Conceitos básicos: Variável Aleatória

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1 : Variável Aleatória Variável aleatória (v.a.) valor numérico que é resultado de uma eperiência aleatória. Podemos ter variáveis aleatórias contínuas ou discretas. Eemplo 1: Suponha que lança duas moedas e regista a face voltada para cima. Esta eperiência aleatória tem 4 resultados possíveis: Cara-Cara; Cara-Coroa; Coroa-Cara e Coroa-Coroa. Seja a variável aleatória que representa o número de caras obtidas. Esta variável pode tomar os valores, 1, ou ; é uma variável aleatória discreta. 1

2 Eemplo : O Departamento de Recursos Humanos de uma determinada empresa está a fazer um estudo no qual interessa analisar o rendimento mensal per capita do agregado familiar dos seus empregados. O rendimento mensal per capita do agregado familiar de um empregado escolhido ao acaso,, é uma v.a. contínua. Outros eemplos: peso de um indivíduo, em kg v.a. contínua. nº de vezes que um indivíduo vai ao cinema mensalmente v.a. discreta

3 Distribuição de Frequências vs. Distribuição de Probabilidades Distribuição de Frequências No conteto do Eemplo 1, suponha que se lançaram 1 vezes as duas moedas, tendo-se obtido os seguintes resultados: Número de caras Frequência absoluta Frequência relativa Freq. relativa acumulada A tabela anterior descreve a distribuição de frequências do nº de caras obtidas por cada lançamento de duas moedas, em 1 lançamentos. 3

4 Podemos calcular a média,, e a variância, s, do nº de caras obtidas por lançamento: n 1 s nii n ( ). 55 n 1 i 1 99 Considere-se agora o Eemplo e suponhamos que foram seleccionados ao acaso 1 empregados que constituem a amostra em estudo. Os dados recolhidos relativamente ao rendimento mensal per capita do agregado familiar desses 1 empregados estão sumariados na tabela seguinte. 4

5 Rendimento (em Euros) Frequência absoluta Frequência relativa Freq. relativa acumulada [1, 3[ [3, 6[ [6, 9[ [9, [ A tabela anterior descreve a distribuição de frequências do rendimento mensal per capita do agregado familiar dos 1 empregados. Calcule-se a média e o desvio padrão desta amostra: n ni n 1 i 1 s i n 1 ( ) L

6 Distribuição de Probabilidades Nos eemplos anteriores, foram registadas as frequências observadas num estudo onde a v.a. em causa é observada um nº finito, n, de vezes (no caso n1). A distribuição de probabilidades da v.a. descreve o que se esperaria encontrar se fosse possível observar a v.a. um nº infinito de vezes. 6

7 Distribuição de probabilidades discreta Relacionando cada valor da variável aleatória discreta com a probabilidade de ocorrência desse valor, estamos a descrever a distribuição de probabilidades da v.a. discreta. A função de probabilidade de é uma função f que associa a cada valor possível de a sua probabilidade: f ( ) P( ). Tem-se que i f ( i ) 1. 7

8 Eemplo 1: Distribuição de probabilidades da v.a. nº de caras obtidas no lançamento de duas moedas Número de caras i Probabilidade P( i )

9 Neste caso, a média e a variância são usualmente representados por µ e σ e são calculados usando as probabilidades, da seguinte maneira: µ E( ) i f ( i ) i σ Var( ) E(( µ ) ) E( ) ( E( )) A distribuição de probabilidades pode ainda ser descrita através da chamada função de distribuição cumulativa F(), que, para cada, nos dá a probabilidade da v.a. assumir um valor inferior ou igual a : F()P( ) probabilidade acumulada até 9

10 Para a v.a. do Eemplo 1, podemos completar a tabela introduzindo os valores das probabilidades acumuladas até, 1 e, isto é, apresentando os valores de F( 1 ), F( ) e F( 3 ). Número de caras i Probabilidade P( i ) F( i )

11 Para outros valores de R: Se <, tem-se ( ) P( ) F ; Se <1, tem-se ( ) P( ) P( ) f (). 5 F ; Se 1 <, tem-se F ( ) P( ) P( ) + P( 1) f () + f (1) Se, F ( ) P( ) P( ) + P( 1) + P( ) f () + f (1) + f () ; 11

