Cap. 6 Variáveis aleatórias contínuas

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1 Estatística para Cursos de Engenharia e Informática Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia São Paulo: Atlas, 2004 Cap. 6 Variáveis aleatórias contínuas APOIO: Fundação de Apoio à Pesquisa Científica e Tecnológica do Estado de Santa Catarina (FAPESC) Departamento de Informática e Estatística UFSC (INE/CTC/UFSC)

2 Variável aleatória discreta variável aleatória contínua E. os possíveis resultados estão contidos em um conjunto finito ou enumerável os possíveis resultados abrangem todo um intervalo de números reais E número de defeitos em... 0 tempo de resposta de...

3 Variáveis aleatórias contínuas tempo de resposta de um sistema computacional; rendimento de um processo químico; tempo de vida de um componente eletrônico; resistência de um material; etc. Variáveis aleatórias discretas com grande número de possíveis resultados (podem ser aproimadas para contínuas): número de transações por segundo de uma CPU; número de defeitos numa amostra de itens; etc.

4 Variável aleatória: discreta contínua Discreta 1 ½ 2 p() 1 2 ½ f() área total = setores f()

5 Variável aleatória: discreta contínua Contínua II III 0 0 I III f() área total =

6 Variável aleatória contínua II 0 0 I 0 0 III III f() área = P( 0 X < 90) f() área total = evento {0 X < 90}

7 Variável aleatória contínua As probabilidades de eventos associados a uma variável aleatória contínua X podem ser calculadas através de uma função densidade de probabilidade f, que deve satisfazer: f 0, R e f d =1 f() Se A = [a, b], então P A = a b f d a b

8 Eemplo 6.3 Variável aleatória contínua f t ={ 2e 2t, para t 0 0, para t 0 2 f(t) 3 t P T 3 = 3 f t dt= 3 2e 2t dt=2[ 1 2 e 2t]3 =0 e 2 3 =e 6

9 Variável aleatória contínua Função de distribuição acumulada F =P X = f s ds, R Eemplo 6.3 F t ={ 1 e 2t, para t 0 0, para t 0 1 F(t) t

10 Variável aleatória contínua Valor esperado e variância μ=e X = f d σ 2 =V X = μ 2 f d ou V X =E X 2 μ 2 onde: E X 2 = 2 f d

11 Principais Modelos Contínuos Distribuição uniforme 1, para [ α, β] f β α ={ 0, para [ α, β] Eemplo: II III 0 0 I III f() área total =

12 Principais Modelos Contínuos Distribuição uniforme 1, para [ α, β] f β α ={ 0, para [ α, β] 0, α F ={ β α, 1, para α para α β para β 1 β α f() F() 0 α β 0 α β E X = α β 2 V X = β α 2 12

13 Principais Modelos Contínuos Distribuição eponencial Eemplos: tempo (em minutos) até a próima consulta a uma base de dados; tempo (em segundos) entre pedidos a um servidor; distância (em m) entre defeitos de uma fita. 0 t Número X de ocorrências do evento em [0, t) Tempo T até a ocorrência do evento Poisson Eponencial

14 Principais Modelos Contínuos Distribuição eponencial f t = λe λt, t 0 F t =P T t =1 e λt E T = 1 λ V T = 1 λ 2 λ f t = λe λt P T t 0 =e λt 0 t 0 t

15 Principais Modelos Contínuos Distribuição eponencial Eemplo 6.3 f t ={ 2e 2t, para t 0 0, para t 0 f(t) P 2 T 3 =? Resp. 3 P 2 T 3 = 2 2e 2t dt 2 3 ou t P 2 T 3 =P T 2 P T 3 =e 2 2 e 2 3 =e 4 e 6 =0,0158

16 Principais Modelos Contínuos Distribuição normal f = 1 1 σ 2π e μ 2 σ 2, <+ E X =μ f() V X =σ 2 área total = 1 σ σ µ -σ µ + σ µ

17 Principais Modelos Contínuos Distribuição normal μ 1 μ 2 e σ 1 =σ 2 μ 3 =μ 4 e σ 3 σ 4

18 Principais Modelos Contínuos Distribuição normal padrão Distribuição de X: normal com µ = 170 e σ = 10 Distribuição de Z: normal padrão P(X > 180) = P(Z > 1) z= μ σ = =1

19 Principais Modelos Contínuos Tabela da distribuição normal padrão segunda decimal de z z 0,00 0,01 0, ,09 0,0 0,1 0,2... 0,4168 (área na cauda superior ) (pela tabela)

20 Principais Modelos Contínuos Tabela da distribuição normal padrão P(-0,42 < Z < 0,42) =? = - Então, P(-0,42 < Z < 0,42) = 1 2 (0,3372) = 0,3256

21 A normal como limite de outras distribuições Aproimação normal à binomial Condição: n grande e p não muito próimo de 0 (zero) ou de 1 (um). Parâmetros: μ = np σ = np 1 p

22 Aproimação normal à binomial

23 Aproimação normal à binomial E. Qual é a probabilidade de mais de 6 caras em 10 lançamentos de uma moeda honesta? Pela binomial: 0,205 0,246 0,205 P(X > 6) = p(7) + p(8) + p(9) + p(10) = 0,172 0,117 0,117 p = 10. 0,5. 0,5 10 0,001 0,01 0,044 0,044 0,01 0,

24 Aproimação normal à binomial E. Qual é a probabilidade de mais de 6 caras em 10 lançamentos de uma moeda honesta? Pela normal: P(X > 6,5)

25 Aproimação normal à binomial E. Qual é a probabilidade de mais de 6 caras em 10 lançamentos de uma moeda honesta? Pela normal: P(X > 6,5) 0, ,5 0 0,95 z z= μ σ =6,5 5 2,5 =0,95

26 A normal como limite de outras distribuições Aproimação normal à Poisson Aproimação válida quando λ for grande λ =1 λ =5 λ =20 0,4 p() 0,15 p() 0,08 p() 0,3 0,2 0,10 0,04 0,1 0,05 0, , , Parâmetros da normal: μ= λ σ= λ

27 Gráfico de probabilidade normal E. Dados:74,0; 74,4; 74,7; 74,8; 75,9 1,4 1,0 valor esperadopela normal 0,6 0,2-0,2-0,6-1,0-1,4 73,6 74,0 74,4 74,8 75,2 75,6 76,0 valor observado

28 Gráfico de probabilidade normal Dados com distribuição normal 2,5 1,5 valores esperados pela normal 0,5-0,5-1,5-2,5 72,5 73,5 74,5 75,5 76,5 77,5 78,5 valores observados

29 Gráfico de probabilidade normal Dados com distribuição normal, mas com um ponto discrepante 2,5 valores esperados pela normal 1,5 0,5-0,5-1,5 valor discrepante -2, valores observados

30 Gráfico de probabilidade normal Dados com distribuição assimétrica f() valores esperados pela normal valores observados