Testes de Hipóteses: Média e proporção
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1 Testes de Hipóteses: Média e proporção Lucas Santana da Cunha lscunha@uel.br 12 de setembro de 2018 Londrina 1 / 27
2 Viu-se a construção de intervalos de confiança e que eles podem ser usados para tirar conclusões a respeito de parâmetros da população; Entretanto, existem situações em que é necessário decidir se uma determinada hipótese específica é falsa ou não. Para isso, utiliza-se os chamados testes de hipóteses; Definição Hipótese estatística é uma suposição ou afirmação relativa a uma ou mais populações, baseada nos parâmetros populacionais (µ ou p), que pode ser falsa ou não falsa. 2 / 27
3 Exemplos Alguns exemplos de hipóteses estatísticas são: a) A altura média da população brasileira é superior a 1,65 m; c) A proporção de paulistas com aplicações financeiras é inferior a 12%; d) O tempo médio para a realização de um teste é de 80 min. e) A média do consumo de gasolina é a mesma para duas marcas diferentes de carros; 3 / 27
4 A idéia básica é que a partir de uma amostra da(s) população(ões) será estabelecida uma regra de decisão, segundo a qual a hipótese proposta será rejeitada ou não. Essa regra é chamada de teste. Geralmente, a hipótese proposta que será rejeitada ou não pela regra de decisão, chamamos de hipótese nula, que é denotada por H 0. Qualquer outra hipótese diferente de H 0 será chamada de hipótese alternativa e denotada por H 1. 4 / 27
5 Tipos de Hipóteses A hipótese nula é expressa sempre pela igualdade (nulidade). Assim, as possíveis hipóteses são: 1 H 0 : θ = θ 0 vs H 1 : θ θ 0 (para testes bilaterais); 2 H 0 : θ = θ 0 vs H 1 : θ > θ 0 (para testes unilaterais à direita); 3 H 0 : θ = θ 0 vs H 1 : θ < θ 0 (para testes unilaterais à esquerda). 5 / 27
6 Exemplos Defina as hipóteses H 0 e H 1 para os itens seguintes: a) A altura média da população brasileira é superior a 1,65 m; c) A proporção de paulistas com aplicações financeiras é inferior a 12%; d) O tempo médio para a realização de um teste é de 80 min. e) A média do consumo de gasolina é a mesma para duas marcas diferentes de carros; 6 / 27
7 Tipos de erros Ao testarmos uma hipótese chegamos a uma decisão (de rejeitar ou não H 0 ) que pode ser correta ou incorreta. Ao concluirmos a favor, ou contra H 0, estamos sujeitos a dois tipos de erros. Nossa decisão Situação Real H 0 verdadeira H 0 falsa rejeitar H 0 Erro tipo I Decisão correta não rejeitar H 0 Decisão correta Erro tipo II α = P(Erro do tipo I) = P(rejeitar H 0 dado H 0 verdadeira); β = P(Erro do tipo II) = P(não rejeitar H 0 dado H 0 falsa). 7 / 27
8 Construção de um teste de hipóteses 1 Formulação da hipótese nula H 0 (a ser testada) e da hipótese alternativa H 1 ; 2 Use a teoria estatística e as informações disponíveis para decidir qual estatística (estimador) será usada para testar a hipótese H 0 ; 3 Fixe a probabilidade α de cometer o erro tipo I e use este valor para construir a região crítica (regra de decisão); 4 Use as observações da amostra para calcular o valor da estatística do teste; 5 Se o valor da estatística calculado com os dados da amostra pertencer à região crítica, rejeite H 0, caso contrário, não rejeite H 0. 8 / 27
9 Média: Variância conhecida Estatística do Teste Se temos um teste para a média em que a variância é conhecida, então, a estatística do teste é dada por: Z = Y µ 0 σ n N(0, 1) 9 / 27
10 Teste bilateral Se H 0 : µ = µ 0 vs H 1 : µ µ 0, então a região crítica é: 10 / 27
11 Teste unilateral à esquerda Se H 0 : µ = µ 0 vs H 1 : µ < µ 0, então 11 / 27
