Professora Ana Hermínia Andrade. Período

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1 Teste de Hipóteses Professora Ana Hermínia Andrade Universidade Federal do Amazonas Faculdade de Estudos Sociais Departamento de Economia e Análise Período

2 Teste de Hipóteses O Teste de Hipóteses consiste em uma regra de decisão elaborada para rejeitar (ou não) uma afirmação (hipótese) feita a respeito de um parâmetro populacional desconhecido, com base em informações colhidas de uma amostra aleatória. Exemplo Verificar se o salário médio de certa categoria profissional no Brasil é igual a R$1.500, 00. Testar se 40% dos eleitores votarão em certo candidato nas próximas eleições. Testar se um medicamento é mais eficaz que outro.

3 Conceitos fundamentais Hipótese Nula (H 0 ): É a hipótese a ser testada. Hipótese Alternativa (H 1 ): É a hipótese a ser confrontada com H 0. O teste será feito de tal forma que deverá sempre concluir na rejeição (ou não) de H 0. Como estamos tomando uma decisão com base em informações de uma amostra, estaremos sujeitos a cometer dois tipos de erros.

4 Conceitos fundamentais Erro do tipo I: Rejeitarmos H 0 quando H 0 é verdadeira. α = P(erro do tipo I) = P(rejeitar H 0 H 0 é verdadeira) Erro do tipo II: Não rejeitarmos H 0 quando H 0 é falsa. β = P(erro do tipo II) = P(não rejeitar H 0 H 0 é falsa) Obs: α é denominado de nível de significância do teste.

5 Conceitos fundamentais Nossas decisões em um teste de hipóteses podem ser resumidas na seguinte tabela:

6 Conceitos fundamentais Estatística do teste: É a estatística utilizada para julgar H 0. Região crítica do teste (RC): É formada pelo conjunto de valores que levam a rejeição de H 0. Ela depende do tipo de hipótese alternativa, do nivel de significância (α) adotado, e da distribuição de probabilidade da estatística do teste.

7 Etapas para a elaboração de um Teste de Hipóteses 1 Definir as hipóteses nula (H 0 ) e alternativa (H 1 ); 2 Fixar o nível de significância (α); 3 Determinar a estatística do teste; 4 Determinar a região crítica do teste; 5 Calcular o valor da estatística do teste (com base numa amostra da população de interesse); 6 Se o valor calculado no passo 5 pertencer a RC, rejeitar H 0, caso contrário, não rejeitar H 0 ; 7 Conclusão do teste.

8 Teste de Hipóteses para a média populacional Caso 1: σ 2 conhecida. 1. Definição das hipóteses: H 0 : µ = µ 0 H 0 : µ = µ 0 H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 ou H 1 : µ < µ 0 ou H 1 : µ > µ 0 2. Fixar o nível de significância α; 3. Definir a estatística de teste: Z = X µ σ/ N (0, 1) n

9 Teste de Hipóteses para a média populacional 4. Definir a região crítica do teste (RC):

10 Teste de Hipóteses para a média populacional 5. Com base nos valores observados da amostra, calcular o valor da Estatística de teste Z : Z c = X µ 0 σ/ n 6. Se Z c RC rejeitar H 0 (aceitar H 1 ). Se Z c / RC não rejeitar H 0 (não aceitar H 1 ). 7. Concluir sobre a decisão tomada no passo 6.

11 Exemplo Os sistemas de escapamento de uma aeronave funcionam devido a propelente sólido. A taxa de queima desse propelente é uma característica importante do produto. As especificações requerem que a taxa média de queima tem de ser 50 centímetros por segundo. Sabemos que a taxa de queima é normalmente distribuída com desvio padrão de σ = 2 centímetros por segundo. O experimentalista seleciona uma amostra aleatória de tamanho 25 e obtém uma taxa média amostral igual a 51, 3 centímetros por segundo. Que conclusões poderiam ser tiradas ao nível de significância, de 0, 05?

12 Resolução: Teste para média com σ 2 conhecida 1. As hipóteses que queremos testar são: H 0 : µ = 50 contra H 1 : µ Fixamos α = 0, 05; 3. A estatística de teste é: Z = X µ σ/ N (0, 1) n 4. A região crítica é do tipo: onde z = z α/2 = z 0,025 = 1, 96 (tabela da distribuição normal padrão).

13 Resolução 5. A partir dos dados amostrais temos que: Z c = X µ 0 σ/ n = 51, / Temos que Z c RC pois 3, 25 > 1, 96, portanto, rejeitamos a hipótese nula. 7. Baseados nos dados amostrais, podemos concluir, ao nível de 5% de significância, que a taxa média de queima difere de 50 centímetros por segundo.

