6 Intervalos de confiança

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1 6 Intervalos de confiança Estatística Aplicada Larson Farber

2 Seção 6.1 Intervalos de confiança para a média (amostras grandes)

3 Estimativa pontual DEFINIÇÃO: Uma estimativa pontual é a estimativa de um único valor para um parâmetro populacional. A melhor estimativa pontual da média populacional é a média amostral.

4 Exemplo: estimativa pontual A seguir, você verá uma amostra aleatória com 35 preços de passagens (em dólares) para um vôo só de ida de Atlanta a Chicago. Determine a estimativa pontual para a média populacional, F A média amostral é: ,77 A estimativa pontual para o preço de todos os bilhetes só de ida de Atlanta a Chicago é de US$ 101,77.

5 Estimativas intervalares Estimativa pontual Uma estimativa intervalar é um intervalo (ou amplitude) de valores usado para estimar um parâmetro populacional. 101,77 ( ) 101,77 O nível de confiança, c, é a probabilidade de que a estimativa intervalar contenha o parâmetro populacional em questão.

6 Distribuição amostral de Para c = 0,95 Distribuição de médias amostrais Quando o tamanho da amostra é de pelo menos 30, a distribuição amostral para é normal. 0,025 0,95 0,025 z 1,96 0 1,96 95% de todas as médias amostrais terão escores z entre z = 1,96 e z = 1,96.

7 Erro máximo da estimativa O erro máximo da estimativa, E, é a maior distância possível entre a estimativa pontual e o valor do parâmetro que se está estimando, a dado nível de confiança, c. Quando n $30, o desvio padrão amostral, s, pode ser usado no lugar de. Determine E, o erro máximo da estimativa, para o preço de um bilhete só de ida de Atlanta a Chicago, a um nível de confiança de 95%, dado que s = 6,69. Usando z c = 1,96, s = 6,69 e n = 35, 1,96 6,69 6,69 Você tem uma confiança de 95% de que o erro máximo seja de US$ Ch. 2,22. 6 Larson/Farber

8 Intervalos de confiança para Definição: um intervalo de confiança c para a média populacional é: Determine o intervalo de confiança de 95% para o bilhete só de ida de Atlanta a Chicago. Você encontrou = 101,77 e E = 2,22. Extremo esquerdo Extremo direito 101,77 2,22 = 99,55 101,77 + 2,22 = 103,99 ( 101,77 ) 99,55 103,99 99,55 103,99 Com 95% de confiança, você pode dizer que a média de preço para o bilhete só de ida de Atlanta a Chicago fica entre US$ 99,55 e US$ 103,99.

9 Tamanho da amostra Dados um nível de confiança c e um erro máximo da estimativa E, o tamanho mínimo da amostra n necessário para se estimar, a média populacional, é: Você quer estimar a média de preço para um bilhete só de ida de Atlanta a Chicago. Quantos bilhetes terão de ser incluídos em sua amostra se você quiser estar 95% seguro de que a média amostral está a no máximo US$2 da média populacional? 1,96 6,69 42,98 Você deverá incluir ao menos 43 bilhetes na sua amostra. Como já tem 35, você precisará de mais 8.

10 Seção 6.2 Intervalos de confiança para a média (amostras pequenas)

11 A distribuição t Se a distribuição de uma variável aleatória x é normal e n < 30, a distribuição amostral de será uma distribuição t com n 1 graus de liberdade. Distribuição amostral de n = 13 g.l. = 12 c = 90% 0,90 0,05 0,05 1,782 1,782 O valor crítico para t é de 1, % das médias amostrais (n = 13) estarão entre t = 1,782 e t = 1, t

12 O intervalo de confiança em amostras pequenas Erro máximo da estimativa: Em uma amostra aleatória de 13 adultos norteamericanos, a média de lixo reciclado por pessoa foi de 4,3 libras por dia, com um desvio padrão de 0,3 libra. Admita que a variável seja normalmente distribuída e construa um intervalo de confiança de 90% para. 1. A estimativa pontual é = 4,3 libras. 2. O erro máximo da estimativa é 0,3 1,782 0,148

13 O intervalo de confiança em amostras pequenas 1. A estimativa pontual é: = 4,3 libras 2. O erro máximo da estimativa é: Extremo esquerdo 0,3 1,782 0,148 Extremo direito 4,3 0,148 = 4,152 4,3 + 0,148 = 4,448 ( 4,152 4,3 4,15 < < 4,45 ) 4,448 Com 90% de confiança, você pode dizer que a média de lixo reciclado por pessoa está entre 4,15 e 4,45 libras por dia.

