MAE0229 Introdução à Probabilidade e Estatística II

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1 Exercício 1 Os registros do serviço de saúde de uma cidade indicam que a proporção de mães que amamentam até o terceiro mês de idade da criança é p = 0, 50. A fim de aumentar essa proporção, vem sendo realizado um programa educativo entre as gestantes. Para averiguar a eficácia do programa, n = 25 mães submetidas ao programa foram acompanhadas e se pelo menos 17 ainda estiverem amamentando após 3 meses do parto o programa educativo será considerado satisfatório. (a Formule o problema como um problema de teste de hipóteses definindo as hipóteses H e A. (b Quais são os significados dos erros tipo I e tipo II? (c Qual a região crítica? (d Qual é o nível de significância do teste? (e Qual a probabilidade de um programa educativo que aumente a porcentagem para p = 0, 80 não ser detectado pelo critério de decisão? (f Vamos supor que das n = 25 mães submetidas ao programa 19 ainda estavam amamentando após 3 meses. Qual o valor-p associado a esse valor? Qual a decisão?. Use a tabela da binomial para resolver (d e (e e (f. (a Denotando por p a proporção de mães que amamentam até o terceiro mês de idade de criança apôs realizado o programa educativo. As hipóteses de interesse são: (b Os significados dos erros tipo I e tipo II são H : p = 0, 50 A : p > 0, 50 Erro Tipo I: Afirmar incorretamente que o programa educativo é satisfatorio. Erro Tipo II: Não detectar que o progarma educativo é satisfatorio. (c Primeiramente, lembre que a região crítica (RC são os valores para á variável X que levam à rejeição da hipótese nula. Assim, considerando X como o número de mães submetidas ao programa que estiveram amamentando apôs 3 meses do parto, temos que RC = {X 17}. (d Assumindo X Bin (25; 0, 50 temos que o nivel de significancia α do teste é dado por α ( X 17 p = 0, 50 = 1 P ( X 16 p = 0, 50 = 1 0, 946 = 0, 054 (5, 4%. Portanto a chance de afirmarmos incorretamente que o programa é satisfatório é 5, 4%. Página 1 de 8

2 (e A probabilidade de um programa educativo que aumente a porcentagem para p = 0, 80 não ser detectado pelo criterio de decisão é dado por β ( X 16 p = 0, 80 = 0, 047 (4, 7%. Logo a chance de não detectar um programa satisfatorio para p = 0, 80 é 4,7%. (f O valor-p é dado por P ( X 19 p = 0, 50 = 1 P ( X 18 p = 0, 50 = 0, 0073 (0, 7% Fixando o nivel de significancia α obtido no item (d, temos que P < α e portanto há fortes evidencias para rechazar H. Exercício 2 Uma agência governamental está encarregada de fiscalizar a contaminação de um certo produto alimentício, através da análise de uma amostra dos pacotes desse produto. Uma porcentagem de contaminação de p = 0, 07 é considerada tolerável. Se a porcentagem de contaminação for maior que este valor o produtor deverá ser autuado. Uma amostra aleatória de n = 100 pacotes desse produto será examinada pela agência. (a Formule o problema como um problema de teste de hipóteses definindo as hipóteses H e A. (b Quais são os significados dos erros tipo I e tipo II? (c Qual é a região crítica escolhida supondo α = 0, 06? (d Qual a probabilidade, com o critério de decisão em (c, de um produto com nível de contaminação de p = 0, 12 não ser detectado pela agência? (e Vamos supor que dos n = 100 pacotes examinados 10 estavam contaminados. Qual o valor-p associado a este valor? Qual a decisão? Use aproximação da binomial pela normal para resolver (c, (d e (e. (a Denotando por p a porcentagem de pacotes contaminados, temos que as hipóteses de interesse são (b Os significados dos erros são H :p = 0, 07 A :p > 0, 07. Página 2 de 8

