Começamos relembrando o conceito de base de um espaço vetorial. x = λ 1 x λ r x r. (1.1)

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1 CAPÍTULO 1 Espaços Normados Em princípio, os espaços que consideraremos neste texto são espaços de funções. Isso significa que quase todos os nossos exemplos serão espaços vetoriais de dimensão infinita. Nesses espaços, muitas vezes a estrutura algébrica é insuficiente para a obtenção de resultados fortes, sendo necessária a inserção de uma estrutura topológica. Mas, ao contrário do caso de espaços vetoriais de dimensão finita, não existe qualquer isomorfismo natural que permita a introdução da topologia e, em muitos casos importantes, não é possível obter estrutura topológica conveniente gerada por produto interno. Estudaremos espaços normados, isto é, espaços vetoriais nos quais existe a noção de norma de um vetor. Nosso objetivo neste capítulo não é apresentar estudo aprofundado das propriedades de tais espaços, mas sim contrastá-los com espaços nos quais a topologia é gerada por um produto interno, espaços esses que serão introduzidos no Capítulo 2. Assim, grande parte de nossa exposição reduz-se à topologia básica dos espaços normados e à introdução de exemplos importantes. Denotaremos por N o conjunto {1, 2,...}, por R + o intervalo real [0, ) e por K o corpo dos reais ou o corpo dos complexos. Resultado básicos da Álgebra Linear são referenciados ao texto [5], que será citado como [AL]. 1.1 Espaços Vetoriais Começamos relembrando o conceito de base de um espaço vetorial. Definição 1.1 Sejam X um espaço vetorial sobre o corpo K e B um subconjunto de X. Um elemento x X é combinação linear dos elementos de B se existir uma quantidade finita de vetores x 1,..., x r B e escalares λ 1,..., λ r K, tais que x = λ 1 x λ r x r. (1.1) O conjunto de todas as combinações lineares de elementos de B é o espaço gerado por B, denotado por < B >. Dizemos que B gera o espaço X, se todo elemento x X for combinação linear de elementos de B. Se, ao tomarmos x = 0 na equação (1.1), só existir a solução λ 1 =... = λ r = 0 para quaisquer vetores x 1,..., x r B e r N, dizemos que B é linearmente independente. 1

2 2 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS NORMADOS Um conjunto B é uma base de X (ou base de Hamel), se ele for linearmente independente e gerar X. O espaço vetorial X tem dimensão finita, se existir uma base B com um número finito de elementos ou se X = {0}. Caso contrário, ele tem dimensão infinita. Um espaço vetorial X sobre o corpo R será chamado de espaço real; sobre o corpo C, de espaço complexo. É fácil verificar que, qualquer que seja o conjunto B =, < B > sempre é um espaço vetorial. Quando B gera o espaço X, o número r N de elementos x i B utilizados numa combinação linear de elementos de B pode variar. Se B for uma base, cada elemento x X escreve-se de maneira única como combinação linear de elementos de B. (Veja o Exercício 1.) Salientamos que uma base B não precisa ser um conjunto enumerável. Pode-se verificar que, no caso de um espaço vetorial de dimensão finita X = {0}, todas as bases têm o mesmo número de elementos; esse número comum é chamado então de dimensão do espaço X. Se X = {0}, dizemos que X tem dimensão igual a zero. (Veja [AL], Teorema 1.12). Na prática, raramente verificamos que um espaço vetorial tem dimensão infinita exibindo uma de suas bases. Na verdade, muito raramente podemos exibir uma base de um espaço X de dimensão infinita, se bem que todo espaço vetorial possui uma base (de Hamel): veja o Teorema??. A maioria dos exemplos de base em espaços de dimensão infinita ocorre em espaços de sequências. 1 Muitas vezes, para mostrarmos que um espaço tem dimensão infinita, exibimos um subespaço que sabemos ter dimensão infinita. Para isso, frequentemente utilizamos os subespaços que introduziremos nos Exemplos 1.5 e 1.6. Exemplo 1.2 No espaço K n = {(x 1,..., x n ) : x i K} a base canônica é formada pelos vetores e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1, 0,..., ),..., e n = (0,..., 0, 1). O espaço K n é um espaço vetorial de dimensão n sobre o corpo K. Usualmente denotaremos os elementos de K n por meio de matrizes coluna: x = x 1 x 2. x n = (x 1 x 2... x n ) t. (Estamos denotando por x t a transposta da matriz coluna que representa x.) Exemplo 1.3 Seja X um conjunto não vazio arbitrário. O conjunto de todas as funções f : X K é um espaço vetorial com as definições habituais da soma de funções e do produto de função por escalar. Esse espaço tem dimensão infinita, se X for um conjunto com infinitos elementos (veja o Exercício 3). Em geral, não é possível exibir uma base do espaço { f : X R}, se X tiver infinitos elementos. Exemplo 1.4 Seja l o conjunto de todas as seqüências (x n ) de elementos do corpo K. Esse espaço vetorial de dimensão infinita é um caso particular do exemplo anterior, uma vez que uma seqüência nada mais é do que uma aplicação com domínio igual ao conjunto dos naturais. Algumas vezes denota-se esse espaço por K, ao invés de l. 1 Uma seqüência é uma aplicação x : N X, com x(i) denotado por x i.

3 1.2. ESPAÇOS NORMADOS 3 Exemplo 1.5 Seja K[t] o conjunto de todos os polinômios com coeficientes em K, na incógnita t. Esse é um espaço vetorial de dimensão infinita com a soma de polinômios e a multiplicação de um polinômio por um escalar definidas como habitualmente. Uma base para K[t] é dada por B = {1, t, t 2,..., t n,...}. Exemplo 1.6 Seja l 0 o subespaço de l (veja o Exemplo 1.4) formado por todas as seqüências (x i ) tais que x i = 0, exceto talvez para um número finito de índices i. Podemos exibir facilmente uma base do espaço l 0 : ela é dada por {e 1,..., e n,...}, em que e i denota a seqüência cujos termos são todos iguais a 0, exceto o i-ésimo, que é igual a 1. Verifique que l 0 é isomorfo ao espaço K[t], isto é, existe uma bijeção linear T : K[t] l Espaços Normados Definição 1.7 Seja X um espaço vetorial sobre o corpo K. Uma norma em X é uma função : X R + que satisfaz (i) x = 0 x = 0; (ii) λx = λ x para todo x X e todo λ K; (iii) x + y x + y para quaisquer x, y X (desigualdade triangular). Um espaço normado é um espaço vetorial X considerado com uma norma. Para ressaltarmos a norma utilizada no espaço X, algumas vezes empregaremos a notação ( X, ). Uma pergunta natural é se todo espaço vetorial X possui uma norma. Embora possamos provar sua existência, raramente essa norma tem utilidade prática. No próximo Capítulo discutiremos mais essa situação: veja o Exemplo??. Exemplo 1.8 No espaço K n, se x = (x 1,..., x n ), podemos considerar as normas x = x 1 x x n x n, x s = x x n, x = max 1 i n x i. O conjugado do número complexo x está sendo denotado por x. (Se x for real, então x = x.) Nas normas s e, denotamos o valor absoluto por. Lembramos que, se K = C e z = x + iy, então z = z z = x 2 + y 2. Essas são as normas habituais do K n. Se n = 1, é usual considerar a norma dada pelo valor absoluto: veja o Exercício 4. A norma é chamada norma euclidiana no espaço K n. A verificação de que é uma norma usualmente é feita utilizando-se a desigualdade de Cauchy-Schwarz, que recordaremos posteriormente no Capítulo?? (ou então veja [AL], Proposição 8.6). Esse fato também segue-se do Teorema 1.74, que mostraremos ainda neste Capítulo. Mais geralmente, sejam uma norma arbitrária em K n e B = {x 1,..., x n } uma base de um espaço de dimensão finita X. Para x = α 1 x α n x n, definimos Ix = (α 1... α n ) t K n. É fácil ver que I é uma bijeção linear e que x X = Ix