12 Teste unilateral à direita Se H 0 : µ = µ 0 vs H 1 : µ > µ 0, então 12 / 27
13 Exemplo 1 Um fabricante informa que a duração média da vida de um equipamento é 500 horas com desvio padrão de 5 horas. Foram amostradas 100 desses equipamentos, obtendo-se média de 498 horas. Há evidências suficientes para rejeitar a afirmação do vendedor, com um nível de confiança de 95%? 13 / 27
14 Exemplo 2 Num estudo de custos de seguro contra colisão de automóveis, uma amostra de n = 35 consertos de colisões frontais contra um muro a uma velocidade específica teve um custo médio de 1438,00 unidades monetárias. Sabendo σ = 269, 00 unidades monetárias, pode-se afirmar que o custo médio verdadeiro é inferior a 1500,00 unidades monetárias, a um nível de significância de 5%? 14 / 27
15 Média: Variância desconhecida Estatística do Teste Se temos um teste para a média em que a variância é desconhecida, então, a estatística do teste é dada por: T = Y µ 0 s n t (n 1,α) 15 / 27
16 Teste bilateral Se H 0 : µ = µ 0 vs H 1 : µ µ 0, então 16 / 27
17 Teste unilateral à esquerda Se H 0 : µ = µ 0 vs H 1 : µ < µ 0, então 17 / 27
18 Teste unilateral à direita Se H 0 : µ = µ 0 vs H 1 : µ > µ 0, então 18 / 27
19 Exemplo 3 O gerente de um banco presume que a renda média anual de seus clientes é no máximo R$ 38000,00. Uma amostra aleatória de 60 clientes acusou uma média de R$ 39500,00 e um desvio padrão de R$ 3000,00. Considerando um nível de significância de 2,5%, podese dizer que a renda média anual dos clientes desse gerente é superior a R$ 38000,00? 19 / 27
20 Proporção Estatística do Teste Se temos um teste para a proporção, p, então, a estatística do teste é dada por: Z = ˆP p p(1 p) n N(0, 1). 20 / 27
21 Teste bilateral Se H 0 : p = p 0 vs H 1 : p p 0, então 21 / 27
22 Teste unilateral à esquerda Se H 0 : p = p 0 vs H 1 : p < p 0, então 22 / 27
23 Teste unilateral à direita Se H 0 : p = p 0 vs H 1 : p > p 0, então 23 / 27
24 Exemplo 1 Uma estação de televisão afirma que 60% dos telespectadores estavam ligados no seu programa especial da última segunda-feira. Um canal concorrente contestando tal afirmação decide coletar uma amostra com 200 famílias e perguntar se o programa escolhido pela família era o programa do canal concorrente. Na amostra foram registradas 104 respostas afirmativas. O que você conclui ao nível de 5% de significância? 24 / 27
25 Exercício 1 Numa indústria de autopeças, sabe-se que o nível de dureza de um produto feito a base de cerâmica tem variabilidade σ 2 = 0, 49. Uma amostra de 16 peças foram testadas e o resultado é apresentado abaixo: 18,1 19,0 18,8 18,5 18,1 18,8 18,1 18,0 18,5 19,8 17,8 19,1 18,0 19,2 19,8 19,2 Com um nível de significância de 10%, pede-se: a) pode-se afirmar que a média do nível de dureza é superior a 18,4? b) testar a hipótese bicaudal de que a média é igual a 18,4. 25 / 27
26 Exercício 2 Em fevereiro de 2016, o custo médio para um voo doméstico com passagens de ida e volta com desconto foi de R$ 290,00. Uma amostra aleatória dos preços de 15 passagens de ida e volta com desconto durante o mês de março forneceu os seguintes valores: Usando α = 5% de significância, pode-se dizer que o preço médio da passagem de ida e volta, com desconto, diminui em março, em relação a fevereiro? 26 / 27
27 Exercício 3 Um fabricante de creme dental alega que no máximo 3% dos seus produtos apresentam menos de 100 gramas por embalagem. Uma amostra aleatória com 300 produtos revelou que 14 possuíam menos de 100 gramas. Assumindo o nível de significância de 1% é possível dizer que o fabricante está mentindo? 27 / 27
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