Experimento Aleatório

Transcrição

1 Probabilidades 1

2 Experimento Aleatório Experimento aleatório (E) é o processo pelo qual uma observação é ob;da. Exemplos: ü E 1 : Jogar uma moeda 3 vezes e observar o número de caras ob;das; ü E 2 : Lançar um dado e observar a face voltada para cima; ü E 3 : De uma urna, que só tem bolas pretas, ;ra-se uma bola e verifica-se sua cor; ü E 4 : Em uma linha de produção, fabricar peças em série e contar o número de peças defeituosas produzidas em um período de 24 horas; 2

3 Mais exemplos de Experimentos Aleatórios ü E 5 : Nº de rebites defeituosos fixados em uma asa de avião. ü E 6 : Tempo de vida ú;l de uma lâmpada. ü E 7 : Poluentes (óxidos de enxofre) emi;dos por uma certa indústria; ü E 8 : Nº total de peças a serem fabricadas até que 10 peças perfeitas sejam produzidas. ü E 9 : Duração da vida ú;l de um componente eletrônico. 3

4 Espaço Amostral Espaço amostral (S) é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório (E). Cada resultado possível é denominado ponto amostral Exemplos (anteriores): ü S 1 = {0, 1, 2, 3}; ü S 2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; ü S 3 = {bola preta}; ü S 4 = {0, 1, 2,..., N}; ü S 5 = {0, 1, 2,..., M}; ü S 6 =S 7 = S 9 = {tϵ R t 0}; ü S 8 = {10, 11, 12,... }. 4

5 Evento Evento é um conjunto de resultados do experimento, ou seja, é um subconjunto do espaço amostral (S). Exemplos: ü a) E: lançar três moedas ü S = {ccc, cck, ckc, kcc, ckk, kck, kkc, kkk} ü Evento A = ocorrer cara apenas uma vez ü A = {ckk, kck, kkc}; ü Evento B = ocorrer três caras ou três coroas ü B = {ccc, kkk}. 5

6 Exemplos de Eventos ü b) E: Observar o tempo de vida ú7l de uma lâmpada. ü S = {t ϵ R t 0} ü o evento A= lâmpada queimar em até 10,6 dias ü A = {t ϵ R 0 t 10,6} ü Obs.: O evento aleatório pode ser um único ponto amostral ou uma união deles. 6

7 Operações com conjuntos ü Aplicando aos eventos de um espaço amostral (S) as operações sobre conjuntos, obtêm-se outros eventos de S. Assim, se A e B são eventos, então as seguintes operações são definidas: ü União de eventos: O evento reunião (AUB) é formado pelos pontos amostrais que pertencem a pelo menos a um dos eventos. Ou seja, é o evento que ocorre se, e somente se, A ou B (ou ambos) ocorrerem. 7

8 Interseção de Eventos ü O evento intersecção (A B) é formado pelos pontos amostrais que pertencem simultaneamente aos eventos A e B. Ou seja, é o evento que ocorre se, e somente se, A e B ocorrerem. Se A B =Ø (conjunto vazio), então A e B são eventos mutuamente exclusivos. 8

9 Evento Complementar ü A C ou. É o evento que ocorre se, e somente se, não ocorre A. 9

10 Subtração de eventos ü Sendo A e B dois eventos quaisquer de um espaço amostral, A-B é o evento que ocorre se, e somente se, ocorrer o evento A e não ocorrer o evento B. 10

11 ParBção do Espaço Amostral 11

12 ParBção do Espaço Amostral ü Definição de ParBção: Uma par;ção de um conjunto S é qualquer coleção de subconjuntos C tais que todo elemento de S pertence a apenas um subconjunto de C. ü Exemplo: {{1}, {2,3}, {4}} é uma par;ção de {1,2,3,4}. 12

13 Operações com Conjuntos: Exemplo ü Exemplo: Considere o espaço amostral S = {1,2,3,4,5,6} e os eventos A = {2, 4, 6} e B = {1, 2, 3}. Obtenha: ü a) A U B = {1,2,3,4,6} ü b) A B = {2} ü c) A C = {1,3,5} ü d) B C = {4,5,6} ü e) (A B ) C = {1,3,4,5,6} ü f) (A U B) C = {5} ü g) A C B C = {5} ü h) A C U B C = {1,3,4,5,6} 13

14 Probabilidades ü Definição: Seja S um espaço amostral associado a um experimento E. A cada evento A associamos um número real, representado por P(A) e denominado probabilidade de A, sa;sfazendo os axiomas: ü I) 0 P(A) 1, para todo evento A; ü II) P(S) = 1; ü III) P(A U B) = P(A) + P(B), se A e B forem eventos mutuamente exclusivos. 14

15 Teoremas ü T1. Se os eventos A 1 A 2,..., A n formam uma par;ção do espaço amostral, então: ü T2. Se é um evento impossível (conjunto vazio), então P(Ø) = 0 ü T3. P(A C ) = 1 P(A) ü T4. Sejam A S e B S dois eventos quaisquer. Então P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B) ü T5. Se A B, então P(A) P(B). 15

16 Espaços amostrais equiprováveis ü Quando cada elemento do espaço amostral S tem a mesma probabilidade de ser sorteado, diz-se que o espaço é equiprovável. Se S contém n pontos, então a probabilidade de cada ponto será 1/n. ü Por outro lado, se um evento A contém m pontos, então P(A) =m/n. ü Exemplo: Uma turma comprou todos os números formados por três algarismos de uma rifa contendo números de 1 a Qual a probabilidade do número sorteado ser dessa turma? 16

