Prof. Lorí Viali, Dr.

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1 Prof. Lorí Viali, Dr.

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3 Dependentes Teste t para amostras emparelhadas Variâncias Teste z Conhecidas Independentes Variâncias Desconhecidas Supostas iguais Supostas diferentes

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5 Diferença entre duas médias (µ - µ ) 1 Diferença entre duas proporções (π - π ) 1 Igualdade entre duas variâncias X Y ( σ σ )

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7 Neste caso a variável vel teste é: Z X Y σ X µ Y X Y X σ Y X + σ Y n m

8 Z > z c (teste unilateral/unicaudal à direita) Z < z c (teste unilateral/unicaudal à esquerda) Z > z c (teste bilateral/bicaudal).

9 Onde z é tal que: c Φ(z c ) 1 α (teste unilateral/unicaudal à direita) Φ(z c ) α (teste unilateral/unicaudal à esquerda) Φ(z c ) α/ ou Φ(z c ) 1 α/ (teste bilateral/bicaudal).

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11 Uma grande empresa quer comprar peças de dois fornecedores diferentes. O fornecedor A alega que a durabilidade é de 1000 horas com desvio de 10 horas, enquanto que o fornecedor B diz que a duração média é de 1050 horas com desvio padrão de 140 horas.

12 Para testar se a durabilidade de B é realmente maior, duas amostras de tamanho n m 64, de cada um dos fornecedores, foram obtidas. A duração média da amostra A foi de 995 horas e a B foi de 105. Qual a conclusão a 5% de significância?

13 Dados: Hipóteses: H 0 : µ 1 µ H 0 : µ 1 < µ n m 64 σ 1 10; σ 140 X 995 e Y 105 α 5% Trata-se de um teste unilateral à esquerda com σ 1 e σ conhecidos.

14 A variável vel teste é: Z X Y σ X µ Y X Y X σ Y X + σ Y Então: n m Z X σ X n Y + σ Y m ,30

15 O valor crítico z c é tal que: Φ(z c ) α 0,05 5%. Então z c Φ 1 (0,05) -1,645. Assim RC (- ; -1,645] DECISÃO e CONCLUSÃO: Como z -1,30 RC ou -1,30 > -1,645, Aceito H 0, isto não, isto é,, a 5% de significância não se pode afirmar que a média m de A é menor que a média m de B

16 α 5% 1,30 RC ( ; 1,645;] Região de Não Rejei Região de Não Rejeição

17 OPÇÃO: Trabalhar com a significância do resultado obtido (-1,30), ( isto é,, o valor-p. Para isto, deve-se calcular P(Z < -1,30), isto é,, p P(Z < -1,30) Φ(-1,30) 9,68%. Como a significância do resultado (9,68% 9,68%) é maior que a significância do teste (5% 5%) ) não é possível rejeitar a hipótese nula.

18 Neste caso a variável vel teste é: t υ X Y ˆσ X µ Y X Y X s Y n m

19 Onde s é dado por: s ( n 1 ) s + ( m 1 ) s Y n X + m e v é dado por: n + m -

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21 Um relatório da defesa do consumidor mostrou que um teste com oito pneus da marca A apresentaram uma vida média de km com um desvio padrão de 3500 km e que doze de uma marca concorrente B, testados nas mesmas condições, tiveram uma durabilidade média de km com variabilidade de 400 km.

22 Supondo que as variâncias populacionais sejam as mesmas e admitindo uma significância de 5%, verifique se é possível afirmar que as duas marcas diferem quanto a durabilidade média. E se a significância fosse 1% qual seria a conclusão?

23 Dados: Hipóteses: H 0 : µ 1 µ H 0 : µ 1 µ n 8; m 1 s A 3500; s B 400 X 37500; Y α 5% ; σ A σ B Trata-se de um teste t bilateral com σ 1 e σ supostamente iguais.

24 A variável vel teste é: t n+ m Onde: X Y σˆ µ X Y X Y X s. Y n m s (n 1)S A n + + (m m 1)S B

25 s ,9651 Então: t 18 X S. Y n m , ,19

26 O valor crítico t c é tal que: P( Τ 18 > t c ) α 0,05 5%. Então t c T 1 (0,9750),101. Assim RC (- ; -,101] [,101; + ) DECISÃO e CONCLUSÃO: Como t -,19 RC ou -,19 < -,101, Rejeito H 0, isto é,, a 5% de significância posso afirmar que a vida média m das duas marcas difere.

27 ν n + m t ν t18,19 α,5% Região de Não Rejeição α,5% RC ( ;,101] U[,101; + )

28 O valor crítico t c é tal que: P( Τ 18 > t c ) α 0,01 1%. Então t c T 1 (0,9950),878. Assim RC (- ; -,878],878] [,878; + ) DECISÃO e CONCLUSÃO: Como t -,19 RC ou -,19 > -,878, Aceito H 0, isto, isto é,, a 1% de significância não posso afirmar que a vida média m das duas marcas difere.

