Distribuies de Probabilidade

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1 Distribuies de Probabilidade Roberto Imbuzeiro M. F. de Oliveira 23 de Março de 2009 Resumo Exerçícios sobre as distribuições de v.a. s. 1 Toda variável aleatória real é uniforme Seja X : Ω R com função cumulativa de distribuição F : R [0, 1]. Exercício 1. Se F é contínua, F (X) tem distribuição uniforme sobre [0, 1]. Exercício 2. Defina uma pseudo-inversa G para F do seguinte modo: G : (0, 1) R x inf{r R : F (r) > x}. Para x {0, 1}, G(x) é definida arbitrariamente. Mostre que se U é uniforme sobre [0, 1], G(U) tem a distribuição de X [note que isto é equivalente a P (X x) = P (U F (x)) = F (x) para todo x R. A dica é mostrar que para todos (u, v) [0, 1] R, u F (v) se e somente se G(u) v.]. 2 De [0, 1] para {0, 1} N e de volta (infinitas vezes) 2.1 Os dígitos da expansão binária de um número aleatório em [0, 1] Todo x [0, 1] possui uma expansão binária, isto é, uma seqüência b 1, b 2,... de 0s e 1s tais que: + b j x = 2 j. IMPA, Rio de Janeiro, RJ, Brazil, rimfo@impa.br 1

2 Alguns x podem têm mais de uma expansão binária; de fato, estes x são precisamente os chamados números diádicos, dos quais há apenas uma quantidade enumerável. De qualquer modo, podemos definir uma expansão binária para qualquer x através das funções ξ(x) = I [0,1/2] (x) e S(x) = 2x ξ(x). Exercício 3. Mostre que S(x) [0, 1] sempre. Se x 1 = x, x j = S(x j 1 ) e ξ j (x) = ξ(x j ), então [Dica: mostre que x = n x Desenhe os gráficos de S, ξ 1, ξ 2, ξ 3. Agora imagine que + ξ j (x) 2 j ξ j (x) 2 j. 2 n.] (Ω, F, P) = ([0, 1], B([0, 1]), (medida uniforme)) e que X : x x é a função identidade. Defina recursivamente X 1 X, Ξ 1 ξ(x) e, para j 2: { Xj S(X j 1 ) = 2X j 1 Ξ j 1, Ξ j ξ(x j ). Exercício 4. Prove que as X j e Ξ j são variáveis aleatórias. Exercício 5. Temos que P Ξ1 = Be 1/2 e P X1 Ξ 1 =0 é uniforme sobre [0, 1/2] e P X1 Ξ 1 =1 é uniforme sobre [1/2, 1]. Deduza que (Ξ 1, X 2 ) = d distr. produto Be 1/2 Unif [0,1]. Exercício 6. Iterando o exercício acima, mostre que para todo n N (Ξ 1,..., Ξ n, X n+1 ) = d Be n 1/2 Unif [0,1]. Deduza que para todo n (Ξ 1,..., Ξ n ) = Be n 1/2. teorema abaixo. Prove que isto implica o Teorema 1. A variável aleatória X acima pode ser escrita como: X + Ξ j 2 j, onde {Ξ j } + (definida pela recursão acima) é uma seqüência i.i.d. com lei Be 1/2. 2

3 2.2 Do produto de Bernoullis á distribuição produto uniforme Aqui provamos uma espécie de recíproca do exercício anterior. Exercício 7. Seja {0, 1} N dotado da medida produto Be 1/2. Então Y (ω) = + ω j/2 j tem distribuição uniforme sobre [0, 1]. [Dica: prove primeiro que Y é limite pontual de funções mensuráveis, logo é mensurável. Depois calcule sua distribuição.] 2.3 Infinitas uniformes independentes a partir de uma só Exercício 8. Seja ψ : N N 2 uma bijeção. Construa uma função Ψ : {0, 1} N {0, 1} N2 que leva ω = (ω i ) i N em ω = (ω ψ (i)) i N. Mostre que ela é uma bijeção mensurável e que se definimos (Θ (j,k) ) (j,k) N 2 Ψ ((Ξ i ) i N ), então (Θ (j,k) ) (j,k) N 2 é i.i.d. com lei Be 1/2. Exercício 9. Considere agora a função z : {0, 1} N2 [0, 1] N dada por z((ξ (j,k) ) (j,k) N 2 )) = (Y ((ξ (j,k) ) k N )) j N. Mostre que (Z i ) i N z Ψ (Ξ i ) i N é i.i.d. com lei Unif [0,1]. 3 Binomiais e geométricas Seja Ω = {0, 1} N com a σ-álgebra produto e a medida produto Be N p. Defina G 0 = 0 e para i 1 G i (ω) inf{k N : ω k+gi 1 = 1}. Se o inf não estiver definido, tomamos G i = +. No entanto, temos que Exercício 10. Prove que com probabilidade 1 um ω Ω tem infinitos 1 s e que G i < + quase certamente. Exercício 11. Prove que os G i s são i.i.d. Geo p. com distribuição geométrica Exercício 12. Considere o conjunto S n = { j i G j : i N} [n] e defina S n S n. Prove que S n é binomial Bin n,p. Mostre também que condicionado a S n = k, S n é uniformemente distribuído sobre os subconjuntos de [n] de tamanho k. 3