4 4 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS NORMADOS define uma norma em X, chamada norma induzida pela norma de K n. É usual denotar (α 1... α n ) t K n por [x] B e chamar esse vetor de representação de x na base B. Dessa forma, podemos imitar as normas habituais do espaço K n e considerar as normas habituais, s e do espaço de dimensão finita X (com respeito à base B). Observe que o Exemplo 1.8 mostra que todo espaço vetorial de dimensão finita torna-se um espaço normado, uma vez fixada uma de suas bases. Definição 1.9 Seja X um espaço normado. Um subconjunto A é limitado, se existir M > 0 tal que a M para todo a A. Exemplo 1.10 Seja X = um conjunto arbitrário. Defina B(X, K) = { f : X K : f (X) é limitado}. Esse conjunto é um subespaço do espaço das funções f : X K, apresentado no Exemplo 1.3. As funções em B(X, K) são as funções limitadas. Em B(X, K) definimos f = sup f (x). x X É fácil verificar que é uma norma nesse espaço (veja o Exercício 7). Em particular, se X = N (veja o Exemplo 1.4), é usual denotar o espaço B(N, K) por l, o espaço de todas as seqüências limitadas: (x n ) = sup x n. n N Exemplo 1.11 Sejam a, b R, com a < b. Consideremos o espaço vetorial de dimensão infinita C 1( [a, b], K ) = { f : [a, b] K : f C 1 }. Uma vez que toda função contínua definida em [a, b] atinge máximo nesse conjunto (veja, em caso de dúvidas, o Corolário 1.26), podemos considerar a norma f C 1 = max f (t) + max f (t) = f + f. t [a,b] t [a,b] Você seria capaz de definir outras normas nesse espaço? Podemos facilmente generalizar esse exemplo e considerar o espaço normado C k( [a, b], K ), com k = 0, 1,... (Qual é a adaptação da norma C 1 para esses espaços?) É usual denotar o espaço C 0( [a, b], K ) simplesmente por C ( [a, b], K ). Note que o espaço C ( [a, b], K ) é um subespaço do espaço B ( [a, b], K ), introduzido no Exemplo Conjuntos Abertos e Fechados Sejam X um espaço normado, x X e r > 0. Definimos a bola aberta B r (x), a bola fechada B r (x) e a esfera S r (x), respectivamente, por B r (x) = {y X : y x < r} B r (x) = {y X : y x r} S r (x) = {y X : y x = r}

5 1.3. CONJUNTOS ABERTOS E FECHADOS 5 Em cada caso, x é o centro e r > 0 é o raio. Um subconjunto A X é aberto se, para todo a A, existir r > 0 tal que B r (a) A. Um subconjunto F X é fechado, se X \ F = F c = F for um conjunto aberto. O próximo resultado, cuja demonstração é simples (veja o Exercício 10), exibe propriedades básicas de conjuntos abertos e fechados: Proposição 1.12 Seja X um espaço normado. São válidas as afirmativas: (i) uma união arbitrária de conjuntos abertos é um conjunto aberto; (ii) uma interseção finita de conjuntos abertos é um conjunto aberto; (iii) uma união finita de conjuntos fechados é um conjunto fechado; (iv) uma interseção arbitrária de conjuntos fechados é um conjunto fechado. Note que X e são conjuntos que são, simultaneamente, abertos e fechados no espaço normado X. Definição 1.13 Sejam X um espaço normado e (x n ) uma sequência em X. Dizemos que a sequência (x n ) converge a x X, ou que x é o limite da sequência (x n ), denotado por x n x ou lim x n = x, se, para todo ɛ > 0 dado, existir n 0 N tal que n n 0 implica x n x < ɛ. n Equivalentemente, x n x x n x 0. Assim, a convergência em um espaço normado é o mesmo que a convergência da sequência numérica ( x n x ). Uma caracterização alternativa de um conjunto fechado é oferecida pelo seguinte resultado: Teorema 1.14 Seja X um espaço normado. Um subconjunto F é fechado se, e somente se, qualquer sequência convergente (x n ) de elementos de F possuir seu limite em F. Demonstração: Suponhamos que (x n ) convirja para x F. Como X \ F é aberto, existe r > 0 tal que B r (x) X \ F. Como (x n ) converge para x, temos que x n B r (x) para n suficientemente grande. Mas isso é uma contradição, pois x n F para todo n N. Por outro lado, se F não for fechado, então o conjunto X \ F não é aberto. Assim, existe x X \ F tal que B r (x) contém elementos de F para todo r > 0. Escolhendo r = 1/n para todo natural n 1, construímos uma seqüência (x n ) tal que x n x e x n F. Mas, por hipótese, isso implica x F, contradizendo x X \ F. Sejam X um espaço normado e W um subconjunto qualquer. Definimos o fecho de W como sendo o conjunto W caracterizado por x W (x n ) W : x n x. O relacionamento entre o fecho e conjuntos fechados é dado pelo seguinte resultado, que decorre imediatamente do Teorema 1.14: Corolário 1.15 Seja X um espaço normado. Um subconjunto F é fechado se, e somente se, F = F.

6 6 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS NORMADOS Em algumas situações precisamos de um conceito mais geral de conjuntos abertos e fechados: Definição 1.16 Sejam X um espaço normado e U um subconjunto qualquer de X. Um subconjunto A U é aberto em U se, para todo a A, existir r > 0 tal que B r (a) U A. Um subconjunto F U é fechado em U, se U \ F for um conjunto aberto em U. É fácil verificar que um conjunto A U é aberto se, e somente se, existir um aberto V X tal que A = V U. Da mesma forma, F U é fechado, se e somente se, existir um fechado H X tal que F = H U. (Veja o Exercício 11). Por exemplo, (1/2, 1] é aberto em [0, 1] R (pois (1/2, 1] = (1/2, 2) [0, 1]), enquanto (0, 1/2] é fechado em (0, 1) R (pois (0, 1/2] = [ 1, 1/2] (0, 1)). Definição 1.17 Um subconjunto S de um espaço normado X é denso em X, se S = X. S é separável, se possuir um subconjunto enumerável denso em S. O conjunto dos racionais é denso em R. No decorrer deste curso teremos a oportunidade de trabalhar com vários conjuntos que são densos em espaços normados. 1.4 Aplicações Contínuas Definição 1.18 Sejam X, Y espaços normados e A = um subconjunto de X. Uma aplicação f : A X Y é contínua no ponto a A se, para todo ɛ > 0 dado, existir δ > 0 tal que x A e x a < δ f (x) f (a) < ɛ. Quer dizer, dado ɛ > 0, existe uma bola aberta B δ (a) tal que f (B δ (a) A) B ɛ ( f (a)). Se f for contínua em todos os pontos a A, dizemos que f é contínua em A ou, simplesmente, que f é contínua. Uma caracterização da continuidade de uma aplicação é dada por: Teorema 1.19 Sejam X, Y espaços normados. Uma aplicação f : A X Y é contínua no ponto a A se, e somente se, toda seqüência (x k ) A com x k a satisfizer f (x k ) f (a). Demonstração: Dado ɛ > 0, a continuidade de f em a garante a existência de δ > 0 tal que f (B δ (a) A) B ɛ ( f (a)). Como x k a, existe n 0 N tal que n n 0 implica x n B δ (a). Decorre daí que f (x k ) B ɛ ( f (a)) para todo n n 0, provando que f (x k ) f (a). Reciprocamente, se f for descontínua no ponto a, existem ɛ > 0 e x n B 1/n (a) A tais que f (x n ) f (a) > ɛ, para todo n N suficientemente grande. A seqüência assim construída converge para a, mas f (x n ) não converge para f (a). Caracterizações alternativas da continuidade de uma aplicação são dadas pelo seguinte resultado: Teorema 1.20 Sejam X, Y espaços normados e f : A X Y uma aplicação. São equivalentes: (i) f é contínua; (ii) a imagem inversa f 1 (U) de todo conjunto aberto U Y for um conjunto aberto em A;

