Testes de hipóteses (exemplos)

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1 Testes de hipóteses (exemplos) LCE 0211 Estatística Geral Prof a.: Izabela Regina Cardoso de Oliveira

2 Motivação Exemplo 1) (Magalhães e Lima, 2010) Suponha que, entre pessoas sadias, a concentração de certa substância no sangue se comporta segundo um modelo normal com média 14 unidades/ml e desvio padrão de 6 unidades/ml. Pessoas sofrendo de uma doença tem a concentração média dessa substância alterada para 18 unidades/ml. Admitimos que o modelo Normal, com desvio padrão de 6 unidades/ml, é adequado para a concentração da substância em pessoas com a doença. Desejamos saber se um certo tratamento, proposto para combater a doença, é eficaz. Uma amostra aleatória de tamanho n=30 é selecionada entre indivíduos doentes que foram submetidos ao tratamento.

3 Teste sobre a média de uma população com variância conhecida Exemplo 2) (Bussab e Morettin, 2010) Uma máquina automática para encher pacotes de café enche-os segundo uma distribuição normal, com média µ e variância sempre igual a 400 g 2. A máquina foi regulada para µ = 500 g. Desejamos, periodicamente, colher uma amostra de 16 pacotes e verificar se a produção está sob controle, isto é, se µ = 500 g ou não. Se uma dessas amostras apresentasse uma média de 492 g, você pararia ou não a produção para regular a máquina? Considere α = 1%.

4 Teste sobre a média de uma população com variância desconhecida Exemplo 3) (Ferreira, 2005) Testar a hipótese de que um novo híbrido de milho precoce possui média de produtividade de grãos igual à média (6,0 t/ha) para o Centro-Oeste do Brasil. Para isso uma amostra de n = 10 fazendas em localidades típicas da região e do sistema de manejo da cultura foi obtida. Os resultados em t/ha são: 4,19 7,86 2,91 8,68 3,03 3,89 4,89 5,74 6,41 4,40 Utilize o nível de significância de 5%.

5 Teste sobre a média de uma população com variância desconhecida Exemplo 4) (Andrade e Ogliari, 2010) Supõe-se que a produtividade média de feijão da safra no estado de Santa Catarina é de 800 kg/ha. Para investigar a veracidade dessa afirmação consultou-se uma publicação do Instituto Cepa-SC 1, onde obteve-se os seguintes valores de produtividade média de feijão: Safra 80/81 81/82 82/83 83/84 84/85 85/86 86/87 87/88 88/89 Produtividade a) Qual a conclusão ao nível de significância de 5%? b) Dê a estimativa da verdadeira produtividade média, com confiança de 95%. 1 CEPA-SC: Centro de Socioeconomia e Planejamento agrícola. É um centro especializado em informação e planejamento para o desenvolvimento agrícola, pesqueiro e florestal de Santa Catarina, localizado junto à Secretaria de Agricultura e Desenvolvimento Rural.

6 Teste sobre a média de uma população com variância desconhecida Exemplo 5) (Andrade e Ogliari, 2010) Foi retirada uma amostra de tamanho 10, da população de pesos aos 210 dias de bezerros da raça Nelore. Os valores, em kg, foram os seguintes: Teste as hipóteses: ao nível de significância de 5%. H 0 : µ = 186 versus H 1 : µ < 186, Exemplo 6) (Bussab e Morettin, 2010) Um fabricante afirma que seus cigarros contem não mais que 30 mg de nicotina. Uma amostra de 25 cigarros fornece média de 31,5 mg e desvio padrão de 3 mg. Ao nível de 5%, os dados refutam ou não a afirmação do fabricante?

7 Teste sobre uma proporção de uma população Exemplo 7) (Magalhães e Lima, 2010) Um relatório de uma companhia afirma que 40% de toda a água obtida, através de poços artesianos no Nordeste, é salobra. Há muitas controvérsias sobre essa afirmação, alguns dizem que a proporção é maior, outros que é menor. Para dirimir as dúvidas, 400 poços foram sorteados e observou-se, em 120 deles, água salobra. Qual seria a conclusão, ao nível de 3%? Exemplo 8) (Andrade e Ogliari, 2010) O rótulo de uma caixa de sementes informa que a porcentagem de germinação é de 90%. Entretanto, como a data limite de validade já foi ultrapassada, acredita-se que a porcentagem de germinação seja inferior a 90%. Faz-se um experimento e, de 400 sementes testadas, 350 germinaram. Ao nível de significância de 10%, rejeita-se a hipótese de que a porcentagem de germinação é de 90%? Determine o intervalo de confiança para o verdadeiro poder germinativo.

8 Teste sobre uma variância (σ 2 ) de uma população Exemplo 9) (Bussab e Morettin, 2010) Uma das maneiras de manter sob controle a qualidade de um produto é controlar sua variabilidade. Uma máquina de encher pacotes de café está regulada para enchê-los com média de 500 g e desvio padrão de 10 g. O peso de cada pacote X segue uma distribuição N(µ, σ 2 ). Colheu-se uma amostra de 16 pacotes e observou-se uma variância de S 2 = 169 g 2. Com esse resultado, você diria que a máquina está desregulada em relação à variância? (α = 5%)

9 Teste sobre uma variância (σ 2 ) de uma população Exemplo 10) (McCLAVE et al., 2009) Um supervisor de qualidade em uma empresa de comidas enlatadas sabe que a exata quantidade que cada lata contém variará, uma vez que existem certos fatores incontroláveis que afetam a quantidade de preenchimento. Se σ 2 é grande, algumas latas serão pouco preenchidas e outras serão em excesso. Suponha que as agências regulatórias especifiquem que o desvio padrão da quantidade preenchida deve ser inferior a 0,1 onça 2. Para determinar se o processo está atingindo essa especificação, o supervisor seleciona 10 latas aleatoriamente e pesa o conteúdo de cada uma. 16,00 16,06 15,95 16,04 16,10 16,05 16,02 16,03 15,99 16,02 Esses dados fornecem evidência suficiente para indicar que a variabilidade é tão pequena quanto desejada? Utilize α = 0,05. 2 Uma onça (abreviada: oz) é uma unidade de medida inglesa de massa, com dois valores diferentes, dependendo do sistema que é utilizado: no sistema avoirdupois uma onça equivale a 28, gramas e no sistema troy a onça vale 31, gramas.

10 Teste para comparação das variâncias de duas populações normais Exemplo 11) (Bussab e Morettin, 2010) Queremos verificar se duas máquinas produzem peças com a mesma homogeneidade quanto à resistência à tensão. Para isso, sorteamos duas amostras de seis peças de cada máquina, e obtivemos as seguintes resistências: Máquina A Máquina B Compare as variâncias das duas máquinas usando α = 10%.

11 Referências ANDRADE, D. F.; OGLIARI, P. J. Estatística para as ciências agrárias e biológicas: com noções de experimentação. 2 ed. Florianópolis: Editora da UFSC BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística Básica. 6 ed. São Paulo: Saraiva, FERREIRA, D. F. Estatística Básica. Lavras: Editora UFLA, MAGALHAES, M. N.; LIMA, A. C. P. de. Noções de probabilidade e estatística. 7 ed. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, McCLAVE, J. T.; BENSON, P. G.; SINCICH, T. Estatística para administração e economia; tradução Fabrício Pereira Soares e Fernando Sampaio Filho. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009.