4 4 Exponenciais e geométricas não têm memória Já vimos que distribuições geométricas não têm memória. Veremos agora que as exponenciais têm uma propriedade parecida. Recorde que uma v.a. X tem distribuição exponencial com parâmetro λ > 0 (Exp λ ) se ela tem densidade: f(x) = λe λx I [0,+ ) (x). Exercício 13. Mostre que para todo t 0, P X t X>t = Exp λ. De fato, exponenciais são limites de geométricas. Dado ɛ > 0, considere X ɛ = inf{n N : X ɛn}. Exercício 14. Prove que P (X ɛ = n X ɛ n) = p ɛ = 1 e ɛλ para todo n. Deduza que X ɛ é Geo pɛ. Exercício 15. Mostre que ɛx ɛ X quando ɛ 0 (na verdade, isto vale para toda v.a. X). Exercício 16. Um exercício um pouco mais complexo é mostrar que X = lim ɛ 0 ɛy ɛ onde cada Y ɛ é geométrica com parâmetro λɛ. Defina δ = δ(ɛ) de tal modo que 1 e δλ = ɛλ (note que δ ɛ para ɛ pequeno). Se definimos Y ɛ = inf{n N : X δ(ɛ)n}, prove que Y ɛ tem as propriedades desejadas. 5 Exponenciais e Poissons Agora Ω = R N com a σ-álgebra Borel-produto. A medida P é o produto de medidas exponenciais com parâmetro λ > 0, com densidade: f(x) = λe λx I [0,+ ) (x). Um elemento de Ω será representado pelas variáveis aleatórias correspondentes às suas coordenadas: X 1, X 2, X 3, etc. (esta seqüência é i.i.d. exponencial com parâmetro λ). Defina T 0 = 0 e T k T k 1 + X k, k N. Exercício 17. Seja N (t) = {T k : k 1} [0, t]; Prove que para todo t 0, N(t) N (t) é uma v.a. com distribuição Poisson P o λt. Condicionado a N(t) = k, o conjunto N (t) = {T 1,..., T k } tem a distribuição de {U 1,..., U k }, onde U 1,..., U k são i.i.d. uniforme sobre [0, 1]. 4

5 6 Aproximando binomiais e Poisson: a Lei dos Pequenos Números Escolha um vetor p = (p i ) n i=1 (0, 1)n. Considere a convolução P p de n distribuições Bernoulli com parâmetros p i, que também pode ser descrita como P p = P X1 + +X n, onde {X i = d Be(p i )} n i=1 é família independente. Exercício 18. Se p 1 = p 2 = = p n = p, P p = Bin n,p. Defina µ = µ(p) = n i=1 p i e p 2 = n mostrar que i=1 p2 i Teorema 2. sup A N P p (A) P o µ(p) (A) 2 p 2.. Nosso objetivo será Observação 3. Esta cota não é ótima. O chamado Teorema de Le Cam 1 substitui o lado direito da desigualdade por p 2. Exercício 19. Mostre o seguinte corolário: se µ > 0 é dado e n µ é inteiro: sup Bin n,µ/n A P o µ (A) 2 µ2 0 se n +. A N n Em geral, se temos uma seqüência de vetores {p (m) } com µ(p (m) ) = µ e max j p (m) j 0, sup A N P p (m)(a) P o µ (A) 2(max p (m) j j )µ 0. Esta é a chamada Lei dos Pequenos Números: se A 1,..., A m são eventos independentes com probabilidade máxima 1 mas tais que i P (A i) = µ > 0, o número de A i s que ocorrem tem distribuição aproximadamente Poisson. Exercício 20. Como preliminar para a prova do teorema, mostre que se X = d P p e Y = P o µ, E [X] = E [Y ] = µ e µ p 2 V (X) µ = V (Y ). A principal idéia da nossa prova é o uso do chamado acoplamento. Definiremos duas variáveis aleatórias X e Y tais que 1 Ver 5

6 1. X = d P p ; 2. Y = d P o µ ; e 3. P (X Y ) 2 p 2. O resultado geral abaixo mostra que isto é suficiente para provar o teorema. Exercício 21 (Acoplamento). Seja Z = (X, Y ) : Ω N 2 uma variável aleatória com valores em N 2. Dote Ω de uma medida de probabilidade P e sejam µ 1 = P X e µ 2 = P Y as distribuições marginais de X e Y (respectivamente). Então para todo A N: µ 1 (A) µ 2 (A) P (X Y ). A distribuição P Z é dita um acoplamento de µ 1 e µ 2. [Dica: basta mostrar que µ 1 A µ 2 A P (X Y ). Mostre que isto segue de P (X A) P (Y A) P ({X A} {Y A}) P (X Y ).] No nosso caso, definiremos n pares independentes Z i = (X i, Y i ) onde para cada i X i = d Be pi e Y i = P o pi. Fixando um i, declaramos que com probabilidade 1 p i, X i = Y i = 0 (isto é, Z i = 0); com probabilidade e p i 1 + p i, X i = 1, Y i = 0; para cada k 1, com probabilidade e p i p k i /k!, X i = 1, Y i = k; qualquer outro valor de Z i tem probabilidade 0. Exercício 22. Defina (Ω i, P i ) e Z i = (X i, Y i ) : Ω i N 2 tais que Z i tem a distribuição descrita intuitivamente acima. (Em particular, e p i 1+p i 0 sempre que p i [0, 1].) Mostre ainda que P (X i Y i ) e p i 1 + p i + k 2 e p i p k i /k!. Use a série de Taylor da exponencial para mostrar que de fato P (X i Y i ) 2p 2 i. Exercício 23. Mostre que é possível definir (Ω, P) em que os pares Z i = (X i, Y i ) : Ω N 2 são independentes e têm a distribuiçao correta. [Dica:use espaços produto.] Defina Z = (X, Y ) = i n Z i, de modo que X = n i=1 X i e Y = n i=1 Y i e mostre que: X = d P p e Y = P o µ(p). Termine mostrando que P (X Y ) P (X i Y i ) i e aplicando a cota do exercício anterior. 6

7 7 O processo de Poisson como o limite de processos Bernoulli 7