Probabilidade e Estatística. stica. Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva pessoal.utfpr.edu.

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1 Probabilidade e Estatística stica Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva pessoal.utfpr.edu.br/ngsilva

2 Distribuição Uniforme Uma variável aleatória contínua X está uniformemente distribuída no intervalo (a, b) se a sua função densidade de probabilidade é dada por: 2

3 Distribuição Uniforme 3

4 Distribuição Uniforme Exemplo: A espessura de chapas fabricadas numa indústria está uniformemente distribuída entre 0,84 cm e 1,04 cm. a) De um total de 200 chapas inspecionadas, quantas excedem 1,00 cm? b) Qual deve ser a espessura de modo que 40% das chapas não excedam essa espessura? Respostas: a) P(X > 1,00 cm) = 20% n = 40 chapas b) x = 0,92 cm 4

5 Distribuição Exponencial Considere um Experimento de Poisson com parâmetro λ. A variável aleatória contínua X está exponencialmente distribuída se a sua função densidade de probabilidade é dada por: 5

6 Distribuição Exponencial 6

7 Distribuição Exponencial Exemplo: Uma fábrica de lâmpadas oferece uma garantia de troca se a duração da lâmpada for inferior a 60 horas. A duração das lâmpadas é uma variável aleatória contínua X exponencialmente distribuída com função densidade de probabilidade dada por: Determine quantas lâmpadas são trocadas por conta da garantia para cada 1000 lâmpadas fabricadas. Resposta: 12 lâmpadas 7

8 Distribuição Normal Uma variável aleatória contínua X está normalmente distribuída se a sua função densidade de probabilidade é dada por: Utiliza-se a notação: X ~ N(µ,σ 2 ) Por exemplo: X ~ N(3, 4) 8

9 Distribuição Normal Propriedades: 1ª) f(x) tem um ponto de inflexão em µ -σe outro em µ + σ; 2ª) f(x) tende a zero quando x tende a + ou - ; 3ª) f(x) é simétrica com relação à média µ; 4ª) f(x) tem um ponto de máximo em x = µ e f(x) = 1 σ 2π 9

10 Distribuição Normal Propriedades: 5ª) A área abaixo da função é igual a 1; 6ª) A distribuição normal é classificada como simétrica (A = 0) e mesocúrtica (C = 0,263); 7ª) 68,2% dos dados da variável aleatória estão localizados entre µ -σ e µ + σ, 95,4% entre µ - 2σ e µ + 2σ e 99,8% entre µ - 3σ e µ + 3σ. 10

11 Distribuição Normal Propriedades: 7ª)

12 Distribuição Normal É impossível resolver esta integral analiticamente. O resultado desta integral é obtido utilizando métodos numéricos. Logo, o cálculo de probabilidade para variáveis aleatórias normalmente distribuída é obtido através de valores tabelados. Para evitar a multiplicação desnecessária de tabelas para cada par de valor (µ,σ 2 ) utiliza-se uma transformação fazendo: 12

13 Distribuição Normal Onde Z é uma variável aleatória contínua que terá distribuição normal com µ = 0 e σ 2 = 1, ou seja Z ~ N(0,1), com função densidade de probabilidade definida por: Esta variável aleatória Z tem uma distribuição de probabilidade denominada distribuição normal padronizada ou normal reduzida. Desta forma: 13

14 Distribuição Normal Exemplo: X ~ N(4,9) 14

15 Distribuição Normal A tabela Z fornece os valores da área abaixo da função f(z) para diversos pontos desde 0 até 3,99 com acréscimos de 0,01. Assim: 15

16 Tabela Z 16

17 Distribuição Normal Exemplos: a) P(0 Z 1) = 0,3413 b) P(Z > 1,93) = 0,5000-0,4732 = 0,0268 c) P(-2,55 < Z 1,20) = 0, ,3849 = 0,

18 Exercícios 1) Sendo X ~ N(12,4), determine: a) P(X 15,5) = b) P(10 < X 15) = c) P(X > 9,5) = P(Z 1,75) = 0,50 + 0,4599 = 0,9599 P(-1,00 < Z 1,50) = 0,7745 P(Z > -1,25) = 0,8944 2) Os salários dos funcionários de uma empresa estão normalmente distribuídos com média de R$ 8000,00 e desvio-padrão de R$ 500,00. Qual a porcentagem de funcionários que recebem mais de R$ 9280,00 nesta empresa? Resposta: P(X > 9280) = P(Z > 2,56) = 0,52% 18

19 Exercícios 3) Os pacientes de um hospital são submetidos a um tratamento de saúde cujo tempo de cura está normalmente distribuído com média de 15 dias e desvio-padrão de 2 dias. a) Qual a proporção de pacientes que demora mais de 17 dias para se recuperar? b) Qual a probabilidade de um paciente escolhido ao acaso apresentar tempo de cura inferior a 20 dias? c) Qual deve ser o tempo máximo necessário para a recuperação de 30% dos pacientes? 19

