Lista de Exercícios 2 - Estatística II

Transcrição

1 Lista de Exercícios 2 - Estatística II Parte 1 - Teoria Básica de Testes de Hipóteses: Exercício 1. (2007/1 - P2 - ex.15) Um equipamento médico não está funcionando adequadamente; entretanto, no procedimento operacional de checagem, um técnico de laboratório não encontrou evidências para a manutenção. O técnico cometeu: (a) um erro Tipo I. (b) um erro Tipo II. (c) tanto um erro Tipo I como um erro Tipo II. (d) nem um erro Tipo I nem um erro Tipo II. (e) um erro de amostragem aleatório. Exercício 2. (2008/2 - P2 - ex.14) Assinale a alternativa que corresponda ao erro tipo II de um teste de hipóteses: (a) Quando se aceita H 1 e ela é verdadeira. (b) Quando se rejeita H 0 e ela é verdadeira. (c) Quando se rejeita H 0 e ela é falsa. (d) Quando se aceita H 0 e ela é verdadeira. (e) Quando se aceita H 0 e ela é falsa. Exercício 3. (2010/1 - P2 - ex.17) Considere as seguintes assertivas sobre Teste de Hipóteses: I. O nível de significância expressa o erro possível a ser cometido. II. Na hipótese nula supõe-se que a alegação da igualdade não seja aceita como verdadeira. III. O erro tipo I ocorre quando se rejeita uma hipótese verdadeira. Podemos afirmar que: (a) Nenhuma assertiva é verdadeira. (b) Apenas a assertiva III é verdadeira. (c) Apenas as assertivas I e II são verdadeiras. (d) Apenas as assertivas I e III são verdadeiras. (e) Todas as assertivas são verdadeiras. Parte 2 - Teste para a média de uma população com σ conhecido - Estatística do teste: 1

2 Exercício 4. (2008/1 - P2 - ex.16) Uma empresa brasileira afirma que o faturamento médio de uma de suas filiais sediadas na região Sul é de 230 mil reais e a distribuição é normal. O desvio-padrão do faturamento de todas as empresas da região é igual a 30 mil reais. Uma análise dos dados de uma amostra de 16 empresas encontrou um faturamento médio igual a R$ ,00. Deve-se testar se a média desse faturamento é inferior a 230 mil reais. As hipóteses a serem testadas são: { H0 : µ = O valor calculado da estatística de teste é: H 1 : µ < (a) 4,67. (b) 0,46. (c) 4, 67. (d) 1, 17. (e) 0,04. Exercício 5. (2009/2 - P2 - ex.20) Um Instituto de Pesquisas afirma que o QI (Quociente de Inteligência) médio dos alunos de uma de suas filiais é de 120 com desvio-padrão de 15, seguindo a distribuição Normal. Uma análise dos dados de uma amostra aleatória de 20 alunos dessa filial gerou um QI médio igual a 110. Deve-se testar se a média do QI dos alunos dessa filial é inferior a 120. Considerando-se que as hipóteses a serem testadas são: o valor calculado da estatística de teste é: H 0 : µ = 120 e H 1 : µ < 120, (a) 2, 50 (b) +2, 50 (c) 2, 98 (d) +2, 98 (e) 3, 10 Parte 3 - Teste para a média de uma população com σ conhecido - Região Crítica: Exercício 6. (2007/1 - P2 - ex.6) As notas de uma prova são normalmente distribuídas com média µ = 75 e desvio-padrão igual a 15. Uma amostra de 100 alunos submetidos a um novo método de ensino forneceu média 80 na mesma prova. Na estimação por testes de hipóteses: (a) a hipótese nula é sempre µ > 75. (b) a hipótese alternativa é sempre µ = 75. (c) a estatística de teste é, na forma padronizada para uma distribuição normal, o valor de z = (d) se for eficaz, espera-se que os resultados dos alunos sejam melhores do que o tradicional; logo, o teste é unilateral inferior. (e) para um nível de significância de 2,5% (z crítico = 1, 96), como o valor crítico z crítico é menor que a estatística de teste z = 15 = 3, 33, a decisão é que o novo método é eficaz. 100 Exercício 7. (2007/1 - P2 - ex.11) Em uma instituição financeira, a preocupação com o tempo de atendimento a clientes, na carteira de aplicações, foi motivo para o Depto. de Organização e Métodos desenvolver um sistema de informações objetivando a redução do tempo de atendimento. O tempo médio geral (µ) de atendimento, anterior à mudança de sistemática, era normalmente distribuído com média igual a 20 minutos e desvio-padrão igual a 6 minutos. Após a implantação do referido sistema, para uma amostra de 64 clientes, o tempo de atendimento apresentou uma média de 18 minutos. Aplicados os procedimentos de teste de hipótese de média, ao nível de significância de 5%, chega-se à seguinte decisão e conclusão: 2

