Intervalos de Confiança

Transcrição

1 Intervalos de Confiança Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela, Instituto de Química - UNESP Araraquara, SP capela@iq.unesp.br Araraquara, SP

2 1 2

3 Teorema do Limite Central Se amostras de tamanho n 30 são tiradas de qualquer população com média µ e desvio padrão σ, então a distribuição amostral das médias das amostras se aproxima de uma distribuição normal de média µ e desvio padrão (erro padrão) σ n. X N ( ) σ µ, n

4 Exemplo 1 Imagine uma população hipotética de 4 valores somente: X = 10; 20; 30; 40 X = 25 Retiram-se, dessa população todas as amostras aleatórias possíveis de dois elementos, com reposição. As médias possíveis são dadas na tabela a seguir:

5 Exemplo 1: Distribuição de frequências X f frelat Total: 16 1

6 Estimativa pontual da média populacional É um valor único estimado para o parâmetro média populacional. A estimativa pontual menos tendenciosa de uma média populacional µ é a média amostral X.

7 Estimativa pontual da média populacional É um valor único estimado para o parâmetro média populacional. A estimativa pontual menos tendenciosa de uma média populacional µ é a média amostral X. Estimativa intervalar da média populacional Em vez de usar a estimativa pontual podemos estimar que µ está em um intervalo centrado em X com amplitude dada por uma margem de erro.

8 Exemplo 2 Pesquisadores de mercado usam o número de frases por anúncio como medida de legibilidade de anúncios de revistas. A seguir está representada uma amostra aleatória do número de frases encontradas em 50 anúncios. Encontre uma estimativa para a média populacional. Estimativa pontual: X = x n = = 12.4

9 Exemplo 2: estimativa intervalar A probabilidade de que a média populacional seja exatamente 12.4 é praticamente zero! Para uma estimativa intervalar precisamos estabelecer ou determinar uma margem de erro. Por exemplo, se a margem de erro for 2.1 então a estimativa intervalar seria dada por:

10 Critérios para desvios significativos Um critério científico para o estabelecimento de uma diferença ou desvio significativo entre dois valores não pode ser uma questão de opinião dependente do sujeito, mas um critério objetivo. O critério estatístico para a significância de um desvio pressupõe que: A distribuição dos valores seja Gaussiana. O valores desviantes sejam uma fração pequena da população e que esta fração seja determinada a priori. A fração escolhida (0,95 ou 95%) é arbitrária e denomina-se área ou região de não-significância, sendo indicada por C ou C%.

11 Nível de confiança C É a probabilidade de que o intervalo estimado contenha o parâmetro populacional.

12 Margem de erro Dado o nível de confiança c, a margem de erro é a maior distância possível entre a estimativa pontual e o valor do parâmetro que está estimando: σ E = X µ = z c σ X = z c n sendo z c o valor crítico correspondente ao nível de confiança C. Por exemplo, c = 0.95 (α = 0.05) z c = 1.96

13 Exemplo 3 Certo pesquisador mediu a pressão arterial sistólica de cinco executivos, na faixa de 40 a 44 anos, escolhidos aleatoriamente, e obteve os valores 135; 143; 149; 128 e 158 mmhg. A média observada nessa amostra foi mmhg. Revisando a literatura, o pesquisador verificou que, nessa população e nessa faixa etária, a média da pressão arterial sistólica é 129 mmhg e o desvio padrão é 15 mmhg. Serão esses dados suficientes para afirmar que os executivos apresentam pressão arterial sistólica diferente daquela observada na população de homens com essa idade? Usar um nível de significância α = 5%.

14 Exemplo 3: continuação µ ± 1.96σ(X ) = 129 ± = 129 ± Portanto, o intervalo de não-significância é [115.85, ], isto é as médias amostrais com valor entre e mmhg não apresentam desvios significativos em relação à média populacional. Portanto, para o critério escolhido, a média obtida nos cinco executivos (142.6) desvia-se significativamente da média da população de homens da mesma faixa etária, estando mais elevada.

15 Decisão sobre a significância de um desvio entre µ e X. Escolher inicialmente o critério ou o nível de significância desejado (por exemplo, α = 0.05).

16 Decisão sobre a significância de um desvio entre µ e X. Escolher inicialmente o critério ou o nível de significância desejado (por exemplo, α = 0.05). Obter o valor crítico de z da tabela (neste caso, z α = 1.96).

17 Decisão sobre a significância de um desvio entre µ e X. Escolher inicialmente o critério ou o nível de significância desejado (por exemplo, α = 0.05). Obter o valor crítico de z da tabela (neste caso, z α = 1.96). Padronizar o afastamento X µ z cal = X µ σ/ n = / 5 = 2.03 A média amostral está a 2.03 erros padrão acima de µ

18 Decisão sobre a significância de um desvio entre µ e X. Escolher inicialmente o critério ou o nível de significância desejado (por exemplo, α = 0.05). Obter o valor crítico de z da tabela (neste caso, z α = 1.96). Padronizar o afastamento X µ z cal = X µ σ/ n = / 5 = 2.03 A média amostral está a 2.03 erros padrão acima de µ Decisão: Se z cal z α então o desvio é significativo Se z cal < z α então o desvio não é significativo

19 Exemplo 4 Deseja-se saber se a alcalinidade da água de um rio esta alterada, partindo-se de dados de uma amostra de 16 pontos do rio. A média obtida entre os 16 valores foi X = 16.2 mg de CaCO3 por litro. Sabe-se que a média de alcalinidade deste rio costuma ser µ = 19.6 mg de CaC03 por litro e que a variabilidade observada em diferentes determinações, medida pelo desvio padrão, é σ = 7.7 mg por litro.

20 Exemplo 4 Deseja-se saber se a alcalinidade da água de um rio esta alterada, partindo-se de dados de uma amostra de 16 pontos do rio. A média obtida entre os 16 valores foi X = 16.2 mg de CaCO3 por litro. Sabe-se que a média de alcalinidade deste rio costuma ser µ = 19.6 mg de CaC03 por litro e que a variabilidade observada em diferentes determinações, medida pelo desvio padrão, é σ = 7.7 mg por litro. z cal = / 16 = 1.77 Portanto z cal = 1.77 < z 0.05 = Então não há evidências suficientes para se afirmar que houve alteração na alcalinidade deste rio, para α = 0.05.

21 Para estimar a proporção de elementos da população com uma certa característica usa-se a proporção com que essa característica foi observada em uma amostra. Desde que a amostra seja grande, podese tomar a distribuição normal como aproximação para a binomial. Um intervalo de confiança aproximado para p, ao nível de confiança 1 α, é dado por ˆp ± z α ˆp(1 ˆp) n sendo ˆp uma estimativa amostral para a proporção p.

22 Exemplo 5 Retirando-se uma amostra de 100 itens da produção de uma máquina, verificou-se que 10 eram defeituosas. Encontre um intervalo de 95% de confiança para a proporção p de peças defeituosas dessa máquina.

23 Exemplo 5 Retirando-se uma amostra de 100 itens da produção de uma máquina, verificou-se que 10 eram defeituosas. Encontre um intervalo de 95% de confiança para a proporção p de peças defeituosas dessa máquina. ˆp = (1 0.1) = 0.1 IC : 0.1 ± Entre 4% e 16 % IC : 0.1 ± [0.0412, ]