Probabilidades e Estatística

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1 Departamento de Matemática - IST(TP) Secção de Estatística e Aplicações Probabilidades e Estatística 1 o Teste B 2 o semestre 2007/08 Duração: 90 minutos 19/04/ :30 horas O teste consiste em dois grupos, divididos por alíneas, com as cotações indicadas no enunciado. O formulário encontra-se na página seguinte. As respostas devem ser dadas nas folhas dos enunciados. Justifique convenientemente todas as respostas! Nome: Número: Curso: O quadro abaixo destina-se à correcção da prova. Por favor não escreva nada. Grupo I Grupo II NOTA FINAL 9.5 Val 10.5 Val Página 1 de 9

2 Formulário Distribuição e contradomínio de X P (X = k) µ = E[X] σ 2 = Var[X] Uniforme ({1, 2,..., n}) 1/n (n + 1)/2 (n 2 1)/12 x {1, 2,..., n} Hipergeométrica (N, M, n) ( M )( N M ) / ( N k n k n) n M N n M N N M N N n N 1 x {max{0, n (N M)},..., min{n, M}} Binomial (n, p) ( n ) k p k (1 p) n k np np(1 p) x {0, 1,..., n} Geométrica (p) (1 p) k 1 p 1/p (1 p)/p 2 x IN Poisson (λ) e λ λ k /k! λ λ x IN 0 Distribuição e contradomínio de X f X (x) µ = E[X] σ 2 = Var[X] Uniforme (a, b) 1 b a (a + b)/2 (b a) 2 /12 x [a, b] Exponencial (λ) λe λx 1/λ 1/λ 2 x IR + 0 Normal (µ, σ 2 ) 1 2πσ e (x µ)2 2σ 2 µ σ 2 x IR Tabela 1: Famílias importantes de distribuições Aproximação... da distribuição... Condições Binomial Hipergeométrica (N, M, n) n/n < 0.1 Poisson Binomial (n, p) p < 0.1 e np 5 Normal Binomial (n, p) n min(p, 1 p) > 5 Normal Poisson (λ) λ > 5 Tabela 2: Condições de aproximações de funções de distribuição Página 2 de 9

3 Grupo I 9.5 val. 1. Dois sacos A e B contêm embalagens com bolbos de lírio. Cada embalagem do saco A contém 9 lírios azuis e 9 lírios amarelos e cada embalagem do saco B contém 9 azuis, 9 amarelos e 9 brancos. Um dos sacos foi escolhido ao acaso e desse saco foi retirada ao acaso uma embalagem e dessa embalagem seleccionaram-se, também ao acaso, 4 dos seus bolbos que foram plantados. (a) Calcule a probabilidade dos 4 bolbos plantados produzirem 3 lírios amarelos. (2.0) (b) Sabendo que de facto a plantação produziu 3 lírios amarelos, qual a probabilidade da embalagem de bolbos ter sido retirada do saco A. (1.5) (c) Qual seria o resultado da alínea anterior se a plantação tivesse produzido 2 amarelos, 1 azul e 1 branco? (0.5) Página 3 de 9

4 2. Admita que a distribuição dos nascimentos de pessoas ao longo dos dias do ano é uniforme e que os anos têm todos 365 dias, isto é, não há anos bissextos. (a) Qual a probabilidade de uma pessoa não fazer anos no dia de Natal? (0.5) (b) Num vasto inquérito às famílias foi registado a data de nascimento da cada elemento da família. Considerando a sequência de registos resultantes do inquérito determine a probabilidade de: (i) encontrar, em 25 registos analisados, pelo menos 2 pessoas a fazer anos no dia de Natal. (2.0) (ii) ser necessário observar pelo menos 3 registos até encontrar uma pessoa que faz anos no dia de Natal. (1.5) Página 4 de 9

5 (c) Supondo que, como acontece com 2008, há anos bissextos e que ocorrem geralmente de 4 em 4 anos, determine a probabilidade de um indivíduo fazer anos no dia 29 de Fevereiro. (1.5) Página 5 de 9

6 Grupo II 10.5 val. 1. Uma central telefónica recebe chamadas à taxa de 1.5 chamadas por minuto. Sabe-se que o número de chamadas recebidas tem distribuição de Poisson. (a) Determine a probabilidade de o número de chamadas recebidas em 16 minutos ser maior do que 25. Apresente também um valor aproximado dessa probabilidade servindo-se da distribuição normal e usando a correcção de continuidade. (3.0) Página 6 de 9

7 (b) Identifique a variável aleatória correspondente ao tempo de espera até surgir a primeira chamada. Indique a sua função densidade de probabilidade e deduza a sua função de distribuição. Qual é o valor médio e a variância da variável aleatória? (2.5) Página 7 de 9

8 2. O número total de sócios dos três maiores clubes de futebol de Portugal ronda os e está assim distribuído: SLB(Benfica) - 45% FCP(Porto) - 29% SCP(Sporting) - 26% Dois associados encontram-se casualmente num bar. Em resposta a alguém que pretendeu saber quais os clubes dos dois associados que ali se encontraram, um estatístico respondeu que o número de possíveis sócios do Benfica (X) e do Porto (Y ), existentes num grupo de dois associados que se encontram por acaso, tem a seguinte função de probabilidade conjunta: P (X = x, Y = y) = 2! x!y!(2 x y)! 0.45x 0.29 y x y, 0 x + y 2 (a) Construa a tabela da distribuição conjunta de X e Y. (1.5) (b) Verifique que as respectivas distribuições marginais são binomiais e identifique essas distribuições. Nota: Se não respondeu a (a) use a seguinte tabela (1.5) X\Y Página 8 de 9

9 (c) Concorda com a afirmação X e Y são independentes? (1.0) (d) Supondo que um dos associados é do Porto, identifique a distribuição do número de sócios do Benfica e calcule o seu valor esperado e a sua variância. (1.0) Página 9 de 9