Distribuição de Probabilidade. Prof.: Joni Fusinato

Transcrição

1 Distribuição de Probabilidade Prof.: Joni Fusinato

2 Variáveis Aleatórias Contínuas

3 Distribuição de Probabilidade Contínua Modelo Normal Modelo t de Student Modelo χ 2

4 Distribuição Normal Considerada a mais importante das distribuições de probabilidades contínuas. Seu gráfico, chamado de curva normal ou curva gaussiana tem forma de sino e descreve fenômenos que ocorrem na natureza, indústria e pesquisa. A equação depende de dois parâmetros: µ e σ (média e desvio populacionais).

5 Quando o número de variáveis aumenta, a densidade de probabilidade da variável aproxima se da curva em forma de sino da distribuição normal. Mesa de Galton

6 Distribuição de t Student Usada quando não se tem a média e o desvio padrão populacional. Nestes casos usa-se a média e o desvio padrão amostral que segue a distribuição normal.

7 A distribuição χ 2 ou qui-quadrado é uma das distribuições mais usadas realizar testes de χ 2. Este teste serve para avaliar quantitativamente a relação entre o resultado de um experimento e a distribuição esperada para o fenômeno. Isto é, ele nos diz com quanta certeza os valores observados podem ser aceitos como regidos pela teoria em questão. Testes de hipótese usam, também, a distribuição χ 2. Distribuição de χ 2

8 Distribuição Normal Gauss Definição: Seja X uma variável aleatória contínua tal que X tem distribuição normal com média µ e variância σ 2 se, e somente se sua função densidade de probabilidade for dada por: f ( x) dx 1

9 Distribuição Normal A distância entre a média e um ponto qualquer é dado em número de desvios padrões (z) Normal não padronizada Normal padronizada P z = x - µ P µ x 0 z

10 Distribuição Normal Padrão Características: Média: µ = 0 Desvio-Padrão: σ = 1 Distribuição Normal Reduzida ou Padronizada

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14 Um significado prático para o que aprendemos Analistas da linha de produção calcularam o tempo médio de 75 segundos e desvio padrão de 6 segundos para a montagem de uma peça. Graficamente temos:

15 Exemplo 1: Analistas da linha de produção calcularam o tempo médio de 75 segundos e desvio padrão de 6 segundos para a montagem de uma peça. Qual a probabilidade de um trabalhador levar um tempo menor ou igual a 81 segundos? Transformar a variável X em variável normal padronizada Z Consultando a tabela conclui-se que a probabilidade é de 84,13% de levar um tempo menor ou igual a 81 segundos

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17 Atenção! Para resolver os exemplos será adotada a tabela de distribuição Normal Padrão Acumulada

18 Em uma região, o QI das pessoas adultas segue a distribuição normal com média de 100 pontos e desvio-padrão de 15 pontos. Escolhendo uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade desta pessoa ter QI menor que 75 pontos? X < 75 = 100 = 15

19 Probabilidade de X < 75 é de 4,75%

20 Exemplo 2: A equipe interna de uma empresa audita balanços contábeis e demora em média 40 minutos e desvio-padrão de 12 minutos. Uma empresa de Contabilidade afirma que pode realizar essa atividade em 25 minutos em média. Qual a probabilidade dessa afirmação ser verdadeira? X = 25 = 40 = 12 P(X = 25) = 10,56%

21 Probabilidade de X = 25 é de 10,56%

22 Atividades 1) Uma indústria siderúrgica produz tubos de aço cujo comprimento segue a distribuição normal com média = 10,00 m e desvio padrão = ± 0,09 m. Se o comprimento dos tubos ultrapassar 10,20 m eles serão refugados. Calcule a probabilidade dos tubos terem comprimentos superiores a 10,20 m f(x) z X 10, ,09 2,22 10 Consultando tabela temos: 10,20 X 0 2,22 Z P (Z 2,2 2 ) = 0, = 1-0, = 0, = 1,3 2 %

23 DISTRIBUIÇÃO T - STUDENT William Sealy Gosset

24 DISTRIBUIÇÃO T - STUDENT Distribuição de probabilidade publicada por um autor que se chamou de Student, pseudônimo de William Sealy Gosset, que não podia usar seu nome verdadeiro para publicar trabalhos enquanto trabalhasse para a cervejaria Guinness. A distribuição t de Student aparece naturalmente no problema de se determinar a média de uma população (que segue a distribuição normal) a partir de uma amostra. Neste problema, não se sabe qual é a média ou o desvio padrão da população, mas ela deve ser normal.

25 DISTRIBUIÇÃO T - STUDENT Padronizar variável aleatória normal requer que o µ e σ sejam conhecidos. Na prática, porém, não podemos calcular z = (x - µ)/ σ porque σ é desconhecido. Em vez disso, substituímos σ por s (desvio padrão amostral) e calculamos a estatística t. t x s

26 DISTRIBUIÇÃO T - STUDENT Se a variância da população, σ 2 não é conhecida, não podemos usar a distribuição normal como a distribuição de referência para a média da amostra. Neste caso usamos a distribuição t. Se a distribuição de referência é normal e a variância da população é estimado por s 2, a quantidade: t X s / n que é conhecido como a média padronizada ou como a estatística t, terá à distribuição com ν = n - 1 graus de liberdade.

27 Exemplo 1: Para os dados de nitrato, a média da amostra de concentração é igual a 7,51 mg/l e encontra-se a uma distância considerável abaixo do verdadeiro valor de referência 8,00 mg/l. Se a verdadeira média da amostra é de 8,0 mg/l e o laboratório está medindo precisamente, um valor tão baixo quanto 7,51 mg/l que ocorrem por acaso apenas quatro vezes em 100. Sabe-se que o desvio padrão é 1,38 em 27 amostras. Qual a probabilidade de se obter uma amostra tão pequenas com média = 7,51 mg/l a partir da análise das 27 amostras?" t X s / n t - 0,49 1,38 / 5,19 t 7,51 1,38/ 8 27 t -0,49 0,2658 1,842

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30 A DISTRIBUIÇÃO T A distribuição de referência é necessária, a fim de escolher se o resultado é facilmente explicada por mero acaso ou se é variação excepcional. A distribuição T é uma relevante referência que representa o conjunto de resultados que poderiam ocorrer por acaso. Um resultado que cai sobre a cauda da distribuição pode ser considerado excepcional.

31 Tabela 1 - Distribuição T

32 Tabela 2- Distribuição t

33 Distribuição Normal com exemplos (Prof Allan) Distribuição Normal com exemplos (Profa Zuleica)