7 1.5. CONJUNTOS COMPACTOS 7 (iii) a imagem inversa f 1 (F) de todo conjunto fechado F Y for um conjunto fechado em A. Demonstração: Suponhamos que f seja contínua e tomemos arbitrariamente x f 1 (U). Isso quer dizer que f (x) U. Como U é aberto, existe ɛ > 0 tal que B ɛ ( f (x)) U. Como f é contínua, existe δ > 0 tal que f (B δ (x) A) B ɛ ( f (x)) U. Isso quer dizer que B δ (x) A f 1 (U), mostrando que f 1 (U) é aberto e provando que (i) implica (ii). Supondo (ii), dados x A e ɛ > 0, considere o aberto U = B ɛ ( f (x)) Y. Como f 1 (U) é aberto, esse conjunto tem a forma V A, em que V X é um aberto, com x V A. Como V é aberto, existe δ > 0 tal que B δ (x) A V A. Assim, f (B δ (x) A) B ɛ ( f (x)), mostrando a continuidade de f no ponto x A. Como esse ponto é arbitrário, completamos a prova de (i). Assim, as duas primeiras afirmações são equivalentes. Tomando o complementar de A \ F, verificamos a equivalência entre (ii) e (iii). Note que, se A = X, as imagens inversas dos itens (ii) e (iii) do Teorema 1.20 são, respectivamente, conjuntos abertos e fechados no espaço normado X. No caso especial B Y for um conjunto com um único elemento x, denotamos f 1 (B) = f 1( {x} ) simplesmente por f 1 (x). A demonstração do próximo resultado é imediata (veja o Exercício 14). Proposição 1.21 Sejam X, Y e Z espaços normados. Se as aplicações f : A X Y e g : B Y Z forem contínuas nos pontos a A e f (a) B, então g f : A Z é contínua no ponto a. Em particular, se f (A) B e se f e g forem contínuas, então g f é contínua. 1.5 Conjuntos Compactos Definição 1.22 Seja X um espaço normado. Um conjunto K X é compacto, 2 se toda seqüência (x n ) de elementos de K possuir uma subseqüência que converge para um elemento de K. Um conjunto R é relativamente compacto se R for compacto. O próximo resultado tem demonstração imediata (veja o Exercício 10): Proposição 1.23 Um subconjunto fechado de um conjunto compacto é compacto. Mostraremos agora um resultado fundamental: Teorema 1.24 Sejam X um espaço normado e K X um conjunto compacto. Então K é limitado e fechado. Demonstração: De acordo com o Teorema 1.14, para provarmos que K é fechado, basta mostrar que toda seqüência convergente (x n ) K possui seu limite x em K. Mas, por hipótese, existe uma subseqüência (x nj ) tal que x nj y K. A unicidade do limite de (x n ) garante que x n y. Mas isso implica que x = y e, portanto, x K. Suponhamos, agora, que K não seja limitado. Isso quer dizer que existe uma seqüência (x n ) K tal 2 Mais precisamente, estamos definindo o que é um conjunto sequencialmente compacto. Veja a Definição 1.80 para a noção de compacto definida por meio de coberturas e o Exercício 49 para a equivalência entre as duas definições.

8 8 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS NORMADOS que x n n para todo n N. Essa seqüência não possui subseqüência convergente e, portanto, K não pode ser compacto. O próximo resultado tem consequências muito importantes: Teorema 1.25 Sejam X, Y espaços normados. A imagem de um conjunto compacto K A por uma aplicação contínua f : A X Y é um conjunto compacto. Demonstração: Dada uma seqüência (y k ) f (K), para todo k N existe x k K tal que f (x k ) = y k. Como K é compacto, a seqüência (x k ) possui subseqüência convergente: x kj x 0 K. Em virtude do Teorema 1.19, temos que (y kj ) = ( f (x kj )) converge para f (x 0 ). Corolário 1.26 Sejam X um espaço normado e f : A X R uma função contínua. Se K A for compacto, então f assume máximo e mínimo em K. Ou seja, existem x m, x M K tais que f (x m ) f (x) f (x M ), x K. Demonstração: Como f (K) é limitado e fechado, os números sup R são atingidos em pontos x M K e x m K, respectivamente. x K f (x) R e inf x K f (x) Em muitas situações, consideramos a restrição de uma aplicação contínua a um subconjunto compacto. Aplicações contínuas definidas em compactos tem um comportamento muito especial, como veremos. Definição 1.27 Sejam X, Y espaços normados. Uma aplicação f : A X Y é uniformemente contínua no conjunto A se, para todo ɛ > 0 dado, existir δ > 0 tal que x y < δ f (x) f (y) < ɛ, para quaisquer x, y A. Se existir uma constante λ > 0 tal que f (x) f (y) λ x y, então dizemos que f é lipschitziana com constante de Lipschitz λ. Compare com a definição de continuidade da aplicação f : A Y, que se dá numa vizinhança de cada ponto x A: para cada ɛ > 0 e x A, existe δ = δ(x) tal que y x < δ e y A implicam f (y) f (x) < ɛ. A noção de continuidade uniforme é um conceito global, pois nos informa sobre o comportamento de f em todos os pontos de A: para cada ɛ > 0, o valor de δ independe do ponto x A. Note que toda aplicação lipschitziana é uniformemente contínua. Exemplo 1.28 No espaço normado X, uma norma : X R é lipschitziana. De fato, x y x y. Teorema 1.29 Sejam X, Y espaços normados e K X um conjunto compacto. Toda aplicação contínua f : K X Y é uniformemente contínua.

