X e Y independentes. n + 1 m

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1 DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA / CCEN / UFPA Disciplina: Inferência I Prof: Regina Tavares 5.0. TESTE DE HIPÓTESES PARA DUAS POPULAÇÕES Duas Populações Normais independentes : X, X 2,, X n uma a.a. de X N(µ, σ 2 ) Y, Y 2,, Y m uma a.a. de Y N(µ 2, σ 2 2) X e Y independentes Teste para Comparação das médias : H 0 : µ = µ 2 CASO : Mesma variância, conhecida. (σ 2 = σ 2 2 = σ 2 ) Estatística para o teste: Z = X Y (µ µ 2 ) σ N(0, ) Exemplo : Duas técnicas de venda são aplicadas por dois grupos de vendedores: a técnica A, por 2 vendedores, e a técnica B, por 5 vendedores. Espera-se que a técnica B produza melhores resultados. Suponha que as vendas para as duas técnicas seguem uma distribuição Normal, com média desconhecida e variância comum igual a 50. Com base nos dados apresentados na Tabela, teste ao nível de 5% se há diferenças significativas entre as vendas resultantes das duas técnicas. Tabela Dados para duas técnicas de vendas Dados Vendas Técnica A Técnica B Média Variância Vendedores

2 Passo : H 0 : µ A = µ B contra H : µ A < µ B Passo 2: Z = X A X B (µ A µ B ) σ N(0, ) Passo 3: Sob H 0, temos Z = X A X B 50 N(0, ) RC = {Z R : Z < z c }, com 0, 05 = P (Z < z c Z N(0, )) Assim, temos z c =, 64. E a regra de decisão é dada por Rejeitar H 0 se Z <, 64. Passo 4: O valor observado da estatística é z 0 = = 2, 92 Passo 5: Como o valor observado de Z pertence à RC, rejeitamos H 0, e concluímos que há evidências de que a técnica B é melhor que a técnica A. CASO 2 : Mesma variância, desconhecida. Estatística para o teste: (podíamos construir um I.C. para a diferença µ A µ B!!!) S p t n+m 2, onde S 2 p = (n )S2 A + (m )S2 B n + m 2 Este teste é conhecido como o teste t para duas amostras!!! Exemplo 2: Suponha que no exemplo anterior as variâncias populacionais fossem iguais, mas seu valor comum σ 2 desconhecido. Repita o teste anterior. Passo : H 0 : µ A = µ B contra H : µ A < µ B Passo 2: S p t 25 Passo 3: Sob H 0, temos T = X A X B S p t 25 78

3 RC = {T R : T < t c }, com 0, 05 = P (T < t c T t 25 ) Assim, temos t c =, 708. E a regra de decisão é dada por Rejeitar H 0 se T <, 708. Passo 4: S 2 p = O valor observado da estatística é = 64 t 0 = = 2, 56 Passo 5: Como o valor observado de Z pertence à RC, rejeitamos H 0, e concluímos que há evidências de que a técnica B é melhor que a técnica A. CASO 3 : Variâncias desiguais e desconhecidas. Pode-se provar que a estatística S 2 An + S2 Bm, sob H 0, tem uma distribuição aproximadamente t-student com graus de liberdade, dados aproximadamente por com x = s 2 A /n e y = s2 B /m. v = (x + y) 2 x 2 /(n ) + y 2 /(m ), Este teste é conhecido como o Problema de Behrens-Fisher!!! Exemplo 3: Queremos testar as resistências de dois tipos de vigas de aço, A e B. Tomando-se n = 5 vigas do tipo A e m = 20 vigas do tipo B, obtemos os valores na Tabela 2. Admita que as variâncias da resistência para os dois tipos de viga não podem ser consideradas iguais. Compare as resistências médias dos dois tipos de viga ao nível de 5%. Tabela 2 Dados para os dois tipos de vigas de aço Tipo Média Variância A 70,5 8,6 B 84,3 6,5 Passo : H 0 : µ A = µ B contra H : µ A µ B 79