3 (a) rejeitar H 0, concluindo-se que houve redução no tempo de atendimento. (b) aceitar H 0, concluindo-se que não houve redução no tempo de atendimento. (c) rejeitar H 0, concluindo-se que não houve redução no tempo de atendimento. (d) rejeitar H 1, concluindo-se que houve redução no tempo de atendimento. (e) aceitar H 0, concluindo-se que houve aumento no tempo de atendimento. Exercício 8. (2008/1 - P2 - ex.20) Os graus dos alunos de Estatística têm sido baixos, com média de 5,2 e desvio-padrão de 1,2. Com um curso de revisão ministrado pelo prof. Pedro Paulo, pretende-se aumentar o rendimento dos alunos. Entre 36 alunos que freqüentaram tal curso, a média foi de 6,4. Considerando um nível de significância de 8% e que os dados são normalmente distribuídos, assinale a alternativa correta. (a) Aceita-se H 0 e novo método do prof. Pedro Paulo é mais eficiente. (b) O novo método do prof. Pedro Paulo é menos eficiente. (c) O novo método do prof. Pedro Paulo é igual ao método anterior. (d) O novo método do prof. Pedro Paulo é mais eficiente. (e) Rejeita-se H 0 e o novo método do prof. Pedro Paulo é menos eficiente. Exercício 9. (2008/2 - PS - ex.1) Os alunos do curso de graduação em administração do Instituto Superior Tupy, certificado pela FGV, têm apresentado satisfatórios resultados, com média de 6,6 e desvio-padrão de 2,0. Com um curso preparatório intensivo de revisão ministrado pelos professores da instituição, pretende-se aumentar o rendimento dos alunos. Dos 49 alunos que freqüentam tal curso, a média foi de 7,5. O que se pode afirmar em relação à eficiência do curso, ao nível de 5% de significância? (a) Rejeita-se H 1 e o curso preparatório é mais eficiente. (b) Rejeita-se H 0 e o curso preparatório é mais eficiente. (c) Não se rejeita H 0 ; com isso, não houve melhora significativa na nota dos alunos com base no curso preparatório. (d) Aceita-se H 0 e o curso preparatório é mais eficiente. (e) Rejeita-se H 0 e o curso preparatório é menos eficiente. Exercício 10. (2009/1 - P2 - ex.8) O principal fabricante de um determinado produto anuncia que o seu preço médio é de R$ 10,00, com desvio-padrão de R$ 2,50. Um concorrente deseja provar que o preço médio do produto não é o que o fabricante afirma. Para isso, ele analisa 36 desses produtos, obtendo R$ 11,00 para o preço médio. Ao testar as hipóteses, a um nível de significância de 5%, o concorrente concluirá que: (a) os valores críticos são iguais a 1, 64 e +1, 64. (b) o valor da estatística de teste é igual a 0,4 e não se deve rejeitar a informação do fabricante. (c) o valor da estatística de teste é igual a 2,4 e não se deve rejeitar a informação do fabricante. 3