20 Exercícios 4) O diâmetro de um anel industrial é uma variável aleatória normalmente distribuída com média de 0,10 cm e desvio-padrão 0,02 cm. Se o diâmetro do anel fabricado diferir da média por mais de 0,03 cm ele é vendido por R$ 5,00, caso contrário é vendido por R$ 10,00. Qual é o preço médio de venda de cada anel? (Extraído de Notas de Aula da Prof a Márcia O. Erbano) 20

21 Distribuição Normal Uma aproximação da Distribuição Binomial com parâmetros n e p pode ser obtida pela Distribuição Normal fazendo µ = n.p e σ 2 = n.p.(1 p). Quando n tende para o infinito, a variável aleatória definida por está uniformemente distribuída com µ = 0 e σ 2 = 1. 21

22 Distribuição Normal Exemplos: 1) Uma moeda não viciada é lançada 100 vezes. Qual a probabilidade de sair cara entre 38 e 59 vezes? 2) Uma máquina produz peças de modo que 5% são defeituosas. Se uma amostra de 1000 peças é extraída aleatoriamente, qual a probabilidade de que não mais de 40 peças sejam defeituosas? 22

23 Função Gama A função gama é definida por: Integrando por partes, tem-se: Se α é um número natural, então: Por exemplo: Em particular: 23

24 Distribuição Gama A variável aleatória contínua X tem distribuição gama quando sua função densidade de probabilidade é dada por: Onde α é o parâmetro de forma (α > 0) e β é o parâmetro de escala (β > 0). Observação: Quando α = 1, tem-se a distribuição exponencial. 24

25 Distribuição Gama Esperança Matemática: E(X) = α/β Variância: V(X) = α/β² Exemplos de gráficos para β =1 25

26 Distribuição Qui-quadrado (χ 2 ) A variável aleatória contínua X tem distribuição quiquadrado com φ graus de liberdade (φϵn) quando sua função densidade de probabilidade é dada por: Fazendo α = φ/2 e β = 2 na fdp da distribuição gama tem-se a fdp da distribuição qui-quadrado. Observação: A distribuição qui-quadrado é assimétrica positiva. 26

27 Distribuição Qui-quadrado (χ 2 ) Esperança Matemática: E(X) = φ Variância: V(X) = 2φ 27

28 Tabela da Qui-quadrado (χ 2 ) 28

29 Distribuição Qui-quadrado (χ 2 ) Exemplos: 1) Sendo φ = 8 e α = 25%, determine a abscissa da quiquadrado. 2) Sendo X uma variável aleatória contínua com distribuição qui-quadrado com φ = 20, determine a mediana e o 9º decil da variável aleatória X. 3) Determine as abscissas indicadas no gráfico da distribuição qui-quadrado abaixo, sendo φ =

30 Distribuição t de Student Esta distribuição foi desenvolvida pelo químico britânico W. S Gosset, que publicava em 1908 seus trabalhos sob o pseudônimo de Student. A variável aleatória contínua X tem distribuição t de Student quando a função densidade de probabilidade é dada por: Com x real onde φ é o grau de liberdade da distribuição. Esperança Matemática: E(X) = 0 Variância: V(X) = φ/(φ 2) com φ > 2 30

31 Distribuição t de Student Observações: 1ª) A distribuição é simétrica com relação a sua média; 2ª) Quanto maior o valor de φ mais se aproxima da distribuição normal padronizada; 3ª) Esta distribuição é muito utilizado para inferências estatísticas para amostra pequenas (n < 30). 31

32 Tabela da distribuição t de Student 32

33 Distribuição t de Student Exemplo: Uma variável aleatória contínua X tem distribuição t de Student com 4 graus de liberdade. Determine o 1 o quartil da variável aleatória X. 33

34 Distribuição F (Fisher-Snedecor) Esta distribuição foi desenvolvida pelo inglês R.A. Fisher ( ) e pelo americano G. E. Snedecor ( ). A distribuição F é a razão entre duas variáveis aleatória independentes que possuem distribuições qui-quadrado. A distribuição F com φ1 graus de liberdade no numerador e φ2 graus de liberdade no denominador é definida por: 34

35 Distribuição F (Fisher-Snedecor) 35

36 Distribuição F (Fisher-Snedecor) A tabela da distribuição F retorna a abscissa que tem 2,5% ou 5% dos dados na cauda à direita, com φ1 e φ2 graus de liberdade. 36

37 Distribuição F (Fisher-Snedecor) 37

38 Distribuição F (Fisher-Snedecor) Propriedade: Exemplos: 1) Calcular Resposta: 2) Determine o 5 o centil e o 95 o centil da variável aleatória X que tem distribuição F com 8 graus de liberdade no numerador e 6 graus de liberdade no denominador. 38