4 Passo 2: S 2 A n + S2 B m Passo 3: Sob H 0, temos T = X A X B S A 2 n + S2 B m t v RC = {T R : T < t ou T > t 2 }, com Agora, Portanto, 0, 025 = P (T < t T t v ) e 0, 025 = P (T > t 2 T t v ) v = ((8, 6/5) + (6, 5/20)) 2 (8, 6/5) 2 /4 + (6, 5/20) 2 /9 t = 2, 0348 e t 2 = 2, 0348 = 32, 9 33 E a regra de decisão é dada por Rejeitar H 0 se T < 2, 0348 ou T > 2, Passo 4: O valor observado da estatística é t 0 = 70, 5 84, 3 8,6 + 6, = 3, 75 Passo 5: Como o valor observado de T pertence à RC, rejeitamos H 0, e concluímos que há evidências de que os dois tipos de vigas têm resistências médias diferentes. Teste para Comparação das Variâncias : H 0 : σ 2 = σ 2 2 A estatística do teste será F = S2 /σ 2 S 2 2/σ 2 2 F n,m Exemplo 4: Queremos verificar se duas máquinas produzem peças com a mesma homogeneidade quanto à resistência à tensão. Para isso, sorteamos duas amostras de seis peças de cada máquina, e obtivemos as seguintes resistências: Máquina A: 45, 27, 36, 42, 4, 37 Máquina B: 43, 28, 32, 38, 42, 32 80

5 Passo : H 0 : σ 2 A = σ2 B contra H : σ 2 A σ2 B Passo 2: F = S2 A /σ2 A S 2 B /σ2 B F 5,5 Passo 3: Sob H 0, temos que F = S2 A S 2 B Fixando α = 0, 05, a RC é dada por com F e F 2 tais que F 5,5 RC = {F < F ou F > F 2 }, 0, 025 = P (F < F F F 5,5 ) e 0, 025 = P (F > F 2 F F 5,5 ) Assim, F 2 = 7, 5 e F = /7, 5 = 0, 4. Assim, a regra de decisão é: Rejeitar H 0 se F < 0, 4 ou F > 7, 5. Passo 4: Com os dados apresentados, temos SA 2 = 40 e S2 B observado da estatística é F o = 40/37 =, 08. = 37. Portanto, o valor Passo 5: Como o valor observado da estatística não pertence à RC, aceitamos H 0 concluímos que as máquinas produzem com a mesma variabilidade. e Duas Populações Normais dependentes : Aqui temos duas amostras X, X 2,, X n e Y, Y 2,, Y n, só que agora as observações são pareadas, isto é, temos uma amostra de pares (X, Y ), (X 2, Y 2 ),, (X n, Y n ) Se definirmos a v.a. D = X Y, teremos uma amostra D, D 2,, D n, resultante da diferença dos valores entre cada par. Reduzimos o problema de duas populações a um problema de uma única população, já visto anteriormente. Assim, D = n D i = n i= (X i Y i ) = n i= X i n i= Y i = X Y i= 8

6 terá distribuição N(µ D, σd 2 /n). Considerando temos que S 2 D = n (D i D) 2, i= T = n(d µd ) S D t n Como µ D = E(D) = E(X Y ) = E(X) E(Y ) = µ µ 2, testar H 0 : µ D = 0 é equivalente a testar H 0 : µ = µ 2. Exemplo 5: Cinco operadores de certo tipo de máquina são treinados em máquinas de duas marcas diferentes, A e B. Mediu-se o tempo em que cada um deles gasta na realização de uma mesma tarefa, e os resultados estão na tabela a seguir. Operador Marca A Marca B A B C D E Ao nível de significância de 0%, poderíamos afirmar que a tarefa realizada na Máquina A demora mais que na Máquina B? Passo : H 0 : µ A = µ B H : µ A > µ B Essas hipóteses são equivalentes a H 0 : µ D = 0 H : µ D > 0 Passo 2 : T = n(d µd ) S D t 4 Passo 3 : Como é o mesmo operador que realiza a tarefa nas duas máquinas, dizemos que as variáveis são emparelhadas. Sob H 0, temos T = nd S D t 4. 82

7 RC = {T R : T > t c }, e tomando α = 0, 0, temos P (T > t c T t 4 ) = 0, 0. Portanto, t c =, 533. Assim, a regra de decisão é Rejeitar H 0 se T >, 533. Passo 4 : Da Tabela de dados acima, obtemos os valores de D: e, portanto, d i : 5, 2, 5, 6, 7 d = 5, e s 2 D = 3, 5 Logo, o valor observado da estatística é t o = ( 5 5)/ 3, 5 = 5, 98 Passo 5 : Como o valor observado pertence à RC, rejeitamos H 0, ou seja, demora-se mais para realizar a tarefa na máquina A. Podemos construir um I.C. para µ D, adotando γ = 0, 90 : IC(µ D ; 90%) = 5 ± 2, 32 3, 5/ 5 = 5 ±, 78 = [3, 22 ; 6, 78] 83