3 Erro Tipo I: Afirmar incorretamente que o produto debe ser autuado. Erro Tipo II: Não detectar que o produto deve ser autuado. (c Seja X o numero de pacotes contaminados na amostra. Assim, a região crítica é definida por RC = {X k} para algum k. Para determinar k, vamos supor que X Bin ( n; p. Logo, para n grande e considerando α = 0, 06 temos que P P Z P ( X k p = 0, 07 = 0, 06 k n p n p (1 p p = 0, 07 = 0, 06 Z k 100 0, , 07 (1 0, 07 = 0, 06 ( P Z k 7 = 0, 06 2, 55 ( 1 P Z < k 7 = 0, 06 2, 55 ( P Z < k 7 = 0, 94. 2, 55 Logo, k 7 2, 55 = 1, 96, ou seja k = 10, Assim,rejeitamos a hipótese nula se o número de pacotes contaminados for pelo menos 11. Ou seja RC = {X 11}. (d A probabilidade de um produto com nível de contaminação de p = 0, 12 não ser detectado pela agência é β ( X 10 p = 0, 12 Z 10 n p n p (1 p p = 0, 12 Z , , 12 (1 0, 12 Z (0, 88 Z = 1 P = 0, 11 (11%. 2 3 (0, 88 Z < 2 3 (0, 88 Página 3 de 8

4 (e O valor-p associado é P ( X 10 p = 0, 07 Z 10 n p p = 0, 07 n p (1 p Z , , 07 (1 0, 07 Z , 07 (0, 93 = 1 P Z 3 7 (0, 93 Z < 3 7 (0, 93 = 0, 12 (12%. Assim, fixando o nivel de significancia α do item (c, temos que P > α e por tanto não temos evidencias suficientes para rejeitar H. Exercício 3 Um fabricante de lâmpadas afirma que o tempo médio de vida do seu produto é de µ X = 400 horas com desvio padrão de σ X = 30 horas. Um orgão de defesa do consumidor suspeita que o tempo de vida médio do produto seja menor. Para testar a afirmação do fabricante, o orgão de fiscalização pretende avaliar o tempo de vida de uma amostra aleatória de n = 120 lâmpadas, e pedir ajustes ao fabricante se o tempo médio amostral for menor do que 395 horas. (a Formule o problema como um problema de teste de hipóteses definindo as hipóteses H e A. (b Quais são os significados dos erros tipo I e tipo II? (c Qual é a região crítica escolhida pelo orgão de fiscalização? (d Qual é o nível de significância correspondente à região crítica escolhida? (e Qual a probabilidade, com o critério de decisão, de um produto com tempo médio de vida µ X = 390 horas não ser detectado pelo orgão fiscalizador? (f Vamos supor para as n = 120 lâmpadas examinadas o tempo médio de duração foi de 397 horas. Qual o valor-p associado a este valor? Qual a decisão? Sejam X o tempo de vida das lâmpadas e µ X o tempo médio correspondente. Página 4 de 8

5 (a As hipóteses de interesse são: H : µ X = 400. A : µ X < 400. (b Os erros associados as hipóteses do item anterior são: Erro I: Afirmar incorretamente a suspeita do orgão de defesa do consumidor. Erro II: Não detetar a a suspeita do orgão de defesa do consumidor. (c Como o orgão de fiscalização decide pedir ajustes para o fabricante se para uma amostra aleatória de n = 120 lâmpadas, o tempo médio for menor do que 395 horas, isto é se X 395, então a região crítica deve ser da seguinte forma RC = { X k }, ou equivalentemente RC = em que µ X = 400, σ X = 30 e P(Z z c = α ( n X µx σ X z c, (d O nível de significância (α correspondente à região crítica escolhida pela orgão de fiscalização é α ( X 395 µx = 400 P Z 120 ( (Z 1, 83 (Z 1, 83 = 1 P(Z 1, 83 = 1 0, 9664 = 0, Portanto, o nível de significância é do 3.36%. (e Conforme o criterio de decisão, as lâmpadas cujo tempo de vida médio seja superior a 395 horas, não precisam ser ajustadas pelo fabricante. Logo, se um produto tem tempo médio de vida 390 horas segue que P ( X > 395 µx = 390 P Z > 120 ( (Z > 1.83 = 1 P(Z 1.83 = 1 0, 9664 = 0, Portanto, a probabilidade de que um produto com tempo médio de vida de 390 horas não seja detetado pelo orgão fiscalizador é aproximadamente de 3,36%. Página 5 de 8