4 (d) o valor da estatística de teste é igual a 0,4 e deve-se rejeitar a informação do fabricante. (e) o valor da estatística de teste é igual a 2,4 e deve-se rejeitar a informação do fabricante. Exercício 11. (2009/1 - PS - ex.13) Um fabricante de lajotas de cerâmica introduz um novo material em sua fabricação e acredita que aumentará a resistência média atual, que é de 206 kg. A resistência das lajotas tem distribuição normal com desvio padrão de 12 kg. Retira-se uma amostra de 36 lajotas, obtendo resistência média de 210 kg. Ao nível de 10%, pode o fabricante: (a) não rejeitar que a resistência média de suas lajotas tenha aumentado utilizando um teste unilateral superior. (b) rejeitar que a resistência da média de suas lajotas tenha aumentado utilizando um teste unilateral superior. (c) não rejeitar que a resistência média de suas lajotas tenha aumentado utilizando um teste unilateral inferior. (d) rejeitar que a resistência média de suas lajotas tenha aumentado utilizando um teste unilateral inferior. (e) não rejeitar que a resistência média de suas lajotas tenha aumentado utilizando um teste bilateral. Exercício 12. (2009/1 - PS - ex.17) O conteúdo de um determinado tipo de margarina segue o modelo normal com conteúdo médio µ = 450 e desvio padrão σ = 50 gramas. O controle de qualidade da indústria executa periodicamente um teste para a média (unilateral inferior), e paralisa a produção somente se a média de 100 unidades do produto for menor que 440,20 gramas (considere que não exista a possibilidade de sobreenchimento). A probabilidade de se cometer o erro tipo I e a conseqüência imediata deste erro seriam respectivamente: (a) 10%; produção fora das especificações do projeto (conteúdo menor que o indicado na embalagem). (b) 2,5%; interrupção desnecessária da produção. (c) 5%; produção com maior dispersão, dado que H 0 é não foi rejeitada. (d) 2,5%; produção fora das especificações do projeto (conteúdo menor que o indicado na embalagem). (e) 10%; interrupção desnecessária da produção. Exercício 13. (2009/2 - PS - ex.6) Em uma clínica médica, sempre são observadas reclamações quanto à demora no atendimento por parte dos médicos. A nova gerente, responsável pelo atendimento ao público, decide fazer uma adequação nos procedimentos de marcação dos horários nas agendas dos médicos, dando margens de segurança aos horários definidos para as consultas. Após um tempo de observação, a quantidade de reclamações por mês foi comparada com aquelas obtidas antes da implementação do novo sistema de agendamento. Antes do novo método, havia em média 7 reclamações por semana, com desviopadrão de 2 reclamações. Após a implantação do referido sistema, para uma amostra de 20 semanas, o número de reclamações passou para 6. Considerando que a variável segue uma distribuição Normal, e aplicados os procedimentos de teste de hipótese para a média, ao nível de significância de 5%, chega-se à seguinte conclusão: 4

5 (a) Rejeitar H 0, houve redução no número de reclamações semanais. (b) Não rejeitar H 0, não houve redução no número de reclamações semanais. (c) Rejeitar H 0, não houve redução no número de reclamações semanais. (d) Rejeitar H 1, houve redução no número de reclamações semanais. (e) Não rejeitar H 0, houve aumento no número de reclamações semanais. Exercício 14. (2010/1 - PS - ex.12) Um laboratório que fabrica comprimidos analgésicos anuncia que seu remédio para dor de cabeça leva em média 10 minutos para aliviar a dor, com desvio padrão de 3 minutos. Um médico sustenta que o tempo é maior e seleciona aleatoriamente 25 pacientes. Pede a eles que tomem tais comprimidos quando tiverem dor de cabeça, anotando o tempo (em minutos) até o alívio da dor. Após a coleta de todas as respostas, ele verifica um tempo médio de alívio da dor de 13 minutos. Admitindo a distribuição normal dos tempos, para um nível de significância de 5%, assinale a alternativa correta. (a) Rejeita-se H 0 e o laboratório tem razão. (b) Aceita-se H 0 e o laboratório tem razão. (c) Rejeita-se H 0 e o laboratório não tem razão. (d) Aceita-se H 0 e o laboratório não tem razão. (e) Rejeita-se H 0 e o laboratório realiza outra amostra para aumentar a confiança na inferência. Exercício 15. (2011/2 - PS - ex.15) A empresa de telemarketing A, contratada por um banco, afirma que, pelos serviços por ela oferecidos, um cliente é atendido, em média, em 225 segundos, com um desvio padrão de 81 segundos. Sua concorrente, a empresa B, afirma que o tempo de atendimento é maior do que 225 segundos e, para provar o que afirma, selecionou aleatoriamente 25 clientes e observou o tempo de espera que cada um gastou para ser atendido. O resultado obtido foi um tempo médio de 300 segundos. Admitindo-se que o tempo de espera seja uma variável aleatória normalmente distribuída, pode-se, a 5% de risco, rejeitar a hipótese de que a empresa A esteja dizendo a verdade? (a) Pode-se rejeitar H 0, isto é, a empresa A fala a verdade. (b) Não se pode rejeitar H 0, isto é, a empresa A fala a verdade. (c) Pode-se rejeitar H 0, isto é, a empresa A não fala a verdade. (d) Não se pode rejeitar H 0, isto é, a empresa A não fala a verdade. (e) Não se pode rejeitar H 0, porque a estatística do teste é maior do que o valor crítico. Parte 4 - Teste para a média de uma população com σ conhecido - Valor-p: O enunciado a seguir refere-se às duas próximas questões. O desvio-padrão de uma população é conhecido e igual a 22 unidades. Uma amostra aleatória de 100 elementos retirada dessa população forneceu X = 115, 8. Deve-se testar se a média dessa população é inferior a 120 unidades. As hipóteses a serem testadas são: { H0 : µ = 120 H 1 : µ < 120 Exercício 16. (2007/2 - P2 - ex.19) O valor calculado da estatística z é: 5

