UAlg esght TESTES DE HIPÓTESES

Transcrição

1 UAlg esght TESTES DE HIPÓTESES EXERCÍCIOS ( pbasilio@ualg.pt ) Dezembro 2014

2 Testes de hipóteses - Exercícios 1 1. A vida média de uma amostra de 100 lâmpadas fluorescentes, fabricadas por determinada companhia, é de 1750 horas, com desvio padrão de 120 horas. Se µ for a vida média de todas as lâmpadas fabricadas pela companhia, teste a hipótese µ = 1600 horas contra a hipótese alternativa µ 1600 horas, utilizando um nível de significância de: a) 0,05 2. Teste para o mesmo caso, a hipótese µ = 1600 horas contra a hipótese alternativa µ > 1600 horas utilizando um nível de significância de: a) 0,05 3. Uma empresa industrial tem vindo a utilizar, para custo? padrão de certo produto, o valor de 20 e/t. O cálculo real para 25 desses produtos, escolhidos ao acaso, conduziram a um custo médio (suposto variável aleatória com distribuição normal) de 23 e/t e uma variância de 36. Pretende-se saber se há razões para abandonar o valor de 20 e/t para o custo padrão. 4. Os dados seguintes referem-se ao número de vendas do produto A, numa amostra de 10 lojas a) Para α = 0.05 há indícios de que as vendas médias do produto A sejam superiores a 5? b) Qual a hipótese que se deve assumir para elaborar o teste? 5. Em relação ao problema 3 do capítulo anterior (Intervalos de Confiança) há indícios de que o depósito médio sejam e? (Sugestão: faça α = 0, 05) 6. Uma empresa conserveira assegura aos compradores das suas latas de atum que o peso médio líquido é de 120 gramas. O responsável pelo controlo de qualidade detectou que, numa amostra de 12 latas de conserva, o peso médio era de g com desvio padrão de 1.5 g. Poder-se-á rejeitar a afirmação da empresa, a um nível de significância de 10%? 7. No passado, o desvio padrão dos pesos de sacos de 50 Kg, enchidos por determinada máquina, era de 0.30 Kg. Extraiu-se uma amostra de 20 sacos que acusaram um desvio padrão de 0.38 Kg. O aumento aparente de variabilidade é significativo ao nível de: a) 0,05

3 Testes de hipóteses - Exercícios 2 8. Em relação ao problema 3 do capítulo anterior (Intervalos de Confiança), para α = 0.05, há indícios de que σ > 10? 9. O preço de mercado de certo produto está sujeito a amplas e frequentes flutuações em torno de um valor médio relativamente estável. Admite-se que este preço possa ser encarado como uma variável aleatória de comportamento aproximadamente normal. O valor que é admitido para a variância da distribuição é tal que há 95% de probabilidades de que o preço se estabeleça no intervalo (4.12 ; 15.88). Se o verdadeiro valor de variância for maior, a situação no mercado tende a tornar-se caótica. a) Considerada uma sucessão de 16 observações de preços, obteve-se: x = 12 e S 2 = 10 Para α = 0.05, que conclusão pode tirar? b) Posteriormente, introduziram-se as alterações no modo de funcionamento do mercado tendentes a reduzir as flutuações de preços antes verificadas. Suponha que se fizeram 13 observações de preços tendo-se obtido: x = 11 e S 2 = 9 Para α = 0.05, será de concluir pela eficácia das medidas introduzidas? 10. Um caçador diz que abate 80% das aves a que atira. Concordaria com ele se, num determinado dia, acertasse em 90 num total de 150? (sugestão: use um nível de significância de 0,05) 11. Um jogador de basquetebol ganha 60% dos ressaltos. Se em 100 lançamentos ele ganhar 70, diria que a sua qualidade de ressaltos melhorou? (Sugestão: use um nível de significância de 0,05) 12. Em relação ao problema 13 do capítulo anterior (Intervalos de Confiança) suponha que a companhia seguradora espera pagar 50% dos pedidos de baixa em 2 meses. Para?=0,05, há indícios de que a companhia seguradora não pague 50% dos pedidos de baixa em dois meses? 13. Um curso de matemática é ensinado a 12 alunos pelo método convencional. A um segundo grupo de 10 alunos foi ensinado o mesmo programa segundo um método moderno. No fim do semestre o mesmo exame foi dado a cada grupo de alunos. Os primeiros 12 alunos obtiveram um resultado médio de 85 com desvio padrão de 4, enquanto os segundos 10 alunos obtiveram uma média de 81 com desvio padrão de 5. Para α = 0.10, teste a igualdade das médias, supondo que as populações são aproximadamente normais e de igual variância. 14. Um teste de Economia é feito por 50 raparigas e 75 rapazes. As raparigas obtiveram