9 1.6. CONVERGÊNCIAS PONTUAL E UNIFORME 9 Demonstração: Suponhamos que f não seja uniformemente contínua. Então existiriam ɛ > 0 e pontos x n, y n A tais que x n y n < 1 n e f (x n) f (y n ) ɛ. Passando a uma subsequência, se necessário, podemos supor que x n x K, pois x n pertence ao compacto K. Daí, concluímos (para essa subsequência) que y n x. A continuidade de f no ponto x garante, então, que (veja o Exemplo 1.28) lim f (x ( n) f (y n ) = lim f (xn ) f (y n ) ) = f (x) f (x) = 0, n n o que é uma contradição com f (x n ) f (y n ) ɛ para todo n N. Assim, f é uniformemente contínua. Nas condições do Teorema 1.29 e com A K arbitrário, podemos concluir que a restrição f : A Y é uniformemente contínua. O Teorema 1.29 também é utilizado em combinação com a Desigualdade do Valor Médio (veja [21] ou [24]). 1.6 Convergências Pontual e Uniforme Como os espaços considerados neste texto são, em geral, espaços de funções, é importante considerarmos e compararmos diferentes noções de convergência neles. Definição 1.30 Sejam A um conjunto qualquer e Y um espaço normado. Uma seqüência ( f n ) de aplicações f n : A Y converge pontualmente para a aplicação f : A Y se, para todo x A, tem-se f n (x) f (x). A seqüência ( f n ) converge uniformemente para f se, dado ɛ > 0, existe n 0 N tal que n n 0 f n (x) f (x) < ɛ, x A. A convergência uniforme de uma seqüência de funções será denotada por f n f uniformemente ou f n f. Na convergência pontual, dado ɛ > 0 e fixado x A, existe n 0 N tal que n n 0 implica f n (x) f (x) < ɛ. Mas esse valor de n 0 pode depender do ponto x A. Essa dependência não existe no caso da convergência uniforme. (Note que a convergência uniforme implica a convergência pontual.) R f.t/c f n.t/ f.t/ f.t/ a Figura 1.1: Uma seqüência f n : [a, b] R converge uniformemente para f : [a, b] R se, dado ɛ > 0, existir n 0 N tal que n n 0 implica f n (t) f (t) < ɛ para todo t [a, b]. b R

10 10 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS NORMADOS Observe que as definições de convergência pontual e uniforme utilizam apenas a norma do espaço Y. Uma vez que F = { f : A Y} é um espaço vetorial, é natural perguntar se podemos definir uma norma em F de forma que a convergência nessa norma seja equivalente às convergências pontual e uniforme. Exemplo 1.31 Consideremos o espaço normado C ( [a, b], R ), mencionado no Exemplo 1.11, com sua norma f = sup f (t). t [a,b] Vale f n f f n f 0, pois f n f ɛ se, e somente se, f n (t) f (t) ɛ para todo t [a, b]. Por esse motivo, é chamada norma da convergência uniforme. Uma outra notação usual para é sup. Exemplo 1.32 No mesmo espaço C ( [a, b], R ) tratado no Exemplo anterior, consideremos a questão: existe alguma norma nesse espaço que produza a convergência pontual, isto é, existe tal que f n f 0 f n (t) f (t), t [a, b]? Para responder a essa pergunta, consideremos [a, b] = [0, 1] e a seqüência de funções g n : [0, 1] R definida por 2 n t, se 0 t 2 n, g n (t) = 2 2 n t, se 2 n t 2 1 n, 0, nos demais casos. g n.t/ n Figura 1.2: A seqüência g n : [0, 1] R converge pontualmente para g 0. Para todo t [0, 1] temos que g n (t) 0. De fato, se t > 0, temos que g n (t) = 0 sempre que 2 1 n < t. Assim, g n (t) 0 para todo t > 0. Por outro lado, g n (0) = 0 para todo n, o que completa a prova de nossa afirmação. Consideremos então essa norma arbitrária em C ( [0, 1], R ). Como g n = 0 para todo n N, temos g n = c n > 0. Definimos então f n = g n / g n. A função f n tem gráfico semelhante ao da função g n, de modo que f n (x) 0 para todo x [0, 1]. Claramente f n = 1, de modo que f n não converge na norma para a função 0. Isso mostra que não existe uma norma em C ( [0, 1], R ) para a qual a convergência seja o mesmo que convergência pontual. t

11 1.7. ESPAÇOS DE BANACH 11 Teorema 1.33 Sejam X, Y espaços normados e f n : A X Y. Se f n convergir uniformemente para f, e se as aplicações f n forem todas contínuas no ponto a A, então f é contínua no ponto a. Em particular, se as aplicações f n forem contínuas, a aplicação f é contínua. Demonstração: Dado ɛ > 0, tome n 0 N tal que f n (x) f (x) < ɛ/3 para todo n n 0 e x A. Como f n é contínua no ponto a A, existe δ > 0 tal que x A e x a < δ f n (x) f n (a) < ɛ 3. Logo, se x A e x a < δ, vale f (x) f (a) f (x) f n (x) + f n (x) f n (a) + f n (a) f (a) < ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ, desde que tomemos n n 0. Exemplo 1.34 Considere a seqüência f n (t) = t n, com t [0, 1]. Claramente f n (t) 0 para todo t [0, 1) e f n (1) = 1. Assim, f n converge pontualmente para a função f (t) = { 0, se t [0, 1); 1, se t = 1. Logo, f n não converge uniformemente para f, pois cada f n é contínua, enquanto f é descontínua em t = Espaços de Banach Definição 1.35 Uma seqüência (x n ) num espaço normado X é de Cauchy se, para todo ɛ > 0 dado, existir n 0 N tal que m, n n 0 x m x n < ɛ. Não é difícil mostrar que toda seqüência convergente é de Cauchy. Além disso, toda seqüência de Cauchy é limitada e, se uma seqüência de Cauchy admitir uma subseqüência convergente, então a própria seqüência é convergente, convergindo para o mesmo limite da subsequência. (Veja o Exercício 18.) Proposição 1.36 Sejam X, Y espaços normados e f : A X Y uma aplicação uniformemente contínua. Então, se (x n ) A for uma seqüência de Cauchy, ( f (x n )) Y é de Cauchy. Demonstração: Seja (x n ) uma seqüência de Cauchy em A. Dado ɛ > 0, o fato de f ser uniformemente contínua garante a existência de δ > 0 tal que, se x, y A e x y < δ, então f (x) f (y) < ɛ. Como (x n ) é de Cauchy, existe n 0 N tal que m, n n 0 implica x m x n < δ. Portanto, n, m n 0 f (x m ) f (x n ) < ɛ.

