Distribuição Normal de Probabilidade

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1 Distribuição Normal de Probabilidade 1 Aspectos Gerais 2 A Distribuição Normal Padronizada 3 Determinação de Probabilidades 4 Cálculo de Valores 5 Teorema Central do Limite 1

2 1 Aspectos Gerais Variável aleatória contínua Distribuição Normal A curva tem forma de um sino e é simétrica Figura 5-1 µ Valor Fórmula 5-1 y = e σ ( ) x - µ σ 2 π 2

3 2 Distribuição Normal Padronizada 3

4 Definições Curva de Densidade (ou função densidade de probabilidade) gráfico de uma distribuição contínua de probabilidade 1, A área total sob a curva deve ser 1, 2, Todo ponto da curva deve ter uma altura vertical não inferior a 0, 4

5 Como a área total sob a curva de densidade é igual a 1, há uma correspondência entre área e probabilidade, 5

6 Alturas de mulheres e homens adultos Mulheres: µ = 1,615 σ = 0,0635 Homens: µ = 1,753 σ = 0,0711 Figura 5-4 1,615 1,753 Alturas (m) 6

7 Definição Distribuição Normal Padronizada uma distribuição normal de probabilidades que tem média 0 e desvio-padrão 1 Área = 0,3413 Área lida na Tabela 0, z = 1,58 Escore (z ) Figura 5-5 Figura 5-6 7

8 Tabela A-2 Distribuição Normal Padrão µ = 0 σ = 1 0 x z 8

9 9 Tabela A-2 Distribuição Normal Padrão (z),0239,0636,1026,1406,1772,2123,2454,2764,3051,3315,3554,3770,3962,4131,4279,4406,4515,4608,4686,4750,4803,4846,4881,4909,4931,4948,4961,4971,4979,4985,4989 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0,0000,0398,0793,1179,1554,1915,2257,2580,2881,3159,3413,3643,3849,4032,4192,4332,4452,4554,4641,4713,4772,4821,4861,4893,4918,4938,4953,4965,4974,4981,4987,0040,0438,0832,1217,1591,1950,2291,2611,2910,3186,3438,3665,3869,4049,4207,4345,4463,4564,4649,4719,4778,4826,4864,4896,4920,4940,4955,4966,4975,4982,4987,0080,0478,0871,1255,1628,1985,2324,2642,2939,3212,3461,3686,3888,4066,4222,4357,4474,4573,4656,4726,4783,4830,4868,4898,4922,4941,4956,4967,4976,4982,4987,0120,0517,0910,1293,1664,2019,2357,2673,2967,3238,3485,3708,3907,4082,4236,4370,4484,4582,4664,4732,4788,4834,4871,4901,4925,4943,4957,4968,4977,4983,4988,0160,0557,0948,1331,1700,2054,2389,2704,2995,3264,3508,3729,3925,4099,4251,4382,4495,4591,4671,4738,4793,4838,4875,4904,4927,4945,4959,4969,4977,4984,4988,0199,0596,0987,1368,1736,2088,2422,2734,3023,3289,3531,3749,3944,4115,4265,4394,4505,4599,4678,4744,4798,4842,4878,4906,4929,4946,4960,4970,4978,4984,4989,0279,0675,1064,1443,1808,2157,2486,2794,3078,3340,3577,3790,3980,4147,4292,4418,4525,4616,4693,4756,4808,4850,4884,4911,4932,4949,4962,4972,4979,4985,4989,0319,0714,1103,1480,1844,2190,2517,2823,3106,3365,3599,3810,3997,4162,4306,4429,4535,4625,4699,4761,4812,4854,4887,4913,4934,4951,4963,4973,4980,4986,4990,0359,0753,1141,1517,1879,2224,2549,2852,3133,3389,3621,3830,4015,4177,4319,4441,4545,4633,4706,4767,4817,4857,4890,4916,4936,4952,4964,4974,4981,4986,4990,00,01,02,03,04,05,06,07,08,09 z

10 Exemplo: A vida média de uma marca e de um tipo de bateria (para determinado equipamento em uso contínuo) é 20 horas, com desvio-padrão de 0,5 h, Qual a probabilidade de que essa bateria não dure mais do que 21 horas? Area = 0,4772 P ( x > 2,00 ) = 0, ,00 Há 2,28% de baterias que duram mais de 21 horas, logo, 97,72% que não duram mais de 21 horas, 10

11 Utilização da Simetria para Achar a Área à Esquerda da Média Pela simetria, estas áreas são iguais, Figura 5-7 (a) (b) 0,4925 0, z = - 2,43 Distâncias iguais a contar de 0 NOTA: Embora um escore z possa ser negativo, a área sob a curva (ou a probabilidade correspondente) nunca pode ser negativa, z = 2,43 11

12 A Regra Empírica Distribuição Normal Padrão: µ = 0 e σ = 1 99,7% dos dados estão dentro de 3 desvios-padrão a contar da média 95% estão dentro de 2 desvios-padrão 68% estão dentro de 1 desvio-padrão 34% 34% 2,4% 2,4% 0,1% 0,1% 13,5% 13,5% x - 3s x - 2s x - s x x + s x + 2s x + 3s 12

