Cap. 11 Testes de comparação entre duas amostras

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1 Estatística Aplicada às Ciências Sociais Sexta Edição Pedro Alberto Barbetta Florianópolis: Editora da UFSC, 006 Cap. 11 Testes de comparação entre duas amostras

2 Planejamento da pesquisa e análise estatística A análise estatística dos dados depende: da forma como a pesquisa foi conduzida (p. ex., experimentos que geram amostras independentes ou pareadas) e do tipo de dados gerado pela pesquisa (variável-resposta quantitativa ou categórica)

3 Planejamento do experimento: amostras independentes Exemplo: experimento para comparação de dois métodos de ensino. Crianças selecionadas para o experimento: Método A Divisão aleatória Método B Notas das crianças provindas do método A Notas das crianças provindas do método B

4 Planejamento do experimento: amostras pareadas Exemplo: experimento para comparação de dois métodos de ensino. Método A Pares de indivíduos similares:... Método B Em ordem aleatória dentro de cada par.

5 Planejamento do experimento: amostras independentes X amostras pareadas Dados gerados Amostras independentes Nota Nota (método A) (método B) X11 X1 X1 X X1n1 X1n Amostras pareadas Nota Nota Par (método A) (método B) 1 X11 X1 X1 X n X1n Xn

6 Testes estatísticos Os testes estatísticos permitem avaliar se as diferenças observadas entre os dois grupos podem ser meramente justificadas por fatores casuais (H 0 ), ou se tais diferenças são reais (H 1 ).

7 Testes dos sinais Amostra pareada Em cada par tem-se apenas uma avaliação qualitativa: + (diferença no par compatível com H 1 ) ou (diferença no par ao contrário do que afirma H 1 ) Hipóteses (π = probab. de + num dado par): H 0 : π = 0,5 H 1 : π 0,5 (podendo também ser unilateral)

8 Exemplo 11.3(a) Com o objetivo de avaliar o efeito de um programa de treinamento sobre a produtividade dos funcionários de uma certa empresa, fez-se um estudo em que se observou a produtividade de uma amostra de funcionários antes e depois do programa de treinamento.

9 Exemplo 11.3(a) Melhorou ou piorou? ANTES TREINAMENTO DEPOIS

10 Exemplo 11.3(a) Hipóteses: H 0 : π = 0,5 H 1 : π >0,5 π = probabilidade melhorar (para um dado funcionário) Experimento com n = 10 funcionários, observados antes e depois do treinamento

11 Exemplo 11.3(a) Resultado do experimento: Dos 10 funcionários, 7 melhoraram. Qual é o valor-p? Qual é a conclusão?

12 Exemplo 11.3(a) : uso da distribuição binomial x valor esperado por H 0 p = 0,17 ou 17,%

13 Exemplo 11.3(a) Adotando α = 5% p = 17,% > α ==> O teste aceita H 0 Não se pode afirmar que o programa de treinamento realmente aumenta a produtividade dos funcionários

14 Teste t para dados pareados Amostra pareada Em cada par tem-se uma avaliação quantitativa (medidas quantitativas da variável-resposta X) Supõe-se que a distribuição de X seja aprox. normal Hipóteses feitas em termos de médias (ou valores esperados): H 0 : µ 1 = µ H 1 : µ 1 µ (podendo também ser unilateral)

15 Exemplo 11.3(b) De quanto foi a variação? ANTES TREINAMENTO DEPOIS

16 Hipóteses: Exemplo 11.3(b) H 0 : µ depois H 1 : µ depois = µ antes > µ antes µ antes : produtividade esperada antes do programa µ depois : produtividade esperada depois do programa

17 Exemplo 11.3(b): amostras Produtividade Func. antes depois diferença João 5 3 Maria José Pedro Rita Joana Flávio 6 8 Paulo Catarina Felipe 7 5

18 Exemplo 11.3(b): amostras Produtividade Func. antes depois diferença João 5 3 Maria José Pedro Rita Joana Flávio 6 8 Paulo Catarina Felipe 7 5 Média amostral das diferenças: 3,4 Desvio padrão amostral das diferenças: 3,81 D D = n S D D nd = n 1

19 Exemplo 11.3(b): amostras A análise é feita com a variável diferença: D = depois - antes D: 3, 7, -, 6, -1, 6,, 9, -1, Valor esperado de D, µ D, sob H 0 Média dos valores observados de D: D = 3,4

