AULA 7 - Inferência em MQO: ICs e Testes de

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1 AULA 7 - Inferência em MQO: ICs e Testes de Hipóteses Susan Schommer Econometria I - IE/UFRJ

2 Nosso primeiro objetivo aqui é relembrar a diferença entre estimação de ponto vs estimação de intervalo. Vamos voltar para a Estatística... Seja Y uma variável aleatória com fdp f(y; θ), onde θ é um parâmetro populacional (ou vetor de parâmetros). Por exemplo, θ pode ser um vetor de parâmetros, como no caso onde Y distribuição normal com θ = [µ, σ 2 ]. A fdp de Y pode ser escrita como: f(y) = 1 [ ] (y µ) 2 σ 2π exp 2σ 2, < y < Vamos seguir este exemplo a partir de agora.

3 Vamos definir um primeiro objetivo, bem geral: estimação de ponto. Suponha: Sabemos que a distribuição de Y segue N(µ, 1), ou seja: tem distribuição normal com o parâmetro µ desconhecido e σ 2 = 1. Temos uma amostra aleatória {Y 1, Y 2,..., Y n } de tamanho n da população. Ou seja, Y i são amostras independentes e identicamente distribuídas, geradas a partir da mesma fdp N(µ, 1). Nosso primeiro objetivo consiste em descobrir quem é µ populacional a partir da realização da amostra {Y 1, Y 2,..., Y n }, um retrato da população.

4 Lembrando dos cursos de Estatística, temos alguns métodos. Por exemplo: 1. Método dos Momentos 2. Máxima Verossimilhança 3. Minimos Quadrados... Por exemplo, a partir da amostra podemos encontrar o valor de µ que minimiza S = (Y i µ) 2. Fazendo S µ = 0 2 (Y i ˆµ) = 0 ˆµ = Yi n = Y Ou seja, a média amostral Y é um estimador de µ. É possível mostrar que este é um estimador não viesado...

5 Portanto, o que é um estimador? Formalmente, é uma função ˆµ = g(y1, Y 2,..., Y n ) da amostra aleatória, formada por variáveis aleatórias Y i. Ou seja, ˆµ é uma variável aleatória que atribui uma estimativa para cada realização de {Y 1, Y 2,..., Y n }. Para fixar: ˆµ é estimador, o valor que ele assume é chamado de estimativa. Ou seja, a média amostral Y é um estimador de µ. É possível mostrar que este é um estimador não viesado... Neste nosso exemplo, ˆµ é estimador de ponto.

6 No entanto, quem é µ? Nunca saberemos. Uma estimativa de ponto pode ser uma boa suposição sobre o valor do parâmetro populacional µ. Mas quão próxima está nossa estimativa do verdadeiro valor de µ? Ou melhor, quão provável é que estejamos próximos de µ? Parece difícil responder esta questão com apenas uma amostra da população. Mas podemos avançar a partir da estimação de intervalos... Ideia geral: definir um intervalo para o parâmetro µ a partir de dois novos estimadores, ˆµ 1 e ˆµ 2, de modo que possamos calcular P (ˆµ 1 < µ < ˆµ 2 ) = 1 α

7 Ou seja, queremos encontrar dois novos estimadores ˆµ 1 e ˆµ 2 (funções da amostra) de modo que possamos afirmar que a probabilidade de o intervalo (ˆµ 1, ˆµ 2 ) conter µ é de 1 α. Vejamos um exemplo. Seja novamente Y N(µ, 1), µ desconhecido. Já sabemos que a média amostral Y é estimador. Suponha que Y refere-se à altura das pessoas em uma população. Temos uma amostra aleatória desta população, {Y 1, Y 2,..., Y n }. Logo, é fácil obter uma estimativa a partir de Y. Dos cursos de Estatística sabemos que, dada a distribuição de Y N(µ, 1), temos Y N ( µ, 1 n). Por fim, sabemos que, ao padronizar a variável aleatória Y, encontramos Z = Y µ 1/ N(0, 1) n

8 Mas, como temos a normal padrão tabelada, fica então fácil derivar probabilidades do tipo ( P Z α < Y µ ) 2 1/ n < Z α = 1 α 2 Escolhendo, por exemplo, α = 0, 05, e rearranjando os termos: P P ( 1, 96 < Y µ 1/ n ) < 1, 96 = 0, 95 ( ) 1, 96 1, 96 Y < µ < Y + = 0, 95 n n

9 Logo Y ± 1,96 n é um estimador de intervalo para µ. Importante: Y está no centro do intervalo Seus limites são variáveis aleatórias. As estimativas dependem da realização da amostra. Isso ( significa que a probabilidade ) de o intervalo Y 1,96 n, Y + 1,96 n conter o parâmetro µ é de 95%. Interpretação correta: Para 95% das amostras aleatórias, o intervalo conterá µ. (E não: a probabilidade de que µ esteja no IC é de 95%).

10 Antes de seguirmos para a econometria, vejamos testes de hipótese. Definindo o problema. Seja novamente Y N(µ, 1), µ desconhecido. Já sabemos que a média amostral Y é estimador. Não conhecemos µ, podemos apenas estimá-lo ou construir um IC para este parâmetro com base em uma amostra aleatória. Mas podemos estar interessados em perguntar, por exemplo: Será razoável a hipótese de que µ = µ, onde µ é um valor arbitrário para µ? Para realizar este teste, a ideia será perguntar: Dada uma amostra aleatória gerada por Y N(µ, 1). Quão verossímil seria encontrar a estimativa resultante de ˆµ obtida na amostra se valesse o modelo populacional Y N(µ, 1)?