13 Determinação da Área à Direita de z = 1,27 Valor lido na Tabela A-2 0,3980 Esta área é 0,5 0,3980 = 0, z = 1,27 Figura

14 Notação P(a < z < b) denota a probabilidade de o valor de z estar entre a e b P(z > a) denota a probabilidade de o valor de z ser maior do que a P (z < a) denota a probabilidade de o valor de z ser menor do que a 14

15 Figura 5-10 Interpretação Correta das Áreas maior do que x pelo menos x mais do que x não menos do que x menos do que x no máximo x não mais do que x não maior do que x Adicionar a 0,5 x Subtrair de 0,5 x Somar 0,5 0,5 C Subtrair de 0,5 x Somar a 0,5 x entre x 1 e x 2 Tomar A = C - B A B x 1 x 2 x 1 x 2 15

16 Determinação dos Escores z (Dadas as Probabilidades) 95% 5% 5% ou 0,05 0,50 0,45 FIGURA z = 1,645 (valor de z será positivo ) Determinação do 95º percentil 16

17 Determinação dos Escores z (Dadas as Probabilidades) 10% 90% 10% inferiores 0,10 z = 0,40-1,28 0 (O valor de z será negativo) FIGURA 5-12 Determinação do 10º percentil 17

18 Outras Distribuições Normais Se µ 0 ou σ 1 (ou ambos), os valores são convertidos para os valores padronizados através da expressão abaixo (Fórmula 5-2), Podendo utilizar então os mesmos procedimentos tomados com a distribuição normal padrão, Fórmula 5-2 z = x - µ σ 18

19 Convertendo na Distribuição Normal Padrão z = x - µ σ P P (a) µ x 0 z (b) Figura

20 Probabilidade de Peso entre 64,9 kg e 91,2 kg x = 64,9 s= 13,15 Valor lido na Tabela 0,4772 Há uma probabilidade de 0,4772 de escolher ao acaso uma mulher com peso entre 64,9 e 91,2 kg, ou 47,72% das mulheres têm peso entre 64,9 e 91,2 kg Figura ,9 91,2 0 2,00 Peso z 20

21 Definição Distribuição Amostral da Média: é a distribuição de probabilidade das médias amostrais, com todas as amostras de mesmo tamanho n, da mesma população, 21

22 Teorema Central do Limite Dado: 1, A variável aleatória x tem distribuição (que pode ser normal, ou não) com média µ e desviopadrão σ, 2, Amostras de tamanho n são extraídas aleatoriamente dessa população, 22

23 Teorema Central do Limite Conclusões: 1, Na medida que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição das médias amostrais x tende para uma distribuição normal, 2, A média das médias amostrais será a média populacional µ, 3, O desvio-padrão das médias amostrais será σ/. n 23

24 Regras Práticas de Uso Comum: 1, Para amostras de tamanho n > 30, a distribuição das médias amostrais pode ser aproximada satisfatoriamente por uma distribuição normal, A aproximação melhora na medida em que aumenta o tamanho da amostra n, 2, Se a própria distribuição original tem distribuição normal, então as médias amostrais terão distribuição normal para qualquer tamanho amostral qualquer tamanho amostral n (não apenas para os valores de n > 30), 24

25 Notação média das médias amostrais µ x = µ desvio-padrão das médias amostrais σ x = σ n (comumente chamado erro-padrão da média) 25

26 Distribuição de 50 Médias Amostrais de 50 Estudantes Freqüência Figura

27 Exemplo: Certa população de mulheres tem pesos normalmente distribuídos com média de 64,9 kg e desviopadrão de 13,15 kg, a,) se uma mulher é escolhida aleatoriamente, determine a probabilidade de seu peso ser maior que 68,0 kg, z = 68,0 64,9 = 0,24 13,15 0,5 0,0948 = 0,4052 0,0948 µ = 64,9 σ = 29 68,0 0 0,24 27

28 Exemplo: Certa população de mulheres tem pesos normalmente distribuídos com média de 64,9 kg e desviopadrão de 13,15 kg, b,) se 36 mulheres diferentes forem escolhidas ao acaso, determine a probabilidade de seu peso médio ser maior que 68,0 kg, z = 68,0-64,9 = 1,45 13, ,5 0,4265 = 0,0735 0,4265 µ x = 64,9 68,0 σ x = 2, ,45 28

29 Exemplo: Certa população de mulheres tem pesos normalmente distribuídos com média de 64,9 kg e desviopadrão de 13,15 kg, a,) se uma mulher é escolhida aleatoriamente, determine a probabilidade de seu peso ser maior que 68,0 kg, P(x > 150) = 0,4052 b,) se 36 mulheres diferentes forem escolhidas ao acaso, determine a probabilidade de seu peso médio ser maior que 68,0 kg, P(x > 150) = 0,0735 É muito mais fácil um elemento se desviar da média que para um grupo de 36 se desviar da média, 29