6. NOÇÕES DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA

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1 6. NOÇÕES DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA 21

2 Problemas de inferência Inferir significa fazer afirmações sobre algo desconhecido. A inferência estatística tem como objetivo fazer afirmações sobre uma característica de uma população a partir do conhecimento de dados de uma parte desta população (isto é, uma amostra de n observações). A população é representada por uma distribuição de probabilidade com parâmetro(s) cujo(s) valor(es) é (são) desconhecido(s). Fazemos inferências sobre o(s) parâmetro(s). 2

3 Problemas de inferência Se é um parâmetro da distribuição de uma v. a. X e X 1,...,X n é uma amostra desta distribuição, encontramos três problemas típicos: 1. Estimação pontual Apresentar um valor para, que é uma função da amostra X 1,...,X n ( cálculo de ), chamada de estimador de. Espera-se que o estimador tenha boas propriedades: (i) em média esteja próximo de, (ii) o estimador se aproxima de quando n aumenta,...b 3

4 Problemas de inferência 2. Estimação intervalar Apresentar um intervalo de possíveis valores para, chamado de intervalo de confiança. Os limites do intervalo são funções da amostra X 1,...,X n (são aleatórios). A probabilidade de que o intervalo contenha deve ser alta.vv A amplitude do intervalo deve ser tão pequena quanto possível (intervalo mais preciso). 4

5 Problemas de inferência 3. Teste de hipóteses Uma hipótese estatística () é uma afirmação sobre o valor de. Pode ser verdadeira ou falsa. Se é a probabilidade de sucesso no modelo binomial, : = ½, : ½ e : > ¾ são exemplos de hipóteses. Com base na amostra X 1,...,X n, formulamos uma regra de decisão que permita concluir pela rejeição ou não rejeição (aceitação) de. A decisão pode ser correta ou errada. 5

6 Estimação pontual método de substituição (a). Distribuição binomial. X ~ B(n, p). Vimos que E(X) = np. 1 Umestimador para p : X n n i1 (b). Distribuição de Poisson. X ~ Po(). Vimos que E(X) =. X i proporçãoamostral de sucessos. Um estimador para : X. (c). Distribuição exponencial. X ~ Ex(). Vimos que E(X) = 1 /. 1 Umestimador para :. X (d). Distribuição normal. X ~ N(, 2 ). Vimos que E(X) = e Var(X) = 2. Um estimador para : X. 2 Umestimador para : s 2 1 n 1 n i1 ( X i X ) 2. Obs. Existem outros métodos de estimação. 6

7 Teste de hipóteses Exemplo. Uma indústria adquire de um certo fabricante pinos cuja resistência média à ruptura é especificada em 6 unid. (valor nominal da especificação). Em um determinado dia a indústria recebeu um grande lote de pinos e a equipe técnica da indústria deseja verificar se o lote atende às especificações. : O lote atende às especificações 1 : O lote não atende às especificações (ipótese nula). (ipótese alternativa). A v. a. X (resistência à ruptura) é tal que X ~ N (, 25). O problema pode ser resolvido testando as hipóteses : = 6 e 1 : 6 (hipótese simples: um único valor) (hipótese composta: mais de um valor) 7

8 Teste de hipóteses Uma hipótese estatística é uma afirmação sobre o(s) parâmetro(s) da distribuição de probabilidade de uma característica (v. a. X) da população. Um teste de uma hipótese estatística é um procedimento ou regra de decisão que nos possibilita decidir por ou 1 com base na amostra X 1,...,X n. Exemplo. A equipe técnica da indústria decidiu retirar uma amostra aleatória de tamanho n = 16 do lote recebido. A resistência de cada pino foi medida e foi calculada a resistência média X (estimador de ), que será utilizada para realizar o teste (estatística de teste). Podemos afirmar que X 25 ~ N,. 16 Obs. Se X 1, X 2,..., X n é uma amostra de uma distribuição N(, 2 ), então a média amostral tem distribuição N(, 2 /n). Para quais valores de X a equipe técnica deve rejeitar e portanto rejeitar o lote? 8

9 Região crítica (R c ) ou região de rejeição é o conjunto de valores assumidos pela estatística de teste para os quais a hipótese nula é rejeitada. Seu complementar é a região de aceitação (R a ). Exemplo. Se o lote está fora de especificação, isto é, se 1 : 6 for verdadeira, espera-se que a média amostral seja inferior ou superior a 6 unid. A equipe técnica decidiu adotar a seguinte regra: rejeitar se X for maior do que 62,5 unid. ou menor do que 57,5 unid. As duas regiões são R c X,5 ou X 57,5 X 62, ,5 : região de rejeição de e R a : região de aceitação de. 9

10 Procedimento (teste): Se Se x R c x R c,, rejeita -se não serejeita (aceita - se) ;. 1

11 Tipos de erros Erro tipo I: rejeitar quando é verdadeira. Erro tipo II: não rejeitar (aceitar) quando é falsa. Exemplo. As hipóteses são : O lote atende às especificações; 1 : O lote não atende às especificações. Erro tipo I: rejeitar o lote sendo que ele está de acordo com as especificações. Erro tipo II: não rejeitar (aceitar) o lote sendo que ele não está de acordo com as especificações. Quadro resumo: Situação real e desconhecida Decisão o verdadeira o falsa Não rejeitar o Decisão correta Erro tipo II Rejeitar o Erro tipo I Decisão correta 11