4 Testes de hipóteses - Exercícios 3 um resultado médio de 76 com desvio padrão de 6, enquanto os rapazes obtiveram um resultado médio de 82 com um desvio padrão de 8. Teste a hipótese de que as médias dos resultados para rapazes e raparigas difira de 4. Considere um nível de significância adequado. 15. Pretende-se determinar se existem diferenças na qualidade das lâmpadas produzidas por 2 tipos de máquinas. O desvio padrão é de 110h para a máquina A e 125 h para a máquina B. Uma amostra aleatória de 25 lâmpadas, produzidas na máquina A, indica uma duração média de 375 h, enquanto uma amostra de igual dimensão indica uma duração média de 362 h para as lâmpadas produzidas na máquina B. Para α = 0.05 há indícios de que a duração média das lâmpadas produzidas na máquina A seja superior à duração média das lâmpadas produzidas na máquina B? 16. Os seguintes dados representam a capacidade dos depósitos de uma amostra de 10 carros americanos e não americanos: Americanos Não Americanos Para α = 0.05 será legítimo afirmar que a distribuição das capacidades dos depósitos dos carros não americanos tem maior dispersão? 17. Pretende-se determinar se existe diferença na popularidade do futebol entre indivíduos com e sem frequência do ensino superior. De uma amostra de 100 indivíduos, com frequência do ensino superior, 35 consideraram-se fãs do futebol. De uma amostra de 200 indivíduos, sem frequência do ensino superior, 125 consideraram-se fãs do futebol. Para α = 0.01, será legítimo afirmar que a popularidade do futebol não é idêntica nos dois grupos? 18. Decidiu-se realizar uma votação entre os residentes de uma cidade e dos seus subúrbios para decidir se um centro cívico seria ou não construído. A proposta indica o local de construção dentro dos limites da cidade e, por esta razão, muitos votantes dos subúrbios pensam que esta proposta será aprovada devido à grande proporção de votantes da cidade que favorecem a construção. Para determinar se há diferença significativa na proporção de votantes da cidade e de votantes dos subúrbios que favorecem a proposta decidiu-se recolher uma amostra. Se 120 de 200 votantes da cidade favorecem a proposta e 240 em 500 votantes do subúrbio também favorecem, concordaria que a proporção dos votantes da cidade que favorecem a proposta é maior do que a proporção de votantes do subúrbio? Use um nível de significância de Suponha que, numa determinada produção, o peso dos sacos de café é normalmente distribuído com desvio padrão 10 gramas. Admita, ainda, que a máquina de enchimento está regulada para sacos de 500 gramas. Nestas condições, para aferir o

5 Testes de hipóteses - Exercícios 4 funcionamento da máquina analisou-se uma amostra de 9 sacos aleatoriamente retirados da produção e definiu-se que se rejeitava de bom funcionamento da máquina se X > 510 gramas. a) Calcule a probabilidade de cometer um erro de primeira espécie. b) Se o verdadeiro peso médio dos sacos for igual a 505 gramas, calcule a probabilidade de aceitar a hipótese de bom funcionamento. c) Admitindo que o peso médio de todos os sacos é igual a 505 gramas, qual deverá ser o tamanho da amostra a retirar da população se pretender cometer um erro de segunda espécie inferior a 15%, mantendo o mesmo erro de primeira espécie? 20. Determine, com base nos dados abaixo, se a verdadeira proporção de donas de casa que preferem o detergente A ao detergente B é a mesma nas três cidades:?(sugestão: faça α = 0.05) Favorecem A Favorecem B Portimão Albufeira Faro O quadro seguinte é baseado num estudo que relaciona a raça com o tipo de sangue. Tipos de sangue O A B AB Raça Raça Raça Usando um nível de significância de 0.01 teste a hipótese de a raça e o tipo de sangue não estarem relacionados.