12 12 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS NORMADOS Definição 1.37 Seja X um espaço normado. Um subconjunto F X é completo, se toda seqüência de Cauchy de elementos de F convergir para um elemento de F. Um espaço normado completo é chamado espaço de Banach. Exemplo 1.38 A reta real ( R, ) é um espaço normado completo, como sabemos de um curso de Análise na Reta. Passando às coordenadas de uma seqüência de Cauchy no R n com qualquer de suas normas habituais (introduzidas no Exemplo 1.8), verificamos que esse espaço é completo, pois essas coordenadas também são seqüências de Cauchy. A identificação de (x, y) R 2 com x + iy C nos permite concluir que ( C, ) é completo e, como no caso do R n, vemos que C n é completo com qualquer das normas do Exemplo 1.8. Assim, para todo n N, concluímos que K n é completo com qualquer de suas normas habituais. Observação 1.39 Considerando uma seqüência (x n ) em K n com uma norma arbitrária, (ainda) não podemos concluir que cada uma das coordenadas de (x n ) também é uma seqüência de Cauchy. Por esse motivo, o Exemplo 1.38 exige que a norma considerada em K n seja uma das normas habituais. Exemplo 1.40 Todo subespaço fechado F de um espaço de Banach X é, por si, um espaço de Banach. De fato, se (x n ) F for uma seqüência de Cauchy, (x n ) converge para x 0 X. Como F é fechado, x 0 F. 1.8 Aplicações Lineares Contínuas Se X e Y forem espaços normados, nem toda aplicação linear T : X Y é contínua. Para mostrarmos esse fato, começamos caracterizando a continuidade de aplicações lineares: 3 Teorema 1.41 Sejam X e Y espaços normados e T : X Y uma aplicação linear. equivalentes as propriedades: São (i) existe M > 0 tal que Tx M x para todo x X; (ii) T é lipschitziana: Tx Ty M x y ; (iii) T é contínua na origem; (iv) T é limitada: sup Tx = M <. x 1 Demonstração: Como Tx Ty = T(x y) M x y, vemos que (i) implica (ii). É claro que (ii) implica (iii). Se T for contínua na origem, existe δ > 0 tal que Ty 1, para y δ. Se x 1, então δx δ e, portanto, T(δx) 1. Isso garante que Tx (1/δ), provando (iv). Finalmente, se x = 0, então x/ x tem norma 1 e, portanto, T (x/ x ) M. Daí segue-se que Tx M x para todo x, mostrando que (iv) implica (i). 3 Em geral, representaremos uma aplicação linear por uma letra latina maiúscula: R, S, T etc. Contudo, funcionais lineares, isto é, aplicações lineares de X em K, geralmente serão representadas por letras minúsculas: f, g, α etc. No caso de aplicações lineares, usualmente denotaremos T(x) por Tx, reservando o uso de parênteses para situações que puderem suscitar dúvidas. Contudo, manteremos o uso de parênteses no caso de funcionais lineares: f (x), γ(y) etc.

13 1.9. NORMAS EQUIVALENTES 13 Observação 1.42 Note que a definição de uma aplicação linear limitada é diferente daquela de uma aplicação (não linear) limitada, de acordo com o Exemplo Exemplo 1.43 Consideremos o espaço R[t], abordado no Exemplo 1.5. Definimos, para p R[t], p = sup t [0,1/2] p(t). O Teorema Fundamental da Álgebra garante que é uma norma em R[t]. Definimos agora α : (R[t], ) (R, ) por α(p) = p(1). Claramente α é linear. Mas α é descontínua no polinômio p = 0. De fato, tomando ɛ = 1, consideremos o polinômio p n (t) = t n. (Compare com o Exemplo 1.34.) Claramente p n 0 = 1/2 n, enquanto α(p n ) 0 = 1 para todo n N. Corolário 1.44 Seja T : X Y uma aplicação linear sobrejetora. Então, T é um homeomorfismo 4 linear (isto é, uma bijeção linear contínua com inversa contínua) se, e somente se, existirem constantes κ > 0 e λ > 0 tais que κ x Tx λ x. Demonstração: Se T for um homeomorfismo linear, existem λ > 0 e µ > 0 tais que Tx λ x e T 1 y µ y. Mas Tx = y se, e somente se, x = T 1 y. Assim, a última desigualdade é o mesmo que κ x Tx, com κ = µ 1. Reciprocamente, a desigualdade Tx λ x garante que a aplicação linear T é contínua. Mas κ x Tx garante que T é injetora. Como T é sobrejetora, existe T 1 : Y X. Assim, κ x Tx se, e somente se, T 1 y κ 1 y, mostrando que T 1 é contínua. Compare o Corolário 1.44 com o Exercício?? do Capítulo??. Exemplo 1.45 Seja X um espaço de dimensão finita, B = {x 1,..., x n } uma base de X e uma norma em K n. Consideremos, como no Exemplo 1.8, a aplicação I : ( ) ( X, X K n, ) definida por Ix = [x] B K n, em que X denota a norma ( induzida ) ( por. A aplicação I é um homeomorfismo linear entre os espaços X, X e K n, ), pois Ix = x X. 1.9 Normas Equivalentes Algumas vezes, um espaço vetorial X é espaço normado com diferentes escolhas de normas (veja o Exemplo 1.8). Cada uma dessas normas define, em princípio, diferentes topologias, isto é, diferentes conceitos do que seja um conjunto aberto. 5 Pode ser importante saber se um conjunto aberto em uma topologia também é aberto na outra topologia. É o que agora tratamos. 4 O significado da palavra isomorfismo depende do contexto considerado. Assim, na Álgebra Linear, designa simplesmente uma bijeção linear T : X Y. No contexto de espaços vetoriais normados, adicionalmente exige que T e T 1 sejam contínuas. Para não causar dúvidas, evitaremos a utilização da palavra isomorfismo. 5 Note que conceitos como conjunto limitado, fechado, aplicação contínua etc, são todos dependentes da topologia considerada.

14 14 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS NORMADOS Definição 1.46 Duas normas 0 e 1 num espaço X são equivalentes, se a aplicação identidade I: (X, 0 ) (X, 1 ) for um homeomorfismo. Em outras palavras, quando existirem constantes κ > 0 e λ > 0 de modo que κ x 0 < x 1 λ x 0. Resulta dessa definição que um conjunto aberto na topologia gerada pela norma 0 é um conjunto aberto na topologia gerada pela norma 1, e vice-versa. Assim, as duas topologias definem os mesmos conjuntos abertos. (Veja o Exercício 19.) Exemplo 1.47 Sejam X, Y espaços normados. É fácil verificar que o produto cartesiano X Y é um espaço vetorial. Podemos imitar as normas definidas no espaço K n (veja o Exemplo 1.8) e introduzir diferentes normas em X Y. De fato, (x, y) = x 2 + y 2, (x, y) s = x + y, (x, y) = max { x, y }, são normas em X Y, como verificamos facilmente. (A desigualdade triangular, no caso da norma, pode ser provada utilizando-se a desigualdade de Cauchy-Schwarz veja o Capítulo?? ou ser obtida como conseqüência do Teorema 1.74.) Conforme o Exercício 20, temos (x, y) (x, y) (x, y) s 2 (x, y), mostrando que essas normas são equivalentes. Com qualquer dessas normas, dizemos que X Y está munido da topologia produto. Esse exemplo generaliza-se para o produto cartesiano X 1 X n de n espaços normados. Como consequência, as normas habituais do espaço K n, definidas no Exemplo 1.8, são todas equivalentes. (Veja o Exercício 21.) 1.10 Espaços Normados de Dimensão Finita Nesta seção estudaremos propriedades que caracterizam os espaços normados de dimensão finita. Se X tiver dimensão finita, vamos mostrar que todas as normas em X são equivalentes e que toda aplicação linear T : X Y entre espaços normados é contínua. Começamos recordando um resultado básico, cuja demonstração omitimos: seqüências limitadas de números reais possuem subseqüências convergentes. Esse resultado continua válido em ( C, ) : dada uma seqüência limitada (z k ) C, identificamos z k = (x k, y k ). A seqüência real (x k ) é limitada 6 e possui, portanto, uma subseqüência convergente (x kj ). Por sua vez, a subseqüência real (y kj ) também é limitada e possui, assim, uma subseqüência convergente (y kjl ). Logo, (z kjl ) = ((x kjl, y kjl )) é uma subseqüência convergente. Escolhida uma base do espaço de dimensão finita X, podemos generalizar esse resultado para X com qualquer de suas normas habituais (introduzidas no Exemplo 1.8): passamos sucessivamente, como no caso de K = C, a subseqüências convergentes de cada uma das coordenadas da representação 6 De acordo com o Exercício 4.

