Princípios de Bioestatística Inferência e Intervalo de Confiança

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1 1/24 Princípios de Bioestatística Inferência e Intervalo de Confiança Enrico A. Colosimo/UFMG enricoc/ Depto. Estatística - ICEx - UFMG

2 Tabela Normal Padrão 2/24

3 3/24 Inferência Estatística 1 Observe que supomos conhecidos: probabilidade de nascer um menino (0,5); média e desvio-padrão do teor de gordura fecal; média e desvio-padrão da pressão diastólica, etc. 2 No mundo real, usualmente, estas quantidades não são conhecidas. 3 Na verdade, o nosso objetivo, é exatamente buscar informações sobre estas quantidades a partir de uma amostra da população. 4 Lembre: (primeiras aulas) comparar cirurgia e fisioterapia para pacientes com incontinência urinária. prevalência de uma certa patologia em uma cidade. preferência do eleitorado por um candidato X, etc.

4 4/24 Inferência Estatística 1 Utilizar Método Estatístico + Amostra para responder à pergunta de interesse. 2 Inferência Estatística consiste, essencialmente, em: Estimativa pontual e intervalar (intervalo de confiança). Teste de hipóteses. Previsão.

5 5/24 Resultados Fundamentais 1 Distribuição da Média Amostral: X. 2 Teorema Central do Limite. 3 Distribuição t Student. 4 Distribuição qui-quadrado.

6 6/24 Resultado Fundamental 1: Distribuição de X Suponha uma amostra aleatória de tamanho n retirada de uma população normal com média µ e desvio padrão σ. Então ou X N(µ, σ/ n) X µ σ/ n Z N(0, 1).

7 7/24 Resultado Fundamental 2: Teorema Central do Limite Suponha uma amostra aleatória de tamanho n retirada de uma população qualquer com média µ e desvio padrão σ. A média amostral X tem a seguinte distribuição: quando n e com Z N(0, 1). X µ σ/ n Z

8 8/24 Teorema Central do Limite Em palavras, o teorema garante que para amostras grandes, a distribuição da média amostral, devidamente padronizada, se comporta aproximadamente como um modelo Normal com média igual a 0 e desvio-padrão igual a 1. Pelo teorema temos que, quanto maior o tamanho da amostra, melhor é a aproximação. Estudos envolvendo simulações, mostram que, em muitos casos, amostras de tamanho em torno de 60 fornecem aproximações bastante boas para aplicações práticas.

9 média amostral média amostral média amostral média amostral 9/24 Exemplo: Simulação População original: Dist. Exponencial com média 1. densidade x Retirando amostras desta população (n = 10, 20, 50, 100) densidade densidade densidade densidade

10 10/24 Exemplo Suponha que para crianças nascidas com peso abaixo de 750g, o nível de bilirrubina sérico tem distribuição Normal com média 8, 5mg/dl e desvio padrão 3, 5mg/dl. Calcule a probabilidade que a média amostra X, em uma amostra de 16 crianças: Ser menor que 8 mg/dl. Ser maior que 8,2 mg/dl.

11 11/24 Ser menor que 8 mg/dl Temos que: X N(µ = 8, 5; σ = 3, 5/4) Então, 8 8, 5 = 0, 5 3, 5/4 = 0, 875 0, 5 / 0, 875 = 0, 57 Pr( X < 8) = Pr(Z < 0, 57) = Pr(Z > 0, 57) = 0, 5 0, 2157 = 0, 28

12 12/24 Seja maior que 8,2 mg/dl Temos que: Então, 8, 2 8, 5 = 0, 3 3, 5/4 = 0, 875 0, 3 / 0, 875 = 0, 34 Pr( X > 8, 2) = Pr(Z > 0, 34) = P(0 < Z < 0, 34) + 0, 5 = 0, 6330 E se a distribuição de bilirrubina não tivesse distribuição normal?

13 13/24 Intervalo de Confiança para a Média µ Em uma certa população sabemos que a pressão diastólica de seus habitantes tem uma distribuição normal com média desconhecida µ e desvio-padrão σ = 10, 2 mmhg. Forneça uma estimativa pontual e intervalar (95% de confiança) para µ baseado em uma amostra de tamanho 100 em que foi obtido x = 82, 4 mmhg. Estimativa pontual: µ = 82, 4 mmhg. Estimativa intervalar: [ x 1, 96 σ/10 ; x + 1, 96 σ/10] [82, 4 1, 96 1, 02 ; 82, 4 + 1, 96 1, 02] [80, 4 ; 84, 4] mmhg

14 14/24 Intervalo de Confiança para a Média µ 1 Como estimar µ se a distribuição não for Normal? Resposta: n = 100 deve ser suficientemente grande para X ter uma distribuição aproximadamente normal pelo Teorema Central do Limite. Desta forma, os resultados anteriores continuam aproximadamente válidos. 2 Como estimar µ se o desvio-padrão σ for desconhecido e o tamanho da amostra n não for suficientemente grande para usarmos o TCL?

