( C ) 4 P( A ).P( C ) 4 4 ; 4 ; P( A P( A C ) B ) 4 ; 4 ; log o : log o : 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades.3 Independência Estatística Solução (continuação): Para B e C : Para A, B e C : log o : P( B ) P( B C ) P( A ) P( A ; P( C ) P( B ).P( C ) ; P( B ) B C ) 4 ; P( B 4 ; C ) P( C ) ; 4 ; P( A ).P( B ).P( C ) log o : P( A 8 B C ) - Portanto, os eventos A, B e C não são independentes. ; 4 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 34

35 Teoria das Probabilidades - Sumário Teoremas fundamentais Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos Espaços amostrais finitos equiprováveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independência estatística Teorema de Bayes 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades.4 Teorema de Bayes Sejam A, A, A 3,..., A n, n eventos mutuamente exclusivos, tais que A A A3... An S. Sejam P(A i ) as probabilidades conhecidas dos vários eventos, e B um evento qualquer de S, tal que são conhecidas todas as probabilidades condicionais P(B/A i ). Então, para cada i, tem-se: P( Ai / B ) P( A ).P( B / P( Ai ).P( B / Ai ) A ) + P( A ).P( B / A ) P( A n ).P( B / A n ) que é o Teorema de Bayes. 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 35

36 .4 Teorema de Bayes Exemplo: Tem-se três urnas (u, u, u 3 ), cada uma contendo bolas pretas, brancas e vermelhas, nas quantidades mostradas no quadro abaixo. De uma urna escolhida ao acaso retira-se uma bola também ao acaso, verificando-se que a mesma é branca. Qual a probabilidade da bola escolhida ter vindo da urna? e da urna 3? Cores / Urnas u u u 3 P (preta) 3 4 B (branca) 3 3 V (vermelha) :8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades.4 Teorema de Bayes Solução: P( u ) ; P( u 3 P( B / u ) ; 9 Cores / Urnas u u u 3 P (preta) 3 4 B (branca) 3 3 V (vermelha) 5 3 ) P( B / ; 3 u P( u3 ) ; 3 ) 3 9 ; 3 P( B / 3 u3 ) 8 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 36

37 .4 Teorema de Bayes Solução (continuação): P( u ).P( B / u ) P( u / B ) P( u ).P( B / u ) + P( u ).P( B / u ) + P( u P( u3 / B ) 59 8 P( u / B ) + P( u / B ) + P( u3 / B ) P( u / B ) 59 3 ).P( B / u ) 3 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Teoria das Probabilidades FIM 08:8 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 37

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