15 1.10. ESPAÇOS NORMADOS DE DIMENSÃO FINITA 15 na base B de uma seqüência limitada em X. (Veja o Exercício 22.) Além disso, conjuntos limitados e fechados K X são compactos: dada uma seqüência (x n ) em K, ela possui uma subseqüência convergente (x nj ). Como K é fechado, x nj x K. Temos, assim: Teorema 1.48 (Bolzano-Weierstraß - Versão Preliminar) Seja X um espaço de dimensão finita com qualquer de suas normas habituais. Então toda seqüência limitada possui uma subseqüência convergente. Em particular, se K X for limitado e fechado, então K é compacto. Observação 1.49 Note que (ainda) não sabemos que, com relação a uma norma arbitrária no espaço de dimensão finita X, as coordenadas de uma seqüência limitada em X também formam seqüências limitadas! Teorema 1.50 Todas as normas em um espaço X de dimensão finita são equivalentes. Demonstração: Seja uma norma arbitrária no espaço X. Escolha uma base B = {x 1,..., x n } em X e considere x = α 1 x α n x n X. Como já vimos no Exemplo 1.8, x s = i=1 n α i define uma norma em X. Vamos mostrar que as normas e s são equivalentes. Temos que x = n i=1 α i x i n α i x i max x i i=1 1 i n n i=1 α i = λ x s, (1.2) em que λ = max x i. Essa desigualdade mostra que a aplicação identidade 1 i n I: ( ) ( ) X, s X, é contínua. Resta mostrar que κ x s x para algum κ > 0. Suponhamos que essa desigualdade não se verifique. Então, para cada n N, poderíamos encontrar x n X tal que x n s > n x n e, definindo u n = x n / x n s, teríamos que (u n ) é uma seqüência tal que u n s = 1. De acordo com o Teorema de Bolzano-Weierstraß (versão preliminar), existiria uma subseqüência (u nj ) que convergiria para u em ( ) X, s. Como u nj s = 1, teríamos que u s = 1. Por outro lado, com relação à norma, valeria u n = x n / x n s < 1/n e, portanto, u u u nj + u nj λ u u nj s + 1 n j. O lado direito da desigualdade tende a zero quando j, o que implica que u = 0 e, portanto, u = 0. Isso é uma contradição, pois u s = 1. Corolário 1.51 Todo espaço normado de dimensão finita é completo. Demonstração: De fato, normas equivalentes geram as mesmas sequências de Cauchy. Assim, se x n x 0 em uma norma, então x n x 0 na outra norma. Como já vimos que K n é completo com qualquer norma das normas definidas no Exemplo 1.8, ele também é completo com uma norma arbitrária. Tendo em vista o Exemplo 1.45, isso significa que (X, X ) é completo. Mas, como todas as normas em X são equivalentes, o espaço X é completo com uma norma arbitrária.

16 16 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS NORMADOS Corolário 1.52 (Bolzano-Weierstraß) Conjuntos limitados e fechados de um espaço normado de dimensão finita X são compactos. Demonstração: Considerado com qualquer de suas normas habituais, o Teorema de Bolzano-Weierstraß 1.48 garante que qualquer conjunto K X limitado e fechado é compacto. Como todas as normas em X são equivalentes, o resultado decorre. Exemplo 1.53 Conjuntos limitados e fechados de um espaço normado de dimensão infinita não são, necessariamente, compactos. Consideremos, por exemplo, o espaço C ( [0, 1], R ) com a norma, tal qual no Exemplo A bola B 1 (0) C ( [0, 1], R ) é um conjunto limitado e fechado, mas não é compacto. Com efeito, considere a seqüência ( f n ) B 1 (0), em que f n (t) = t n. Como a convergência em C ( [0, 1], R ) é uniforme, o Teorema 1.33 garante que ( f n ) não possui subseqüência convergente. Compare o que fizemos aqui com o Exemplo Corolário 1.54 Sejam X, Y espaços normados sobre o corpo K. Se X tiver dimensão finita, então toda aplicação linear T : X Y é contínua. Demonstração: Considere x = α 1 x α n x n, em que {x 1,..., x n } é uma base de X. Então n n Tx = α i x i max Tx i α i = λ x s, i=1 1 i n em que λ = max 1 i n Tx i e x s = i=1 n α i é uma norma em X. Como todas as normas em X são equivalentes, o resultado está provado. i=1 Definição 1.55 Seja X um espaço normado e A X um subconjunto não vazio arbitrário. Definimos a distância do ponto x 0 X ao conjunto A, denotada dist (x 0, A), por { dist (x 0, A) = inf x0 a : a A }. a A Teorema 1.56 (F. Riesz) Seja Y X um subespaço fechado de um espaço normado X, com Y = X. Então, dado 0 < ɛ < 1, existe x ɛ X, com x ɛ = 1, tal que dist (x ɛ, Y) > 1 ɛ. Demonstração: Escolha arbitrariamente x X tal que x Y. Seja δ = dist (x, Y). De acordo com o Exercício 24, temos δ > 0. Dado ɛ > 0, escolha y 0 Y tal que δ x y 0 δ(1 + ɛ). Definimos então Vale x ɛ = 1 e, para todo y Y, y x ɛ = x ɛ = x y 0 x y 0. y + y 0 x x y 0 = 1 x y 0 y x y 0 + y 0 x δ x y 0 δ δ(1 + ɛ) > 1 ɛ.