12 Nível de significância e poder P(Erro tipo I) = (nível de significância). P(Rejeitar ; verdadeira). P(Erro tipoii) P(Não rejeitar P(Não rejeitar ; 1 verdadeira). ; falsa) 1 P(Rejeitar ; é falsa) : poder do teste. Obs. Quanto maior o poder, melhor o teste. 12

13 Exemplo. As hipóteses são : = 6 e 1 : 6. Logo, P( X 62,5 ou X 57,5; : 6). Se for verdadeira, então X ~ N(6, 25/16). Calculamos o nível de significância: Cálculo de Solução: 13

14 Então 14

15 Cálculo de Solução: Então, 15

16 Função poder 16

17 17 ipóteses bilateral e unilaterais Se as hipóteses nula e alternativa são, : ; : 1 em que é uma constante conhecida (valor de teste), o teste é chamado de bilateral. Podemos ter também as hipóteses, : ; : 1 unilateral à esquerda. : ; : ou 1 unilateral à direita Sugestão. Expressar em forma de igualdade.

18 Exemplo Um fabricante de um certo componente afirma que o tempo médio de vida dos componentes produzidos é de 1 horas. Engenheiros de produto têm interesse em verificar se uma modificação do processo de fabricação aumenta a duração dos componentes. ipóteses: 1 : 1 horas; : 1 horas, sendo o tempo médio de duração dos componentes. 18

19 Procedimento básico de testes de hipóteses O procedimento de teste de hipóteses relativo ao parâmetro de uma população é decomposto em quatro passos: (i) Formulação das hipóteses: 1 : ; : ou ou. (ii) Identificação da estatística de teste e caracterização da sua distribuição (por exemplo, método de substituição, lâmina 6). (iii) Escolha do nível de significância do teste ( = 5%, 1% e,5% são comuns) e obtenção da região crítica. (iv) Cálculo da estatística de teste e tomada de decisão ( deve ser rejeitada ou não?). 19

20 Teste de hipóteses para uma média populacional Considere uma amostra aleatória de tamanho n de uma população normal com média (desconhecida) e variância 2 (conhecida). Iniciamos pelo teste unilateral à esquerda: (i) 1 : ; :. (ii) A estatística de teste é a média amostral X (estimador pontual de ). Se a distribuição da população é normal ou se amostra é grande (n 3, mesmo que a distribuição da população não seja normal) a 2 distribuição de X é N, / n, aproximadamente. Se for verdadeira, então Z n ( X ) ~ N (,1). 2

21 Teste de hipóteses para uma média populacional (iii) Rejeitamos em favor de 1 se a média amostral X é pequena em relação. A região crítica é obtida selecionando um k tal que R c = { X < k }, sendo que P ( X k; : ) =. Ou seja, sob Obs. z <. (iv) Conclusão: se não se rejeita. x R c X z n, rejeita-se ; caso contrário 21

22 Exemplo Um comprador de tijolos suspeita de uma diminuição na resistência. De experiências anteriores, sabe-se que a resistência média ao desmoronamento de tais tijolos é igual a 2 kg, com um desvio padrão de 1 kg. Uma amostra de 1 tijolos, escolhidos ao acaso, forneceu uma média de 195 kg. A um nível de significância de 5%, pode-se afirmar que a resistência média ao desmoronamento diminuiu? (i) 1 Ashipótesesde interesse : : 2 kg; 2 kg. são (ii) A estatística de teste é a média amostral X. Já que n = 1 3, 1 tem-se que sob, X ~ N2, 1, aproximadamente. (iii) A região crítica pode ser obtida selecionando k de maneira que R c = { X < k }, sendo que P ( X k; : ) = =,5. Ou seja, sob, 22

23 Exemplo X 2 P 1 / 1 k 2 1 / 1 PZ k 2 1,5 k 2 1,64 k 198,36 R c X 198,36. (iv) Do enunciado a média amostral vale 195. Logo, x 195 Rc X 198,36. Rejeita-se a um nível de 5% de significância. Conclusão. De acordo com os dados coletados e adotando um nível de significância de 5%, concluímos que resistência média ao desmoronamento diminuiu. 23

24 Método alternativo Um método alternativo prático: trabalhar diretamente na escala Z. ( i) : contra 1 :. (ii) Estatística de teste: Z n( X ) ~ N sob (,1), pelo menos aproximadamente. (iii) Região crítica para um nível de significância escolhido: R c Z. z (iv) Se z Rc Z z, rejeitase ; caso contrário, não se rejeita. 24

25 Exemplo (i) : 2 contra 1 : 2. (ii) Estatística de teste: Z n( X 2) ~ sob N(,1). (iii) Região crítica para um nível de significância =,5: R c z 1,64. (iv) Calculamos significância de 5%. 1 (195 2 ) z 5 R 1 c. Rejeita-se a um nível de 25