15 15/24 Resultado Fundamental 3: Distribuição T- Student Estimamos a média amostral x e o desvio-padrão amostral s; E substituímos σ por s e a distribuição normal pela distruibuição t-student com n 1 graus de liberdade. Ou seja, t = x µ s/ n t n 1 A distribuição t inclui uma incerteza extra na análise estatística, ao estimarmos σ por s.

16 16/24 Distribuição Normal versus t Densidade Normal (0,1) t 2 t 5 t x

17 Tabela T- Student 17/24

18 18/24 Intervalo de Confiança para a Média µ com σ desconhecido. O crescimento de bebês durante o primeiro mês de vida pode ser modelado pela distribuição Normal. Uma amostra de 10 recém nascidos na região foram sorteados e sua altura acompanhada, fornecendo as seguintes medidas de crescimento em centímetros: 5,03 ; 5,02 ; 4,95 ; 4,96 ; 5,01 ; 4,97 ; 4,9 ; 4,91 ; 4,9 ; 4,93 ( x = 4, 96; s = 0, 049) Forneça uma estimativa pontual e intervalar (95% de confiança) para µ

19 19/24 Intervalo de Confiança para a Média µ com σ desconhecido. Estimativa pontual: 4, 96 cm. Estimativa intervalar: [ x t 9;0,975 s/ 10 ; x + t 9;0,975 s/ 10] [4, 96 2, 26 0, 049/3, 16 ; 4, , 26 0, 049/3, 16] [4, 96 2, 26 0, 015 ; 4, , 26 0, 015] [4, 96 0, 035 ; 4, , 035] [4, 92 ; 4, 99] cm. Aumentamos o comprimento do Intervalo de Confianção ao usarmos a t (2,26) no lugar da normal (1,96).

20 Exemplo Um estudo transversal e observacional foi conduzido em uma certa população para avaliar a pressão de seus habitantes. Distribuição dos valores amostrais Gênero (feminino): 48%. Idade: 53 ± 4, 2 anos. Bilirrubina: (0,4 a 1,1) mg/dl (primeiro e terceiro quartis). Resultados: Um intervalo de 95% de confiança para a média população de pressão foram os seguintes: PAD: 84 (IC 95% 78; 90) mmhg; PAS: 125 (IC 95% 120; 130) mmhg; Qual é o efeito em aumentarmos o tamanho da amostra nos resultados acima? 20/24

21 21/24 Intervalo de Confiança para uma Proporção Ao invés de uma média podemos estar interessado em estimar uma proporção. Ou seja, o desfecho é binário ao invés de numérico. Neste caso, não temos uma separação entre as duas quantidades básicas: média (proporção amostral) e desvio padrão. Na verdade o desvio padrão é estimado a partir da proporção amostral. Ou seja, proporção amostral = p = erro padrão amostral = ˆp(1 ˆp)/n número de casos tamanho da amostra Intervalo de Confiança: IC(p, 95%) : ˆp ± 1, 96 ˆp(1 ˆp)/n

22 22/24 Comparação de Proporções - Artigo Cirurgia vs Fisioterapia. No artigo Labrie et al. (2013, NEJM) a principal pergunta dos pesquisadores a melhora nos grupos: cirurgia e fisioterapia no tratamento de incontinência urinŕia. Grupo Melhora Cirurgia Fisioterapia Total Sim 177 (91%) 112 (64%) 289 Não Total Intervalo de 95% de confiança para a proporção de melhora no grupo fisioterapia: 0, 64 ± 1, 96 (0, 64 0, 36)/174) (0, 57; 0, 71)

23 23/24 Intervalo de Confiança para uma quantidade desconhecida θ Em resumo... θ pode ser qualquer quantidade desconhecida, por exemplo: prevalência, valor numérico, risco relativo, etc. De uma forma geral, o Intervalo de 95% Confiança para θ é calculado como: Desfecho numérico: θ ± t n 1;0,975 ÊP( θ) Outros desfechos: θ ± 1, 96 ÊP( θ) Cabe aos estatísticos encontrar ÊP( θ). Este valor diminui com o aumento do tamanho da amostra. Interpretação por repetição.

24 IC: Prevalência 24/24