17 1.11. O TEOREMA DE ARZELÀ-ASCOLI 17 (A primeira desigualdade é conseqüência de y x y 0 + y 0 Y e dist (x, Y) δ; a última, de propriedade da série geométrica.) O Exercício 26 pede que se mostre que, se X tiver dimensão finita, então podemos tomar ɛ = 0. Diferindo bastante de nossa concepção usual do espaço K n, o mesmo pode não acontecer em um espaço normado de dimensão infinita: dado um subespaço fechado Y de um espaço de Banach X, pode não existir um ponto x B 1 (0) X tal que d(x, Y) = 1 (veja o Exercício 27). Corolário 1.57 Seja X um espaço normado. Conjuntos limitados e fechados de X são compactos se, e somente se, X tiver dimensão finita. Demonstração: Suponhamos que X não tenha dimensão finita. Tome 0 < ɛ < 1. A aplicação do Teorema 1.56 garante então a existência de uma seqüência x n X, com x n = 1 e x n x m > 1 ɛ para m = n. De fato, escolha x 1 com norma unitária e, supondo escolhidos indutivamente x 2,..., x n, defina Y como o espaço vetorial de dimensão finita gerado por x 1,..., x n. Como Y é fechado, podemos tomar um vetor unitário x n+1 X com dist (x n+1, Y) > 1 ɛ. Então x n+1 x m dist (x n+1, Y) > 1 ɛ para m = 1,..., n. A seqüência assim escolhida é limitada, mas não possui subseqüência convergente. Por outro lado, se dim X = n, então o Corolário 1.52 garante que conjuntos limitados e fechados são compactos. Observação 1.58 Seja X um espaço normado. Corolário 1.57 são os seguintes: Enunciados equivalentes para o (i) toda seqüência limitada em X possui subseqüência convergente se, e somente se, dim X < ; (ii) se r > 0, a bola B r (0) em X é compacta se, e somente se, dim X <. Uma conseqüência importante do Corolário 1.57 é que, em um espaço de dimensão infinita, conjuntos compactos sempre têm interior vazio. (Veja os Exercícios 30 e 31.) 1.11 O Teorema de Arzelà-Ascoli Como vimos, em espaços de dimensão infinita a caracterização de subconjuntos compactos exige mais do conjunto do que ele ser limitado e fechado. Mas conjuntos compactos são fundamentais: neles, sequências possuem subsequências convergentes, o que é uma propriedade importante em muitas aplicações. Em certos espaços de funções temos um critério alternativo para mostrar a compacidade de subconjuntos. O principal desses resultados é o Teorema de Arzelà-Ascoli, que apresentaremos nesta seção. Sejam X um espaço normado, S X um compacto e Y um espaço de Banach. No enunciado do Teorema de Arzelà-Ascoli lidamos com o espaço de Banach 7 C(S, Y) = { f : S Y : f é contínua }. 7 Veja os Exercícios 35 e 36.

18 18 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS NORMADOS Observação 1.59 Com a norma de C(S, Y), a aplicação v x : C(S, Y) Y, definida por v x ( f ) = f (x) satisfaz f g sup < δ v x ( f ) v x (g) = f (x) g(x) < δ. Definição 1.60 Um subconjunto A C(S, Y) é equicontínuo em um ponto x 0 S se, dado ɛ > 0 existir δ > 0 tal que x S, x x 0 < δ f (x) f (x 0 ) ɛ, f A. O subconjunto A é equicontínuo, se for equicontínuo em cada um de seus pontos. O conjunto A é uniformemente equicontínuo se, dado ɛ > 0, existir δ > 0 tal que x, y S, x y < δ f (x) f (y) < ɛ, f A. Lema 1.61 Seja A C(S, Y) um subconjunto equicontínuo. equicontínuo. Então A é uniformemente Demonstração: Caso contrário, existiriam ɛ > 0, sequências (x j ), (y j ) S, com x j y j 1/n e uma sequência ( f j ) em A, tais que f j (x j ) f j (y j ) ɛ. Como S é compacto, passando a uma subsequência, podemos supor que x j x 0 e, portanto, y j x 0. Mas então ɛ f j (x j ) f j (x 0 ) + f j (x 0 ) f j (y j ), o que contradiz a equicontinuidade de A no ponto x 0. (Note que não estamos supondo que ( f j ) convirja!) Definição 1.62 Um subconjunto A de um normado X é totalmente limitado se, para todo ɛ > 0 dado, existirem pontos x 1,..., x m A tais que A m B ɛ (x i ). i=1 Lema 1.63 Seja K um conjunto compacto de um espaço normado X. Então K é completo e totalmente limitado. Demonstração: Uma vez que toda sequência de Cauchy em K converge para um ponto de K (pois possui uma subseqüência convergente), vemos que K é completo. Se K não fosse totalmente limitado, existiriam ɛ > 0 e uma seqüência (x n ) em K com x i x j ɛ para i = j. Essa seqüência não admite subseqüência convergente, o que contradiz a hipótese. Observação 1.64 Em um espaço normado X, um subconjunto A X é compacto se, e somente se, A for completo e totalmente limitado. Veja o Exercício 49. Lema 1.65 Todo conjunto totalmente limitado T é separável.

19 1.11. O TEOREMA DE ARZELÀ-ASCOLI 19 Demonstração: Para cada n N e x T, existe um conjunto finito F n T tal que sup y Fn x y < 1/n. Seja F = n N F n. Então F é enumerável e denso em T. Teorema 1.66 (Arzelà-Ascoli) Um subconjunto E C(S, Y) é relativamente compacto se, e somente se, E for equicontínuo e, para cada x X, E(x) = { f (x) : f E} for relativamente compacto em Y. Demonstração: Suponhamos que E seja relativamente compacto. Como a aplicação v x : C(S, Y) Y definida por v x ( f ) = f (x) é contínua, temos que v x (Ē) é compacto. Uma vez que v x (E) v x (Ē), concluímos que E(x) é relativamente compacto. Como E é totalmente limitado (Lema 1.63), dado ɛ > 0, existem funções f i tais que E n ɛ i=1 Assim, para todo f E, existe i tal que B ɛ/3 ( f i ). e, para todos x, x 0 S, temos f f i sup < ɛ 3 f (x) f (x 0 ) f (x) f i (x) + f i (x) f i (x 0 ) + f i (x 0 ) f (x 0 ) 2 ɛ 3 + max 1 i n ɛ f i (x) f i (x 0 ). Como cada função f i é uniformemente contínua, existe δ > 0 tal que x x 0 < δ implica f i (x) f i (x 0 ) < ɛ/3 para todo 1 i n ɛ, o que garante que E é equicontínuo. Reciprocamente, seja R 1 = { f 11, f 12,..., f 1n,...} uma sequência arbitrária em E. De acordo com o Lema 1.65, existe um conjunto D = {x 1,..., x n,...} S denso em S. Por hipótese, o conjunto R 1 (x 1 ) = { f 11 (x 1 ),..., f 1n (x 1 ),...} é relativamente compacto em Y. Assim, existe uma subseqüência R 2 = { f 21, f 22,..., f 2n,...} de R 1 tal que ( f 2n (x 1 )) converge em Y. Consideremos então a seqüência R 2 (x 2 ) = { f 21 (x 2 ), f 22 (x 2 ),..., f 2n (x 2 ),...}. Como antes, nossa hipótese garante a existência de uma subseqüência R 3 = { f 31,..., f 3n,...} de R 2 tal que ( f 3n (x 2 )) converge. Continuando dessa maneira, obtemos, para todo k N, uma subsequência R k de R k 1 tal que ( f kn (x k 1 )) converge em Y. Definimos então a seqüência R = ( f k ) por f k = f kk. (Esse é o método diagonal de Cantor.) Então, para todo x D, f k (x) converge. Para concluir a demonstração, mostraremos que ( f k ) é uma seqüência de Cauchy no espaço C(S, Y). Quer dizer, dado ɛ > 0, queremos mostrar a existência de n 0 N tal que f m f n sup ɛ para quaisquer m, n n 0. Seja y S arbitrário. De acordo com o Lema 1.61, ( f k ) é uniformemente equicontínua em S. Assim, existe δ > 0 tal que x, y S, y x < δ f (y) f (x) < ɛ/3, f E.