20 Estatística do teste t = D. S D n onde n: número de pares (antes, depois) observados; D : média das diferenças observadas e S D : desvio padrão das diferenças observadas

21 Exemplo 11.3(b): resultados Produtividade Func. antes depois diferença João 5 3 Maria José Pedro Rita Joana Flávio 6 8 Paulo Catarina Felipe 7 5 Média amostral das diferenças: 3,4 Desvio padrão amostral das diferenças: 3,81 D 34 D = = = 3,4 D n.d 46 (10).(3,4) SD = = = 3,81 n 10 n t = D. n S D = 3, ,81 =,8

22 Distribuição de referência Assumindo que D tenha distrib. normal, sob H 0, t tem distrib. t com gl = n ,4 0,3 f(t) 0, 0, Possíveis valores da estatística t t

23 Exemplo 11.3(b): obtenção do valor-p Distrib. de referência: t com gl = n - 1 = 9 P = 0,010 (tabela t) 0 t =,8

24 Exemplo 11.3(b): uso da Tabela t Amostras t =,8 gl = 9 gl 0,5 0,1 0,05 0,05 0,01 0, ,703 1,383 1,833,6,81 3,50... Área na cauda superior p = 0,01

25 Exemplo 11.3(b): conclusão O teste rejeita H 0 ao nível de significância de 5%. O programa de treinamento aumenta a produtividade dos funcionários

26 Teste t para amostras independentes Amostras independentes Variável-resposta X quantitativa) Supõe-se que a distribuição de X em cada grupo seja aprox. normal Supõe-se que as variâncias sejam aproximadamente iguais nos dois grupos Hipóteses feitas em termos de médias (ou valores esperados): H 0 : µ 1 = µ H 1 : µ 1 µ (podendo também ser unilateral)

27 Exemplo 11.7 Problema: comparação de dois métodos de ensino. H 0 : Em média, os dois métodos produzem os mesmos resultados; H 1 : Em média, os dois métodos produzem resultados diferentes. ou H 0 : µ 1 = µ e H 1 : µ 1 µ µ 1 : nota média de indivíduos submetidos ao método A de ensino; µ : nota média de indivíduos submetidos ao método B de ensino.

28 Exemplo 11.7: o experimento Crianças selecionadas para o experimento: Método A Divisão aleatória Método B Notas das crianças provindas do método A (Grupo 1 de valores) Notas das crianças provindas do método B (Grupo de valores)

29 Exemplo 11.7: amostras Grupo 1 Grupo Média 49,9 44,7 Variância 35,66 4,3 método A nota método B

30 A importância da análise da variabilidade a) Evidência de grupos diferentes b) Não evidência de grupos diferentes

31 A estatística do teste a) Se n 1 = n = n b) Se n 1 n t = n ( X ) 1 X S a t = S a X. 1 1 n 1 X + 1 n S1 + onde S a = S ( n ) + ( n ) 1 1 S1 1 S S a = gl e gl = n - gl = n 1 + n :

32 Exemplo 11.7: resultados Amostra 1 Amostra n média 49,9 44,7 variância 35,66 4,3 S a = S 1 + S = 35,64 + 4,5 = 77,89 = 38,95 t = n 10 (38,95) ( ) = ( 49,90 44,70) 1, 86 X 1 X = S a

33 Exemplo 11.7: uso da tabela t Amostras t = 1,86 gl = 18 Área na cauda superior gl 0,5 0,1 0,05 0,05 0,01 0, ,688 1,33 1,734,101,55, Pela tabela t : área entre 0,05 e 0,05 Como o teste é bilateral: Valor p entre 0,05 e 0,10 0 t = 1,86-1,86 0 1,86

34 Exemplo 11.7: conclusão Valor p > 0,05 (nível de significância α adotado). Então o teste aceita H 0 ao nível de significância de 5%. Os dados não comprovam diferença entre os dois métodos de ensino.

35 Teste t Ver, no livro, exemplo com amostras de tamanho diferentes (Exemplo 11.8). Ver, no livro, exemplos de teste t em estudos nãoexperimentais (amostras obtidas em levantamentos por amostragem) (Exemplos 11. e 11.8).