Distribuições Importantes. Distribuições Discretas

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1 Distribuições Importantes Distribuições Discretas

2 Distribuição de Bernoulli Definição Prova ou experiência de Bernoulli é uma experiência aleatória que apenas tem dois resultados possíveis: A que se designa por sucesso e Ā designado por insucesso. O sucesso ocorre com probabilidade p e o insucesso com probabilidade q1-p. Exemplo 4.1 Suponha que, com o objectivo de medir a audiência de determinado programa de televisão, se pergunta a um potencial telespectador se viu ou não aquele programa. Trata-se de uma prova de Bernoulli? A variável aleatória, número de sucessos numa prova de Bernoulli, toma o valor 1 caso se observe um sucesso e 0 caso contrário. Distribuições Importantes (Discretas) 2

3 Distribuição de Bernoulli (cont.) Definição Diz-se que uma v.a. X tem distribuição de Bernoulli de parâmetro p, e representa-se por X B(p), se a sua função de probabilidade for dada pela expressão seguinte: P(X ) p 0, (1 p) 1, se 0,1 se 0,1 ou P(X ) p, q, 0, se se se 1 0 0,1 Média e variância de X B(p) µe[x]p σ 2 var(x)p(1-p) Distribuições Importantes (Discretas) 3

4 Distribuição Binomial Suponha-se uma experiência aleatória que obedece às seguintes condições: i) a experiência consiste na repetição de n provas idênticas; ii) cada prova tem dois resultados possíveis: sucesso ou insucesso; iii) a probabilidade de sucesso mantém-se constante de prova para prova e igual a p iv) as provas são independentes; e v) a v. a., número de sucessos observado ao fim de n provas, toma os valores 0,1,2,... Uma experiência aleatória que verifica as condições anteriores dizse uma experiência binomial. Distribuições Importantes (Discretas) 4

5 Distribuição Binomial (cont.) Exemplo 4.2 O lançamento ao ar de uma moeda perfeita (não viciada), constitui um exemplo de uma experiência binomial Problema: Considere-se uma experiência que consiste na repetição de n provas independentes de Bernoulli com p, probabilidade de sucesso, constante de prova para prova. Seja X a v. a., número de sucessos observados ao fim de n provas. Qual a função de probabilidade da v.a. X? Distribuições Importantes (Discretas) 5

6 Distribuição Binomial (cont.) Definição Diz-se que uma v.a. X tem distribuição Binomial de parâmetros n e p, e representa-se por X Bin(n, p), se a sua função de probabilidade for dada pela expressão seguinte: P( X ) n p 0, (1 p) n, se c.c. 0,1,2,..., n Média e variância de X Bin(n,p) µe[x]np σ 2 var(x)np(1-p) Distribuições Importantes (Discretas) 6

7 Distribuição Binomial (cont.) Exemplo 4.3 A probabilidade de os doentes não recuperarem de uma determinada doença é 0.6. Escolhidos ao acaso 15 pessoas com a referida doença, determine a probabilidade de sobreviverem: a) exactamente 5 pessoas b) pelo menos 10 pessoas c) entre 3 e 5 pessoas (inclusive) Distribuições Importantes (Discretas) 7

8 Distribuição Binomial (cont.) Propriedades: Se X Bin(n, p) então Y n-x Bin(n, 1-p) Se X 1, X 2,..., X são variáveis aleatórias independentes com X i Bin(n i, p), i1, 2,...,, então, Y Xi Bin ni, i 1 i 1 p note que o valor de p tem de ser o mesmo para as variáveis Distribuições Importantes (Discretas) 8

9 Distribuição Hipergeométrica Considere-se uma população com um total de N elementos, D dos quais apresentam a característica de interesse (sucesso) e N D a não característica (insucesso). Definição Diz-se que uma v.a. X tem distribuição hipérgeométrica de parâmetros N, n e D, e representa-se por X Hiper(N, n, D), se tiver f.m.p: P(X ) D N D n, N n 0, se c.c. max(0, D + n N),...,min( D, n) Distribuições Importantes (Discretas) 9

10 Distribuição Hipergeométrica (cont.) Média e variância de X Hiper(N, n, D) µ np, var(x) com p np(1 p) D N N N n 1 Quando numa distribuição Hipergeométrica com parâmetros N, n e D, N é muito grande comparativamente a n, podemos usar a distribuição Binomial como aproximação. Distribuições Importantes (Discretas) 10

11 Distribuição de Poisson Suponha que se observa a ocorrência de certo acontecimento num determinado intervalo de tempo (ou num determinado volume, área, comprimento, região). Se se verificar as seguintes condições: i) o número de ocorrências em intervalos não sobrepostos são variáveis aleatórias independentes; ii) a probabilidade de um certo número de ocorrências se verificar é a mesma para intervalos da mesma dimensão; iii) a probabilidade de se verificarem duas ou mais ocorrências num período muito pequeno é negligenciável, quando comparada com a probabilidade de se verificar apenas uma ocorrência. Então pode-se dizer que tal fenómeno se adequa a uma distribuição de Poisson. Distribuições Importantes (Discretas) 11

12 Distribuição de Poisson (cont.) Definição Diz-se que uma v.a. X tem distribuição de Poisson de parâmetro λ, e representa-se por X Poi(λ), se a sua função de probabilidade for dada pela expressão seguinte: P(X ) λ e! 0,, se c.c. 0,1,2,..., n e λ>0 Média e variância de X Poi(λ) µe[x] λ σ 2 var(x) λ Distribuições Importantes (Discretas) 12

13 Distribuição de Poisson (cont.) Exemplo 4.5 O número de pedidos de ambulância que chegam, por dia, a determinado posto de socorros, é em média de 2. Calcule a probabilidade de que: a) Num dia, haja pelo menos um pedido. b) Num dia haja pelo menos um pedido, sabendo que no dia anterior não se registou nenhum. c) Num dia haja dois pedidos e no dia seguinte também se verifiquem dois pedidos Distribuições Importantes (Discretas) 13

14 Distribuição de Poisson (cont.) Propriedade: Se X 1, X 2,..., X n são variáveis aleatórias independentes com X i Poi(λ i ) i1, 2,...,n, então, Exemplo 4.6 n Y Xi Poi 1 2 i 1 ( λ + λ λ ) Admite-se com frequência que o número de acidentes ocorridos em fábricas obedece a uma distribuição de Poisson. Suponha que numa determinada fábrica os acidentes ocorrem segundo uma taxa média de 0,5 por semana. Se X representar o número de acidentes a ocorrer nas próximas semanas 6 semanas, qual o número esperado de acidentes e qual a probabilidade de ocorrer no máximo 3 acidentes? n Distribuições Importantes (Discretas) 14

15 Distribuição de Poisson (cont.) Aproximação da Binomial à Poisson Quando n e p 0, mantendo-se constante o produto np, tem-se X Bin(n, p) X Poi(np). Regra prática Em geral, a distribuição de Poisson fornece uma boa aproximação da distribuição binomial quando n>20 e p 0.05 Distribuições Importantes (Discretas) 15

16 Distribuição de Poisson (cont.) Exemplo 4.7 Uma companhia de seguros possui apólices no ramo vida referente a acidentes de trabalho. Sabe-se que, por ano, a probabilidade de determinado indivíduo morrer de acidente de trabalho é de Qual a probabilidade de a companhia ter de pagar por ano a pelo menos 4 dos seus segurados? Distribuições Importantes (Discretas) 16