29 ν n + m t ν t18,19 α 0,5% Região de Não Rejeição α 0,5% RC ( ;,878] U[,878; + )

30 Neste caso a variável vel teste é: t υ X Y ˆσ X µ Y X Y X Y s X + s Y n m

31 Onde v é dado por: υ S n n X S n 1 X + + S m Y S m m Y 1

32 t v > t c (teste unilateral/unicaudal à direita) t v < t c (teste unilateral/unicaudal à esquerda) t v > t c (teste bilateral/bicaudal).

33 Onde t é tal que: c P(t v < t c ) 1 α (teste unilateral/unicaudal à direita) P(t v < t c ) α (teste unilateral/unicaudal à esquerda) P(t v < t c ) α/ ou P(t v > t c ) α/ (teste bilateral/bicaudal).

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35 Uma empresa fabrica transistores do tipo A e do tipo B. A marca A, mais cara, é supostamente pelo menos 60 horas mais durável do que a marca B. Um usuário quer saber se vale a pena pagar mais pela marca A e resolve testar se, de fato, ela é mais durável.

36 Testa 0 itens de A encontrando uma vida média de 1000 horas com desvio de 60 horas, enquanto que 0 itens da marca B apresentam uma vida média de 910 horas com desvio de 40 horas. Qual a conclusão a 5% de significância?

37 Dados: Hipóteses: H 0 : µ 1 - µ 60 H 0 : µ 1 - µ > 60 n m 0 s A 60; s B 40 X 1000; Y 910 α 5% ; σ A σ B Trata-se de um teste t unilateral à direita com σ 1 e σ supostamente desiguais.

38 A variável vel teste é: t υ X Onde: υ Y ˆσ X µ Y X Y Y X s X n ( ) n ( m ) S n X S n 1 X + + Y S m S Y m 1 + s Y m

39 t υ X s X n Y + s Y m ,861 E: υ

40 O valor crítico t c é tal que: P(Τ 33 > t c ) α 0,05 5%. Então t c T 1 (0,95) 1,69. Assim RC [ 1,69; + ) DECISÃO e CONCLUSÃO: Como t 1,861 RC ou 1,861 > 1,69, Rejeito H 0, isto, isto é,, a 5% de significância posso afirmar que a vida média m da marca é pelo menos 60 horas maior que a marca B.

41 υ tν t33 α 5% Região de Não Rejeição 1,861 RC [1,69 ; )

42 H 0 : π 1 π H 1 : π 1 π > (teste unilateral/unicaudal à direita) π 1 π < (teste unilateral/unicaudal à esquerda) π 1 π (teste bilateral/bicaudal).

43 Neste caso a variável vel teste é: Z P 1 P µ P1 P σˆ P1 P P 1 P P 1 ( 1 P 1 ) + P ( 1 P ) n m

44 Z > z c (teste unilateral/unicaudal à direita) Z < z c (teste unilateral/unicaudal à esquerda) Z > z c (teste bilateral/bicaudal).

45 Onde z é tal que: c Φ(z c ) 1 α (teste unilateral/unicaudal à direita) Φ(z c ) α (teste unilateral/unicaudal à esquerda) Φ(z c ) α/ ou Φ(z c ) 1 - α/ (teste bilateral/bicaudal).

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47 A reitoria de uma grande universidade entrevistou 600 alunos, 350 mulheres e 50 homens, para colher a opinião sobre a troca do sistema de avaliação da universidade. Da amostra 140 mulheres e 115 homens estavam a favor. Teste a 5% se existe diferença significativa de opinião entre homens e mulheres.

48 Dados: Hipóteses: n 350; m 50 p 1 140/350 40% H 0 : π 1 π p 115/50 46% H 0 : π 1 π α 5% ; Trata-se de um teste bilateral para a proporção.

49 A variável vel teste é: Z P 1 ( P 1 1 P n P 1 ) P + ( 1 m P ) 0,40( 0,40 0, ,40 ) 350 0,46( + 1 0,46 ) 50 0,06 0,0718,1

50 O valor crítico z c é tal que: P( Ζ > z c ) α 0,05 5%. Então z c Φ 1 (0,05) -1,96. Assim RC (- ; -1,96] 1,96] [ 1,96; + ) DECISÃO e CONCLUSÃO: Como z -,1 RC ou -,1 < -1,96, Rejeito H 0, isto, isto é,, a 5% de significância posso afirmar que as opiniões diferem entre homens e mulheres.

51 α,1,5% Região de Não Rejeição α,5% RC ( ; 1,96] U[1,96; + )

52 σ 1 H 0 : σ H 1 : σ 1 σ 1 σ > (teste unilateral/unicaudal à direita) < (teste unilateral/unicaudal à esquerda) σ σ 1 σ (teste bilateral/bicaudal).