6 (f Como n = 100 é grande, temos que P ( X 397 µx = ( P Z 30 (Z 1, 10 (Z 1, 10 = 1 P(Z < 1, 10 = 1 0, 8643 = 0, Como P = 0, 1357 podemos dizer que não houveram evidências suficentes na amostra para concluir que a suspeita do orgão de fiscalização esteja certa. Exercício 4 Sabe-se que o consumo mensal per capita de um determinado produto tem distribuição aproximadamente normal com desvio padrão de 2 kg. A diretoria de uma firma que fabrica esse produto decidiu que retiraria o produto da linha de produção se a média do consumo per capita for menor do que 8 kg. Caso contrário, continua a fabricá-lo. Foi realizada uma pesquisa de mercado, tomando-se uma amostra de 25 indivíduos, e verificou-se consumo per capita de 7, 2 kg. (a Formule o problema como um problema de teste de hipóteses definindo as hipóteses H e A. (b Quais são os significados dos erros tipo I e tipo II? (c Qual o valor-p associado ao valor amostral obtido? Qual a decisão? Denote por X o consumo mensal per capita de um determinado produto e seja µ X a média do comsumo per capita desse produto. Sabemos que X N ( µ X, σ 2 X = 22 (a Dada a condição da diretoria da firma que fabrica o produto, as hipóteses de interesse fican dada por H : µ X = 8. A : µ X < 8. (b Ao testar as hipóteses em (a podem-se comenter os seguintes erros: Erro I: Retirar o produto da linha indevidamente. Erro II: Não detetar que o produto deve ser retirado da linha. Página 6 de 8

7 (c O valor-p associado a X = 7, 2 é P ( X 7, 2 µx = 8 ( 25 (7, 2 8 P Z 2 (Z 2 (Z 2 = 1 P(Z < 2 = 1 0, 9772 = 0, Como P = 0, 0228 podemos dizer que há fortes evidências a amostra contra a hipóteses nula, portanto podemos afirmar que a diretoria da firma que fabrica o produto vai parar de produzir-o. Exercício 5 Um restaurante por kilo registra o faturameto médio bruto de R$3 mil por dia. Para saber se uma crise econômica tem afetado o faturamento diário, o departamento financeiro encomendou um estudo que registrou o faturamento de 8 dias. Os valores registrados foram (em mil reais: R$3,050; R$3,212; R$2,880; R$3,121; R$3,205; R$3,018; R$2,980 e R$3,188. Supor que o faturamento diário tem distribuição aproximadamente normal. (a Formule este problema como um problema de teste de hipóteses. (b Especifique os erros de tipo I e de tipo II. (c Obter a média amostral e o desvio padrão amostral. (d Qual o valor-p da média amostral obtida em (c? Seja X o faturamento diário do restaurante, µ X e σ 2 o faturamento médio e desvio padrão correspondente. X Temos que X N ( µ X, σ 2 X (a O interesse é saber se a crise econômica têm afetado ou não o faturamento diário do restaurante, assim as hipóteses estatística ficam dadas por H : µ X = A : µ X < (b Os erros correspondentes ao testar as hipóteses são Erro I: Afirmar incorretamente que a crise econômica têm afetado o faturamento médio bruto. Página 7 de 8

8 Erro II: Não detetar que a crise econômica tem afetado o faturamento médio bruto. (c Média amostral X = 1 n n i=1 X i = 1 8 ( = 1 (24654 = 3081, Variância amostral S 2 X = 1 n 1 n i=1 ( Xi X 2 1 { = ( , ( , 75 2} = 14444, Assim, o desvio padrão amostral é S X = 14444, 79 = 120, (d O valor-p de X = 3081, 75 é P ( X 3081, 75 µx = 3000 ( 8 (3081, t 7 120, 1865 (t 7 1, 92 = 0, Logo, P = 0, Portanto, podemos concluir que não há evidências contra a hipóteses nula. Página 8 de 8