Lista de Exercicios 1. Medidas Resumo. Estimação. Distribuições Amostrais

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1 Introcução à Inferência Estatística. Departamento de Física é Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales 15 de agosto de 007 Lista de Exercicios 1 Medidas Resumo. Estimação. Distribuições Amostrais 1 Medidas Resumo Exercício 1. Na linha de produção de uma grande montadora de veículos, existem 7 verificações do controle de qualidade. Sorteamos alguns dias do mês e anotamos o número de OKs recibidos pelos veículos produzidos nesses dias, i.e., em quantos dos controles mencionados o automóvil foi aprovado. Os resultados foram ((x, y), x =número de aprovações, y =freqüência): (4, 16), (5, 359), (6, 1685), (7, 4764). (i) Determine a média, moda e mediana do número de aprovações por automóvel produzido. (ii) Calcule a variância. (ii) Crie uma nova variável reprovações, indicando o número de verificações não OKs no vehículo. Determine média, moda, mediana e variância dessa variável. (iv) Cada reprovação implica em custos adicionais para a montadora, tendo em vista a necessidade de corrigir o defito apontado. Admitindo um valor básico de R$ 00,00 por cada item reprovado num vehículo, calcule a média e a variância da espesa adicional por automóvel produzido. Estimadores: Estimação Pontual Exercício. Seja S, o estimador para a variância de uma certa população, σ, baseado na amostra X = X 1,..., X n, S = 1 n 1 n (X i X) onde X = n 1 n i=1 X i. (i) Verifique se S é viciado ou não. i=1 Exercício 3. Foram sorteadas 15 famílias com filhos num certo bairro e observado o número de crianças de cada família, matriculadas na escola. Os dados foram 1, 1

2 1,, 0,, 0,, 3, 4, 1, 1,, 0, 0, e. Obtenha as estimativas correspondentes aos seguintes estimadores da média de crianças na escola nesse bairro, mínimo + máximo µ 1 =, µ = (X 1 + X ), µ 3 = X. Qual deles é o melhor estimador da média e por quê? Exercício 4. Seja X 1, X, X 3 uma amostra aleatória de uma população exponencial com média θ, isto é, E[X i ] = θ, i = 1,, 3. Cosidere os estimadores θ 1 = X, θ = X 1, θ3 = X 1 + X. (i) Demostrar que nenhum dos três estimadores é viesado. (ii) Qual dos estimadores tem menor variância? Lembrar que no caso exponencial Var(X i ) = θ. Exercício 5. Suponha que Y tem distribuição Binomial-(n, p). (i) Demostre que p = y/n é um estimador não viesado para p. Calcule a variância de p. Exercício 6. Demostrar que E[( θ θ) ] = Var( θ) + v, (1) onde v = E[ θ] θ é o vicio. Esta quantidade é conhecida como o erro quadrático médio de um estimador. (Dica: escrever ( θ θ) = [ θ E[ θ] ] + [ E[ θ] θ ] ). Exercício 7. Seja X = X 1, X,..., X n uma amostra aleatória da uma população com densidade Gamma-(α, β), com α =, e β desconhecido, isto é, x e x/β se x > 0, f(x) = β 0 se x 0. (i) Obtenha o estimador de máxima verosimilhança para β. (ii) Calcular E[ β]. É β viciado para β? Exercício 8. Suponha que a demanda por certa peça, numa loja de autopeças, siga o seguinte modelo P (X = k) = Φ k, k = 1,, 3, 4. k! (i) Encontre o valor de Φ. (ii) Calcule a demanda esperada. (iii) Qual é a variabilidade da demanda. (iv) Encontre o estimador de máxima verosimilhança Φ para Φ. (v) verifique se Φ é não viciado. (vi) Verifique se Φ é consistente.

3 Exercício 9. Certa população tem distribuição uniforme no intervalo I = (θ 1/, θ + 1/), θ R, tal que a sua densidade é f X (x; θ) = 1 se θ I e f X (x; θ) = 0 no caso contrario. Uma amostra iid de tamanho 3, X 1, X, X 3 é considerada e apartir desta são definidos os seguintes estimadores para θ, G = X 1 X X 3 K = X 1 X X 3 T = 1 (G + K) (i) Mostre que T é um estimador não viciado para a média da população. (ii) Determine os valores de Var(G), Var(K) e Cov(G, K). (iii) Mostre que Var(T ) < Var( X) (o qual representa um exemplo onde X não é o melhor estimador não viciado da para a média da população!). (iv) Verifique se T é suficiente. 3 Distribuições Amostrais Os seguintes exercícios dois apresentam duas propriedades da distribuição normal muito utilizados durante o curso. Estes deveram ser entregues no dia da primeira prova. Exercício 10. Seja X uma variável aleatória normal com média µ e variância σ. Mostre que a variável aleatória Z = X µ σ tem distribuição normal com média 0 e variância 1. (Esta distribuição é conhecida como a normal padrão.) Exercício 11. Seja X 1 uma variável aleatória normal com média µ 1 e variância σ1, e X normal com média µ e variância σ. Mostre que Y = X 1 + X é normal com média µ 1 +µ e variância σ1 +σ. Dica: se as densidades de X 1 e X são f X1 e f X respectivamente, então a distribuição de Y é calculada utilizando a convolução das densidades f Y = f X1 f X definida por f Y (y) = (f X1 f X )(y) = + f X1 (y x)f X (x) dx Observe que no curso de Teoria de Probabilidade já foram consideradas convoluções a fim de calcular a distribuição da soma de variáveis Poisson e Binomiais. Exercício 1. Uma variável de Bernoulli com probabilidade de sucesso p é amostrada, de forma, independente, duas vezes. Apresente a função de probabilidade da média amostral. 3