53 Neste caso a variável vel teste é: F n 1, m 1 S S Y X

54 F n -1,m-1 > f c (teste unilateral/unicaudal à direita) F n -1,m-1 < f c (teste unilateral/unicaudal à esquerda) Fn -1,m-1 > f ou Fn-1,m-1 < c f c (teste bilateral/bicaudal).

55 Onde F n- 1;m P ( F 1;m-1 n 1, m -1 > é tal que: F c ) α (teste unilateral/unicaudal à direita) P ( F n 1, m -1 < F c ) α (teste unilateral/unicaudal à esquerda) P(F n 1, m-1 > Fc ) α/ ou P( Fn 1, m-1 < F c ) α/ (teste bilateral/bicaudal).

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57 O desvio padrão de uma dimensão particular de um componente de metal é satisfatório para a montagem do componente. Um novo fornecedor está sendo considerado e ele será preferível se o desvio padrão é menor do que o do atual fornecedor. Uma amostra de 100 itens de cada fornecedor é obtido.

58 Fornecedor atual: s 1 0,0058 Novo fornecedor: s 0,0041 A empresa deve trocar de fornecedor se for considerado uma significância de 5%?

59 Dados: Hipóteses: H 0 : σ 1 σ H 0 : σ 1 > σ n m 100 s 1 0,0058 s 0,0041 α 5% Trata-se de um teste unilateral à direita para a igualdade de variâncias.

60 A variável vel teste é: F S S 1 Que apresenta uma distribuição F com n 1 g.l. no numerador e m 1 g.l. no denominador. Então: f s s 1 0,0058 0,0041 1,41

61 O valor crítico f c é tal que: P( F > f c ) α 0,05 5%. Então f c F 1 (0,05) 1,39. Assim RC [ 1,39; + ) DECISÃO e CONCLUSÃO: Como f 1,41 RC ou 1,41 < 1,39, Rejeito H 0, isto, isto é,, a 5% de significância posso afirmar que a variância do fornecedor atual é maior do que a do novo fornecedor.

62 F -1;m-1 F99; 99 n α 5% Região de Não Rejeição RC [ 1,39 ; ) 1,41

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64 H 0 : µ D H 1 : µ D > (teste unilateral/unicaudal à direita) µ D < (teste unilateral/unicaudal à esquerda) µ D (teste bilateral/bicaudal).

65 Neste caso a variável vel teste é: t υ D µ σˆ D D D S D n

66 Onde : d d n i s ( d i d n 1 ) i d n d n 1 e v é dado por: n 1 1 m - 1

67 t n-1 > t c (teste unilateral/unicaudal à direita) t n-1 < t c (teste unilateral/unicaudal à esquerda) t n-1 > t c (teste bilateral/bicaudal).

68 Onde t é tal que: c P(t n-1 < t c ) 1 α (teste unilateral/unicaudal à direita) P(t n-1 < t c ) α (teste unilateral/unicaudal à esquerda) P(t n-1 < t c ) α/ ou P(t n-1 > t c ) α/ (teste bilateral/bicaudal)

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70 Um laboratório possui dois equipamentos de precisão. O diretor suspeita que existe uma pequena diferença de calibração entre os dois (ele não sabe em qual deles) de modo que um tende a dar leituras um pouco maiores do que o outro.

71 Ele propõe testar os dois aparelhos através da leitura de 10 medidas (tabela na próxima lâmina) em cada um dos aparelhos. Faça o teste adequado a uma significância de 5%.

72 Aparelho A 1, 1,1 10,55 13,33 11,4 10,30 1,3 13,7 11,93 1,50 Aparelho B 1,5 1, 10,57 13,3 11,47 10,30 1,36 13,9 11,91 1,61

73 Hipóteses: H 0 : µ D 0 Dados: n m 10 α 5% H 1 : µ D 0 Uma vez que as amostras não são independentes, trata-se do teste t para amostras emparelhadas.

74 A variável vel teste é: Onde: t n 1 D µ ˆσ D D D SD n d d n i s ( d d i n 1 ) i d n d n 1

75 A 1, 1,1 10,55 B 1,5 1, 10,57 d i 0,30 0,10 0,0 d i 0,0900 0,0100 0, ,33 13,31-0,0 0, ,4 10,30 1,3 11,44 10,30 1,36 0,0 0,00 0,04 0,0004 0,0000 0, ,7 11,93 13,9 11,90 0,0-0,03 0,0004 0,0009 1,50 1,61 0,11 0, ,56 0,116

76 Tem-se: d d n i 0, ,0560 s i d n d n 1 0, , ,0971 A variável vel teste é: D 0, , tn 1 SD 0,0971 0,0971 n 10 1,84

77 O valor crítico z c é tal que: P( T > t c ) α 0,05 5%. Então t c T 1 (0,05),6. Assim RC [,6; + ] DECISÃO e CONCLUSÃO: Como t 1,84 RC ou 1,84 <,6, Aceito H 0, isto não, isto é,, a 5% de significância não se pode afirmar que as leituras são diferentes.

78 tν t9 α 5% Região de Não Rejeição 1,84 RC [,6 ; )