26 Procedimento geral ipóteses: (i) : 1 : À esquerda (ii) Estatística de teste: : 1 : À direita : 1 : Bilateral (a) Variância da população é conhecida: Z n( X ) ~ N sob (,1). (b) Variância da população é desconhecida (s é o desvio padrão amostral): T n( X s ) t( n 1). ~ sob Distribuição t de Student com n 1 graus de liberdade (g.l.). 26

27 Distribuições normal e t de Student 27

28 28 (iii) Região crítica para um nível de significância escolhido: c Z R Z c ) ( c T R T c ) ( c Z R Z c ) ( c T R T c ) ( c Z R Z c ) ( c T R T c ) ( (iv) Se Z R C ou T R C, rejeita-se o ; caso contrário, não se rejeita. 1 : < 1 : > 1 : Procedimento geral Obs. Nas regiões críticas com Z e T o valor de c não é o mesmo.

29 Tabela da distribuição t de Student A tabela t de Student contém os valores de t c (t c > ) tais que P( - t c T t c ) = 1 p correspondentes a alguns valores de p e para alguns graus de liberdade. 29

30 Graus de liberdade Tabela da distribuição t de Student Exemplo. Se n = 12, são 11 graus de liberdade. Se tivermos 1 :, escolhendo = 5%, temos p/2 = /2, ou seja, p = 5%. Consultando a tabela t de Student encontramos t c = 2,21 e R c = { T > 2,21}. p = 9% 8%... 5%...,1% , Infinito 1,96 p = 9% 8%... 5%...,1% Obs.. À medida que aumentam os graus de liberdade, a distribuição t se aproxima da normal (neste exemplo, t c 1,96 = z c ). 3

31 Graus de liberdade Tabela da distribuição t de Student Exemplo. Se n = 28, são 27 graus de liberdade. Se tivermos 1 : <, escolhendo = 2%, temos Consultando a tábua III encontramos t c = 2,473 e R c = {T < -2,473}. p = 9% 8%... 2%...,1% , Infinito 2,326 p = 9% 8%... 2%...,1% Obs. Neste exemplo, se tivéssemos 1 : >, a região crítica seria R c = {T > 2,473}. 31

32 Exemplo Dados históricos coletados em uma linha de produção de um certo item indicam 115 kg como massa média. A fim de testar a hipótese de que a média de itens recentemente produzidos se manteve, retirou-se, ao acaso, uma amostra de 2 itens, obtendo-se média igual a 118 kg e desvio padrão 2 kg. Utilize =,5. (i) 1 As hipóteses de interesse são : 115 kg; : 115 kg. Aproximamos a distribuição da média das 2 notas por uma distribuição normal com média e variância 2 / n. (ii) Estatística de teste: T n( X 115) S ~ sob t( n 1). 32

33 Exemplo (iii) Região crítica para um nível de significância =,5 e com n 1 = 19 g.l.: R c T 2,93. (iv) Calculamos 2 ( ) T, 67 R 2 c. Não se rejeita a um nível de de significância de 5%. A diferença não é significativa. Conclusão. De acordo com os dados coletados, a um nível de significância de 5% concluímos que a massa média dos itens produzidos se manteve. 33

34 Teste de hipóteses para uma proporção populacional O procedimento para testes de hipóteses sobre a proporção populacional (p) semelhante ao utilizado para testes sobre uma média populacional. Problema. Testar a hipótese que a proporção de sucessos de um ensaio de Bernoulli é igual a um valor especificado p. Isto é, testar um dos seguintes pares de hipóteses: (i) : p p 1 : p p À esquerda : p p 1 : p p À direita : p p 1 : p p Bilateral 34

35 Teste de hipóteses para uma proporção populacional (ii) Estatística de teste: Z n( p p (1 p p ) ) ~ N sob (,1), aproximadamente, sendo que p Número de sucessos n i1 n n X i :estimador pontual de p. é a proporção amostral de sucessos e X i = 1, se o resultado for sucesso; X i =, se o resultado for insucesso. 35

36 Exemplo Um estudo é realizado para determinar a presença de pequenas anomalias em chapas metálicas de uma certa dimensão. Segundo o fabricante, a proporção de chapas com anomalias é inferior a 25%. Foram inspecionadas 5 chapas escolhidas ao acaso e sete delas apresentaram algum tipo de anomalia. Estes dados justificam a afirmação do fabricante? Adote um nível de significância igual a,5. (i) 1 ipóteses: : : p p,25;,25. (ii) Estatística de teste: Z 5( p,25),25(1,25) ~ sob N(,1), aproximadamente. 36

37 Exemplo (iii) Região crítica para um nível de significância =,5: R c z 1,64. (iv) Temos n = 5. Calculamos, 14 Rejeita-se ao nível de 5% de significância. 7 5(,14,25) p e z 1, 796 Rc 5 25 (1,25). Conclusão. Adotando um nível de significância de 5% concluímos a partir dos dados que a proporção de chapas produzidas com anomalias é inferior a 25%. 37