14 Seção 6.3 Intervalos de confiança para proporções populacionais

15 Intervalos de confiança para proporções populacionais A estimativa pontual para p, a proporção populacional de sucessos, é dada pela proporção de sucessos em uma amostra (Lido como p chapéu.) é a estimativa pontual para a proporção de fracassos, onde Se e, a distribuição amostral para é normal.

16 Intervalos de confiança para proporções populacionais O erro máximo da estimativa, E, para um intervalo de confiança c é: Um intervalo de confiança c para uma proporção populacional, p, é:

17 Intervalo de confiança para p Em um estudo com acidentes de tráfico, 449 estavam relacionados ao uso de álcool. Construa um intervalo de confiança de 99% para a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool. 1. A estimativa pontual para p é: 0,235 0, , Como 1.907(0,235) $ 5 e 1.907(0,765) $ 5, a distribuição amostral é normal. 3. 2,575 (0,235)(0,765) ,025

18 Intervalo de confiança para p Em um estudo com acidentes de tráfico, 449 estavam relacionados ao uso de álcool. Construa um intervalo de confiança de 99% para a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool. Extremo esquerdo Extremo direito 0,235 0,025 = 0,21 0, ,025 = 0,26 ( 0,21 0,235 0,21 < p < 0,26 ) 0,26 Com 99% de confiança, você pode dizer que a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool está entre 21% e 26%.

19 Tamanho mínimo da amostra Se você tem uma estimativa premilinar para p e q, o tamanho mínimo da amostra necessário para se estimar p, dados um intervalo de confiança c e o erro máximo da estimativa E, é: Se você não tiver uma estimativa preliminar, use 0,5 para. e

20 Exemplo: tamanho mínimo da amostra Você deseja estimar a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool a um nível de confiança de 99%. Determine o tamanho mínimo da amostra necessário para estimar a proporção populacional com uma precisão de 2%. Como não há estimativas preliminares, use 0,5 para. e (0,5)(0,5) 2,575 0, ,14 Você precisará de uma amostra com pelo menos acidentes.

21 Exemplo: tamanho mínimo da amostra Você deseja estimar a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool a um nível de confiança de 99%. Determine o tamanho mínimo da amostra necessário para estimar a proporção populacional com uma precisão de 2%. Use uma estimativa preliminar de p = 0,235. Com uma amostra preliminar você precisa de n = para sua amostra. 2,575 (0,235)(0,765) 2.980,05 0,02

22 Seção 6.4 Intervalos de confiança para variância e desvio padrão

23 A distribuição qui-quadrado A estimativa pontual para é s 2 e para é s. Se o tamanho da amostra é n, use uma distribuição quiquadrado χ 2 com n 1 g.l. para formar um intervalo de confiança c. 0,95 Determine χ R2, ó valor crítico da cauda à direita, e χ L2, o valor crítico da cauda à esquerda, para c = 95% e n = 17. Se o tamanho da amostra é 17, há 16 g.l. A área à direita de χ R2 é (1 0,95)/2 = 0,025 e a área à direita de χ L2 é (1 + 0,95)/2 = 0,975 χ L2 = 6,908 6,908 28,845 χ R2 = 28,845

24 Intervalos de confiança para Um intervalo de confiança c para uma variância populacional é: Para estimar o desvio padrão tire a raiz quadrada de cada extremo. Você seleciona ao acaso os preços de 17 CD players. O desvio padrão amostral é de US$ 150. Construa um intervalo de confiança de 95% para e. e 28,845 6, , ,49

25 Intervalos de confiança para e Para estimar o desvio padrão tire a raiz quadrada de cada extremo , ,49 Determine a raiz quadrada de cada parte. US$ 117,72 US$ 228,28 Você pode dizer, com 95% de confiança, que está entre ,50 e ,49 e entre US$ 117,72 e US$ 228,28.