20 20 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS NORMADOS Tome x D tal que x y < δ. Como ( f k (x)) é de Cauchy, existe n 0 tal que Logo, m, n n 0 f m (x) f n (x) < ɛ/3. f m (y) f n (y) f m (y) f m (x) + f m (x) f n (x) + f n (x) f n (y) Consequentemente, < ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ. f m f n sup = sup f m (y) f n (y) ɛ, y S como queríamos demonstrar. Corolário 1.67 Se dim Y <, então E C(S, Y) é relativamente compacto se, e somente se, E for equicontínuo e limitado. Demonstração: A afirmação direta decorre do Teorema Por outro lado, se E for limitado, então E(x) é limitado para todo x X. Pelo Teorema de Bolzano-Weierstraß (Corolário 1.52), podemos aplicar o Teorema de Arzelà-Ascoli O Completamento Definição 1.68 Seja ( X, ) um espaço normado. Definimos o completamento ( X, T ) de X como um par consistindo de um espaço de Banach ( X, 0 ) e uma aplicação linear T : X X que preserva a norma, isto é, e tal que T(X) é denso em X. Tx 0 = x, x X, Teorema 1.69 Todo espaço normado (X, ) possui um completamento. Heuristicamente, nada é mais natural do que pensar que o completamento de X será o próprio espaço X unido ao conjunto dos pontos que são limites das seqüências de Cauchy. O problema é que estes pontos limites ainda não estão definidos! Para defini-los, temos que considerar uma seqüência de Cauchy como algo intrinsecamente ligado ao ponto para o qual ela vai convergir. Mas isto coloca um outro problema, de fácil resolução: podemos ter duas seqüências convergindo para o mesmo ponto! Igualamos estas seqüências ao definirmos uma relação de equivalência: duas seqüências pertencem à mesma classe se seus elementos aproximam-se arbitrariamente - isto é, se convergem para o mesmo ponto. Tal procedimento permite pensar em cada ponto como uma seqüência de Cauchy, e vice-versa. É o que faremos na demonstração seguinte.

21 1.12. O COMPLETAMENTO 21 Demonstração: Definimos X = { ξ = (x j ) : (x j ) é uma seqüência de Cauchy em X }. Em X, consideramos a relação de equivalência: (x j ) (y j ) lim j x j y j = 0. (No contexto da Análise Matemática, é usual denotar a relação por =). Tomamos então o espaço quociente X = X /. Em outras palavras, consideramos a partição de X gerada por essa relação de equivalência. Denotamos por [ξ] a classe de equivalência de ξ = (x k ). Assim, se (y k ) e (z k ) são dois representantes da classe [ξ], então lim k y k z k = 0. O conjunto X é o conjunto das classes de equivalência (disjuntas) de X. Em X, se (x j ) e (y j ) são representantes de [ξ] e [η], respectivamente, definimos [ξ] + [η] = [x j + y j ] e c[ξ] = [cx j ]. É fácil verificar que essas operações estão bem definidas e que, com elas, X é um espaço vetorial. O espaço X torna-se um espaço normado ao definirmos [ξ] 0 = lim x j. (1.3) j Como a aplicação : X R é uniformemente contínua (veja o Exemplo 1.28), a Proposição 1.36 garante que ( x j ) é uma seqüência de Cauchy em R. Portanto, o limite em (1.3) existe. É fácil verificar que [ξ] 0 independe do representante escolhido de [ξ]; assim, 0 está bem definida. É claro que 0 define uma norma em X. Seja T : X X definida por Tx = [(x)], em que (x) designa a seqüência cujos termos são todos iguais a x. A aplicação T é linear e preserva normas. Afirmamos que T(X) é denso em X. De fato, seja [ξ] X e (x n ) um representante de [ξ]. Como (x n ) é de Cauchy, dado ɛ > 0, existe n 0 tal que x n x n0 < ɛ, para todo n n 0. Assim, [ξ] Tx n0 0 = [x n x n0 ] 0 = lim n x n x n0 ɛ, provando o afirmado. Resta provar que X é completo. Para isto, dado ɛ > 0, consideremos uma seqüência de Cauchy ([ξ] n ) de elementos de X. Fixado n, cada elemento [ξ] n é representado por uma seqüência de Cauchy (x n i ) de elementos de X e, para este valor de n, existe y n X tal que [ξ] n Ty n 0 < ɛ/3,pois T(X) é denso em X. Afirmamos que a seqüência (y n ) assim formada é uma seqüência de Cauchy em X. De fato, temos y n y m = Ty n Ty m 0 Tyn [ξ] n 0 + [ξ] n [ξ] m 0 + [ξ] m Ty m 0. Como ([ξ] n ) é de Cauchy, existe n 0 tal que m, n n 0 implica [ξ] n [ξ] m 0 < ɛ/3. Daí segue-se o afirmado. Seja ξ = (y n ). Afirmamos que ([ξ] n ) converge a [ξ] em ( X, 0 ). De fato, dado ε > 0, temos [ξ] n [ξ] 0 = [ξ] n Ty n 0,

22 22 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS NORMADOS que tende a zero quando n tende a infinito. Espaços de Banach são muitas vezes construídos por meio do Teorema 1.69 e uma das construções usuais do conjunto dos números reais também é feita por esse processo. Os espaços L p da teoria da integração (veja a próxima seção) podem ser obtidos assim. A grande dificuldade na utilização do Teorema 1.69 na construção dos espaços L p consiste em identificar os elementos do completamento (que são, em última instância, seqüências de Cauchy) com verdadeiras funções. Para ilustrar esse tipo de construção dos espaços L p, veja, por exemplo, [2] e [21] Exemplos de Espaços de Banach Espaços de Aplicações Lineares Contínuas Sejam X, Y espaços normados. Denotamos por L(X, Y) o espaço das aplicações lineares contínuas de X para Y. Nesse conjunto, dado T L(X, Y), definimos T = sup Tx. x =1 Assim, como conseqüência da prova do Teorema 1.41, temos que Tx T x para todo x X. Verifica-se facilmente que L(X, Y) é um espaço normado. Denotamos por X = L(X, K) o espaço dual 8 de X e L(X, X) por L(X). Afirmamos que, se Y for um espaço completo, então L(X, Y) é um espaço de Banach. Com efeito, consideremos uma seqüência de Cauchy (T n ) em L(X, Y). Logo, dado ɛ > 0, existe n 0 tal que m, n n 0 implica T n T m ɛ. Daí segue-se que, para todo x X, T n x T m x = (T n T m ) x T n T m x, mostrando que (T n x) é uma seqüência de Cauchy no espaço completo Y. Assim, está bem definido lim n T n x. Definimos, para todo x X, T : X Y por Tx = lim n T n x. Vamos mostrar que T L(X, Y). A linearidade de T decorre de propriedades do limite. Portanto, para garantir que T L(X, Y), basta provar que T é limitada. Como (T n ) é de Cauchy, existe M tal que T n M para todo n. Daí segue-se que T n x M x. Tomando o limite quando n nessa desigualdade, concluímos que Tx M x. Agora vamos mostrar que T n T em L(X, Y), isto é, que T n T 0 quando n. Dado ɛ > 0 e escolhido n 0 como acima, temos T n x T m x ɛ x para m, n n 0. Tomando o limite quando n nessa última desigualdade, vem Tx T m x ɛ x. Assim, para todo m > n 0 temos T T m ɛ, completando a demonstração de nossa afirmação. 8 Alguns autores denotam o dual de X por X. Notamos que estamos tratando do espaço dual topológico, isto é, aquele dos funcionais lineares contínuos, enquanto o dual algébrico é constituído por todos os funcionais lineares, independentemente de continuidade.