11 Vejamos dois procedimentos análogos para realizar este teste. A partir de: 1. Intervalos de confiança (IC) 2. Estatística de teste (TH) Vamos continuar o exemplo anterior: a altura média na amostra foi estimada em Y = 1, 70, para n = Desejamos testar: H 0 : µ = 1, 67 contra H 1 : µ 1, 67 Vejamos 1 o o procedimento por IC: Já derivamos um estimador de intervalo para µ. Usando α = 0, 05, e substituindo Y = 1, 70, n = 10000: 1, 70 ± 1, , 70 ± 0, 0196 (1, 6804, 1, 7196)

12 Temos então a seguinte regra de decisão: Se µ = 1, 67 (1, 6804, 1, 7196) Não rejeitamos H 0 Caso contrário, rejeitamos. Ou seja, neste caso rejeitamos: é pouco provável que Y N(µ = 1, 67; 1) tenha gerado {Y 1, Y 2,..., Y } tal que Y = 1, 70. Mas, claro, estamos no mundo das probabilidades. Ao rejeitar H 0 estaremos comentendo o Erro Tipo I se H 0 verdadeira...

13 Ao rejeitar/não rejeitar H 0, é possível que cometamos 2 tipos de erros: Erro Tipo 1: Rejeitamos H 0, quando ela é verdadeira. Ex: Por menos provável, existe chance de que Y N(µ = 1, 67, 1) tenha gerado {Y 1, Y 2,..., Y } tal que Y = 1, 70. Note que: P (rejeitar H 0 verdadeira) = α(nível de significância) Erro Tipo 2: Não Rejeitamos H 0, quando ela é falsa. Ex: Não rejeitamos µ = 1, 67 quando µ µ. P (não rejeitar H 0 falsa) = β, onde 1 β é chamado poder do teste

14 Agora vejamos um 2 o procedimento, via uma estatística de teste: O procedimento consiste em derivar uma estatística de teste sob H 0 e compará-la a um valor crítico. A ideia continua a mesma. Vamos rejeitar H0 se Y = 1, 70 for suficientemente diferente de µ = 1, 67. O que seria algo suficientemente diferente? Definindo a variável aleatória T : T = Y µ 1/ n = 1, 70 1, 67 1/100 = 30, onde T N(0, 1) Bastaria então escolher uma referência para a comparação... um valor crítico c tal que P ( T > c H 0 ) = α. Por exemplo, pela normal padrão, para α = 0, 05, c = 1, 96. Temos então a regra de rejeição

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16 Inferência em MQO Simples Agora já podemos voltar para a econometria: vamos trazer todas essas ideias para o nosso e conectar os pontos. Conceitualmente, as diferenças são mínimas. O nosso exemplo não será mais sobre Y N(µ, 1), mas sobre Y X N(α + βx, σ 2 ) E, em particular, o nosso objetivo será construir intervalos de confiança e realizar testes sobre β populacional. Começamos supondo válidas as hipóteses clássicas já enunciadas (Gauss-Markov) e a adicional hipótese vista na aula passada u N(0, σ 2 ).

17 Inferência em MQO Simples Vimos que como β é uma função linear de u escrevemos: ( σ ˆβ 2 ) N β, (xi x) 2 e normalizando temos: Z = ˆβ β dp( ˆβ) = ˆβ β σ/ N(0, 1) (xi x) 2 Agora, ao assumir uma distribuição completa para u, derivamos uma distribuição completa para ˆβ. Com esse passo, podemos trazer a revisão de estatística para cá: Quem é β? Nunca saberemos. Mas já estudamos estimação de ponto por MQO, e suas propriedades. Agora, dado que temos a densidade de ˆβ, poderemos estimar ICs e realizar inferência.

18 Inferência em MQO Simples Antes de começarmos, devemos lembrar que σ 2 é um parâmetro populacional provavelmente desconhecido. Mas já aprendemos a estimá-lo neste curso: ˆσ 2 = û2 i n 2 V ar( ˆβ X) = ˆσ 2 (xi x) 2 A principal consequencia de utilizarmos o estimador ˆσ 2 em lugar do parâmetro populacional σ 2 será que, ao invés de trabalhar sobre Z = ˆβ β dp( ˆβ) = Teremos que usar a distribuição t = ˆβ β dp( ˆ ˆβ) = ˆβ β ˆσ/ N(0, 1) (xi x) 2 ˆβ β ˆσ/ (xi x) 2 t n 2

19 Inferência em MQO Simples: ICs Enfim, o importante é que agora conhecemos a distribuição de probabilidade de ˆβ. A partir disso, vejamos então como construir ICs e realizar THs sobre β. Começando por estimação de ICs para β. A ideia é a mesma: ao estabelecermos t = ˆβ β dp( ˆ ˆβ) t n 2, conseguimos calcular probabilidades do tipo: ( P t α/2 < ˆβ ) β dp( ˆ ˆβ) < t α/2 = 1 α Basta então rearranjar os termos para encontrar: P ( ˆβ t α/2 ˆ dp( ˆβ) < β < hatβ + t α/2 ˆ dp( ˆβ) ) = 1 α

20 Inferência em MQO Simples: ICs Ou seja, temos um IC de 1 α para β: ˆβ ± ˆ dp( ˆβ)t α/2 Notem que já temos todos os ingredientes para calcular este IC: 1. Já sabemos estimar ˆβ e dp( ˆ ˆβ) 2. Escolhemos α, e assim temos os valores críticos t α/2 tabulados a partir da distribuição t n 2.