4 Exercício 13. Uma variável aleatória assume quatro valores (-, -1, 1, ) com igual probabilidade. Para uma amostra de tamanho dois, obtenha a distribuição de S e verifique se ele é não viesado para estimar a variância σ da variável. Exercício 14. Supõe-se que o consumo mensal de água por residência em um certo bairro de Ribeirão Preto tem distribuição Normal com média 10 e desvio padrão (em m 3 ). Para uma amostra de 5 dessas residências, qual é a probabilidade de a média amostral não se afastar da verdadeira média por mais de 1 m 3? Exercício 15. Coleta-se uma amostra de 10 observações independentes de uma N(, ). Determine a probabilidade de a média amostral: (i) ser inferior a 1; (ii) ser superior a,5; (iii) estar entre 0 e. Exercício 16. Um fabricante afirma que sua vacina contra gripe imuniza em 80% dos casos. Uma amostra de 5 indivíduos que tomaram a vacina foi sorteada e testes foram feitos para verificar a imunização ou não desses indivíduos. Se o fabricante estiver correto, qual é a probabilidade da proporção de imunizados na mostra ser inferior à 0,75? E superior à 0,85? 4 Estimadores Suficientes Exercício 17. Seja X 1,..., X n uma amostra i.i.d. de uma população Poisson(λ). Seja λ = i X i um estimador para o parâmetro λ. Diga se λ é suficiente para λ. Exercício 18. Seja U 1,..., U n uma amostra i.i.d. de uma população uniforme no intervalo [0, a]. Diga se â = max{u 1,..., U n } é suficiente para a. Exercício 19. Encontrar um estatístico suficiente para uma amostra aleatória i.i.d. da distribuição com densidade f Y (y) = θy θ 1, 0 < y 1, θ > 0. Exercício 0. Encontrar um estatístico suficiente para uma amostra i.i.d. distribuição e 1/c, c R. da 5 Extra: Mínima Variância (Cramér-Rao) 1 Exercício 1. Seja X 1, X,..., X n uma amostra iid de uma população Bernoulli(θ). Encontre um estimador não viciado é de mínima variância para θ. Lembre que se X Bernoulli(θ), então X {0, 1} e P(X = 1) = θ, P(X = 0) = 1 θ, e também E[X] = θ, Var(X) = θ(1 θ). 1 Esta seção é realmente opcional. 4

5 Observação: O objetivo é encontrarnos uma cota inferior para o erro quadratico médio de um estimador (veja (1)). A cota é estabelecida pelo seguinte resultado. Lemma. Um estimador ˆθ não viciado é de mínima variância se este alcança a cota de Kramer-Rao, i.e., se e satisfeita com igualdade. Var(ˆθ) { E [ ]} l Demonstração. Suponha que X 1 = x 1,..., X n = x n é iid, com densidade f X (x θ) derivável respeito de θ Θ R. Neste caso a densidade conjunta em x = x 1,..., x n é n L(x, θ) = f X (x i θ). Se 1 = i=1 L(x, θ)dx e derivável respeito de θ considerando o sinal da integral, então L(x, θ) L(x, θ) L(x, θ) 0 = dx = L(x, θ) dx [ ] l(x, θ) l(x, θ) = L(x, θ)dθ = E. () já que se l(x, θ) = lnl(x, θ), então l(x, θ)/ = (1/L(x, θ)) L(x, θ)/. Seja v = E[ˆθ] θ o vicio do estimador ˆθ, e T (X 1,..., X n ) a função que define o estimador ˆθ. Então derivando respeito de θ temos 1 + v = E[ T (X 1,..., X n ) ] = T (x)l(x, θ)dx. Mais uma vez, se a ordem das operações de derivação e integração pode ser trocada, então [ ] 1 + v L(x, θ) l(x, θ) = T (x) dx = E T (x). Diretamente deste último resultado e de () temos que [ ] (T 1 + v l(x, θ) = E (x) θ), e entao da desigualdade de Cauchy-Schwarz (1 + v ) E [ T (x) θ ] E [ l(x, θ) ]. Sejam ξ e η duas variaáveis aleatórias, então (E[ ξη ]) (E[ξ]) (E[η]). 5

6 Finalmente se ˆθ é não viciado, então v = 0 já que v = 0, logo 1 E [ T (x) θ ] [ ] l(x, θ) E, sendo E [ T (x) θ ] = Var(ˆθ). 6 Respostas 1. Para a variável lucro temos Lucro p i 4/6 1/6 1/6. µ =, 4; Var(custo) = 0, (i) x = 6, 60, m d = 7, m o = 7. (ii) var x = 0, 44. (iii) R: Reprovações, r = 0, 40, m d (R) = m o (R) = 0, e var x (R) = 0, 45. (iv) D: Despesa: d = 80, varx (D) = O estimador µ 3 é melhor por usar todas as observações disponíveis, além de ser não viciado e consistente. As estimativas são: µ 1 =, µ = 1 e µ 3 = 1, (i) Φ = 1/6, (ii) E[X] =, 11, (iii) Var(X) = 0, Descreva os eventos possíveis em duas retiradas de uma Bernoulli e a partir daí obtenha 13. X 0 1 p i (1 p) p(1 p) p S 0 1/ 9/ 8 p i 1/4 1/4 1/4 1/8 1/8 E[S ] = 5/, que é a variância da população. 14. Temos X Φ(10; 4/5), e a probabilidade desejada é 0, Temos X Φ(; /10), então: (i) 0,015. (ii) 0,1315. (iii) 0, ,643 e 0,643. Use aproximação Normal para considerar p Φ(0, 8; 0, 16/5). 6