6 (a) 1,91. (b) 0,19. (c) 0,01. (d) 0, 19. (e) 1, 91. Exercício 17. (2007/2 - P2 - ex.20) Nos níveis de significância de 5% e 10%, pode-se afirmar que: (a) a hipótese nula é aceita em ambos os níveis. (b) a hipótese nula é rejeitada em ambos os níveis. (c) a hipótese nula é rejeitada em 5% e aceita em 10%. (d) a hipótese nula é aceita em 5% e rejeitada em 10%. (e) o teste é inconclusivo. Exercício 18. (2008/1 - P2 - ex.3) Uma grande construtora nacional afirma que seus funcionários recebem um salário médio igual a, no mínimo, R$ 1.450,00, com desvio-padrão igual a R$ 700,00. Uma amostra com 500 funcionários apresentou uma média de R$ 1.390,00. Considerando que os dados são normalmente distribuídos, o que se pode afirmar? (a) Há evidência suficiente na amostra para rejeitarmos H 0 a um nível de significância de 1%. (b) Há evidência suficiente na amostra para rejeitarmos H 0 a um nível de significância de 5%. (c) Não há evidência suficiente na amostra para rejeitarmos H 0 a um nível de significância de 5%. (d) Há evidência suficiente na amostra para rejeitarmos H 0 a um nível de significância de 2,5%. (e) Há evidência suficiente na amostra para rejeitarmos H 0 a um nível de significância de 2%. Exercício 19. (2009/1 - P2 - ex.15) A média hipotética de uma população foi testada duas vezes aos níveis de significância de 2,5% e 5%. O valor-p apresentado foi de 0,02. Pode-se afirmar que: (a) a média hipotética testada deve ser rejeitada nas duas situações. (b) a média hipotética testada não deve ser rejeitada nas duas situações. (c) a média hipotética testada não deve ser rejeitada ao nível de 2,5% e rejeitada com 5% de significância. (d) a média hipotética testada deve ser rejeitada ao nível de 2,5% e não rejeitada com 5% de significância. (e) impossível definir se a média testada deverá ser rejeitada ou não. Exercício 20. (2009/2 - PS - ex.18) Um teste de hipótese apresenta um nível de significância e um valor-p. Abaixo estão relacionados o nível de significância α, o valor-p, e a decisão após ter sido aplicado o teste unilateral superior. Assinale a alternativa INCORRETA: (a) α = 2%, valor-p = 1,5%, não rejeitar H 0 (b) α = 5%, valor-p = 3,5%, rejeitar H 0 (c) α = 10%, valor-p = 5,5%, rejeitar H 0 6

7 (d) α = 2%, valor-p = 2,5%, não rejeitar H 0 (e) α = 5%, valor-p = 6%, não rejeitar H 0 Exercício 21. (2010/2 - PS - ex.4) Um teste de hipótese sobre a média salarial populacional de certa função dentro de uma grande empresa, conduzido a partir de uma grande amostra, rejeitou a hipótese de que essa média populacional dos salários dessa função fosse aquela afirmada pelo gerente financeiro sob a alegação de que o valor da estatística p (p-value) era menor que 5%, exatamente 0,012 ou 1,2%. O gerente financeiro desse grande complexo industrial faltou na aula de estatística justamente no dia em que o professor explicou o significado da estatística p (p-value). Nesse caso, em relação à estatística p (p-value), é CORRETO afirmarmos que é: (a) a probabilidade de 1,2% de que a afirmação do gerente esteja certa. (b) a probabilidade de 1,2% de que a afirmação do gerente esteja errada. (c) a probabilidade de 1,2% de que a amostra possa ter sido grande demais. (d) a probabilidade de 1,2% de que possam ser selecionadas novas amostras que indiquem que o gerente esteja certo. (e) a probabilidade de 1,2% de que possam ser selecionadas novas amostras que indiquem que o gerente esteja errado. 7

8 Respostas: 1. B 6. E 11. A 16. E 21. D 2. E 7. A 12. B 17. B 3. A 8. D 13. A 18. B 4. C 9. B 14. C 19. A 5. C 10. E 15. C 20. A 8