12 Resumindo, se <.5 se < 1 F ( ).75 se 1 <. 1 se Na figura seguinte representa-se F graficamente. Função de Distribuição 1,75,5,

13 Distribuição de probabilidades contínua A probabilidade de uma variável aleatória continua tomar um valor particular é zero (recorde que teoricamente uma v.a. contínua pode tomar um nº infinito de valores num intervalo de nº reais, logo, é evidente que a probabilidade de ela assumir um valor particular entre um nº infinito será zero). Consequentemente, uma variável aleatória contínua não pode ser epressa na forma tabular; usa-se então uma função para a eprimir. Uma função muito usada para descrever a distribuição de probabilidades é a função densidade de probabilidade (representada por f () fdp. ), abreviadamente 13

14 Também podemos descrever a distribuição de probabilidades através da função de distribuição cumulativa F( ) P( ) f ( t) dt ' donde F ( ) f ( ) 14

15 Vamos recorrer ao Eemplo para ilustrar a utilidade destas funções. Eemplo : Suponhamos que a função densidade de probabilidade da v.a. - rendimento mensal per capita do agregado familiar de um empregado escolhido ao acaso é representada graficamente da seguinte maneira: 15

16 A probabilidade do rendimento familiar per capita de um empregado (escolhido ao acaso) ser inferior ou igual a a corresponde à área limitada (superiormente) pela função densidade, (inferiormente) pelo eio das abcissas e por a (à direita) [área sombreada]. [área sombreada]p( a)f(a) 16

17 A probabilidade do rendimento familiar per capita de um empregado (escolhido ao acaso) estar compreendido entre dois valores, a e b, corresponde à área limitada (superiormente) pela função densidade, (inferiormente) pelo eio das abcissas, (à esquerda) por a e (à direita) por b [área sombreada]. [área sombreada]p(a<<b)f(b)-f(a) 17

18 Obviamente, a área limitada superiormente pela função densidade e inferiormente pelo eio das abcissas é igual a 1, pois corresponde à probabilidade de se observar qualquer valor para o rendimento familiar per capita de um empregado (escolhido ao acaso). 18

19 Eemplo 3 : O director de compras da empresa Baratinho pretende definir uma política de aquisição de matéria-prima para o próimo ano. As necessidades de matériaprima por dia (em toneladas) são uma variável contínua com função densidade de probabilidade: f ( ) 1 /,, outros valores µ E( ) + f ( ) d (1 / ) d / d [ / / 6]

20 σ Var ( ) E(( µ ) ) E( ) ( E( )) + f ( ) d 3 (1 / ) d 3 [ / 3 /8] Função de distribuição cumulativa de : Se <, vem: F () P( ) f (t) dt dt

21 Se <, vem: F () P( ) f (t) dt f (t) dt + f (t) dt dt + 1 t dt + t t 4 4 Se vem: F ( ) f ( t) dt f ( t) dt + f ( t) dt + f ( t) dt dt + 1 dt + dt

22 Resumindo, F ( ) 4 1 se < se se < Na figura seguinte representa-se F graficamente. F 1,8,6,4,

23 Em estudos de inferência estatística, em geral, estuda-se uma característica numa dada população, que é representada por uma v.a., digamos. Contudo, é através de uma amostra que esta característica é estudada (recorde o Eemplo ). A distribuição de probabilidades de é usualmente designada por distribuição populacional. A média e variância desta variável aleatória, µ e σ, dizem-se parâmetros populacionais, pois são os valores que se encontrariam se fosse possível observar todos os elementos da população. Ao observar uma amostra, temos acesso apenas a uma distribuição de frequências, e à média e variância amostrais, que nos dão uma ideia, respectivamente, da distribuição populacional e da média e variância populacional. 3

24 Propriedades da Esperança e da Variância: Sejam e Y variáveis aleatórias e a, b e c constantes reais. Então: E(c)c E(c)cE() E(a+bY)aE()+bE(Y) Var(c) Var(a+b)a Var() 4