14 Teste de Hipóteses para a média populacional Caso 2: σ 2 desconhecida. 1. Definição das hipóteses: H 0 : µ = µ 0 H 0 : µ = µ 0 H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 ou H 1 : µ < µ 0 ou H 1 : µ > µ 0 2. Fixar o nível de significância α; 3. Definir a estatística de teste: T = X µ S/ n t (n 1)

15 Teste de Hipóteses para a média populacional 4. Definir a região crítica do teste (RC):

16 Teste de Hipóteses para a média populacional 5. Com base nos valores observados da amostra, calcular o valor da Estatística de teste Z : T c = X µ 0 S/ n 6. Se T c RC rejeitar H 0 (aceitar H 1 ). Se T c / RC não rejeitar H 0 (não aceitar H 1 ). 7. Concluir sobre a decisão tomada no passo 6. Obs: se σ 2 for desconhecida, mas o tamanho da amostra for grande, pode-se definir a região crítica através da distribuição Normal padrão.

17 Exemplo Suponha que, no exemplo anterior, o valor do desvio padrão fosse desconhecido e o experimentalista o tivesse estimado, a partir da amostra como S = 2, 3 centímetros por segundo. Ao nível de 5% de significância, que conclusão obteríamos acerca da queima média do propelente?

18 Resolução: Teste para média com σ 2 desconhecida 1. As hipóteses que queremos testar são: 2. Fixamos α = 0, 05; H 0 : µ = 50 contra H 1 : µ A estatística de teste é: T = X µ S/ n t (n 1) 4. A região crítica é do tipo: onde t = t n 1;α/2 = t 24;0,025 = 2, 064 (tabela da distribuição t-student).

19 Resolução: continuação 5. A partir dos dados amostrais temos que: T c = X µ 0 S/ n = 51, , 3/ Temos que T c RC pois 2, 83 > 2, 064, portanto, rejeitamos a hipótese nula. 7. Baseados nos dados amostrais, podemos concluir, ao nível de 5% de significância, que a taxa média de queima difere de 50 centímetros por segundo.

20 Teste de Hipóteses para a proporção populacional 1. Definição das hipóteses: H 0 : p = p 0 H 0 : p = p 0 H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 ou H 1 : p < p 0 ou H 1 : p > p 0 2. Fixar o nível de significância α; 3. Definir a estatística de teste: Z = ˆp p 0 p 0 (1 p 0 ) n N (0, 1)

21 Teste de Hipóteses para a proporção populacional 4. Definir a região crítica do teste (RC):

22 Teste de Hipóteses para a proporção populacional 5. Com base nos valores observados da amostra, calcular o valor da Estatística de teste Z: Z c = ˆp p 0 p 0 (1 p 0 ) n 6. Se Z c RC rejeitar H 0 (aceitar H 1 ). Se Z c / RC não rejeitar H 0 (não aceitar H 1 ). 7. Concluir sobre a decisão tomada no passo 6.

23 Exemplo Dentre 1655 pacientes tratados com um medicamento A, 2, 1% tiveram reações adversas. A empresa que fabrica o medicamento afirma que apenas 1, 2% dos usuários têm algum tipo de reação adversa. Teste, ao nível de significância de 1%, a afirmativa da empresa pode ser considerada verdadeira.

24 Resolução: Teste para porporção 1. As hipóteses que queremos testar são: H 0 : p = 0, 012 contra H 1 : p 0, Fixamos α = 0, 01; 3. A estatística de teste é: Z = ˆp p 0 p0 (1 p 0 ) n 4. A região crítica é do tipo: N (0, 1) onde z = z α = z 0,005 = 2, 33 (tabela da distribuição normal padrão).

25 Resolução 5. A partir dos dados amostrais temos que: Z c = ˆp p 0 p 0 (1 p 0 ) n = 0, 021 0, 012 0,012(1 0,012) 1655 = 2, Temos que Z c RC, pois 2, 57 > 2, 33 portanto, rejeitamos a hipótese nula. 7. Ao nível de significância de 1%, a amostra fornece evidências estatísticas suficientes de que o percentual de usuários do medicamento que têm alguma reação adversa é superior a 1, 2%

26 Valor p Valor p: é a probabilidade de se obter um valor da estatística de teste que seja, no mínimo, tão extremo quanto aquele que representa os dados amostrais, supondo que a hipótese nula seja verdadeira. A hipótese nula deve ser rejeitada se o valor p for muito pequeno. Na prática, adota-se que se o valor p for menor ou igual ao nível de significância do teste, então devemos rejeitar a hipótese nula.