17 Probabilidade da adição (Teorema T4) ü Sejam A e B dois eventos quaisquer associados a um experimento. Então P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B) ü Quando A e B são eventos mutuamente excludentes, P(A B) = 0 ü Exemplo: O seguinte grupo de pessoas está numa sala: 5 rapazes com mais de 21 anos, 4 rapazes com menos de 21 anos, 6 moças com mais de 21 anos e 3 moças com menos de 21 anos. Uma pessoa é escolhida ao acaso dentre as 18. Os seguintes eventos são definidos: 17

18 Exemplo (conbnuação 1) ü A: a pessoa tem mais de 21 anos; ü B: a pessoa tem menos de 21 anos; ü C: a pessoa é um rapaz; ü D: a pessoa é uma moça. ü Determinar: ü a) P(B U D) ü b) P(A C) ü c) A probabilidade de ser uma moça. ü d) Probabilidade de ser uma pessoa com mais de 21 anos ou ser uma moça. 18

19 Variáveis Aleatórias Discretas Definição: Seja X uma variável aleatória (v.a.). Se o nº de valores possíveis de X for finito ou infinito enumerável, dizemos que X é uma variável aleatória discreta. Exemplos: ü Nº de tenta7vas de saltos até o atleta conseguir saltar 7.0m. ü Nº de sucessos em 20 tenta7vas de um atleta no salto em distância (distância 9.0m). 19

20 Função de Probabilidade de v.a. s discretas ü Definição: Seja X uma variável aleatória discreta, com possíveis valores x 1, x 2,... A cada possível resultado x i, associamos um nº p(x i )=P(X=x i ), denominado probabilidade de x i, sa;sfazendo as seguintes condições: ü a) p(x i ) 0, para todo i=1,2,... ü b) ü p(x i ) é chamada função de probabilidade da v.a. X. A coleção de pares [x i, p(x i )] é denominada distribuição de probabilidades. 20

21 Função de probabilidade ü Exemplo: Seja X o nº de tenta;vas de um atleta para conseguir saltar 9.0m em distância. Suponha que p seja a probabilidade de sucesso em cada salto. Então: ü P(X=k)=p(1-p) k-1, k=1,2,3,... ü Valor esperado: E(X) : μ = ü Variância de X: Var(X): σ 2 = 21

22 Variáveis Aleatórias ConOnuas ü Definição: Diz-se que X é uma variável aleatória con~nua se exis;r uma função f(.), denominada função densidade de probabilidade (fdp) de X que sa;sfaça às seguintes condições: ü a) f(x) 0, para todo x; ü b) ü c) para quaisquer a, b, - <a<b<+, teremos ü O conceito de integral é visto em disciplinas de Cálculo e não será abordado nesta disciplina. Porém, podemos u;lizar um conceito mais geral, que diz a Probabilidade de X ocorrer entre a e b, a<b, é igual à área da função f(.) entre esses dois valores e o eixo das abscissas. 22

23 Distribuição Binomial 23

24 Distribuição Bernoulli ü Considere uma única tenta;va de um experimento aleatório E, com apenas dois resultados possíveis: sucesso (evento A) e fracasso (evento A C ). ü Seja p a probabilidade de sucesso e 1-p a probabilidade de fracasso. ü Seja X a variável aleatória: número de sucessos em uma única realização do experimento. Então X assume os valores: ü 0 (zero), que corresponde ao fracasso, com probabilidade q=1-p; ü 1 (um), que corresponde ao sucesso, com probabilidade p. 24

25 Distribuição Bernoulli(2) ü Assim, a variável aleatória X tem distribuição de Bernoulli, e sua função de probabilidade é dada por: ü P(X=x)=p x (1-p) 1-x, x={0,1}. ü Valor esperado de X: E(X)=p ü Variância de X: Var(X)=p(1-p) 25

26 Distribuição Binomial Em muitos experimentos aplicados, o que nos interessa é a probabilidade de um evento ocorrer x vezes em n provas (ensaios). Por exemplo, a probabilidade de 5, em 20 ratos, sobreviverem por determinado prazo após serem injetados com uma substância cancerígena; a probabilidade de 60, em 200 entrevistados, consumirem um produto anunciado em um determinado programa etc. Em cada um desses exemplos, estamos interessados na probabilidade de obter x sucessos em n ensaios ou, em outras palavras, x sucessos e (n x) falhas em n provas. 26

27 Distribuição Binomial(2) ü Seja X: o nº de sucessos em n tenta;vas independentes de experimentos de Bernoulli. ü Dizemos que X tem distribuição Binomial com parâmetros n e p. ü Valor esperado de X: E(X)=np ü Variância de X: Var(X)=np(1-p) ü ** Mostrar aplica;vo Geogebra! 27

28 Distribuição Binomial(3) ü Exemplo: Seja X: o nº de sucessos em 20 saltos em distância de um atleta. Suponha que, devido a tenta;vas anteriores, sua chance de sucesso seja p=0.1. Calcule as probabilidades: ü a) do atleta conseguir dar 5 saltos com sucesso; ü b) do atleta saltar com sucesso no máximo 5 saltos; ü c) do atleta conseguir saltar com sucesso no mínimo 15 saltos; ü d) Nº esperado de saltos com sucesso. 28