Variáveis Aleatórias

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1 Variáveis Aleatórias Definição: Uma variável aleatória v.a. é uma função que associa elementos do espaço amostral a valores numéricos, ou seja, X : I, em que I. Esquematicamente: As variáveis aleatórias são classificadas em dois tipos: VA discreta: é aquela para a qual o conjunto I é um conjunto finito ou infinito enumerável Es.: I = {,, 3, 4, 5, 6}, I = N = {,,, 3, 4,... }, etc. VA contínua: é aquela para a qual o conjunto I é um conjunto infinito não enumerável, ou seja, é uma v.a. que assume valores em intervalos de números reais Es.: I = = (, ), I = [,], etc. Notas: Para v.a. s contínuas, a função que normalmente associa pontos de ao conjunto I, é a função identidade; Para v.a. s discretas, a função que normalmente associa pontos de ao conjunto I, é uma contagem ou soma.

2 Eemplo: Três jogadores A, B e C cobram um penalti cada um (independentemente) e marcam o gol com probabilidades 9%, 88% e 85%, respectivamente. a) Quais os resultados possíveis? b) Como definir uma v.a.? c) Como associar probabilidade a essa uma v.a.? Sejam os eventos A = o jogador A marca o penalti, B = o jogador B marca o penalti e C = o jogador C marca o penalti. a) = ABC, A c BC, AB c C, ABC c, A c B c C, A c BC c, AB c C c, A c B c C c é o espaço amostral. b) Temos pelo menos duas formas para definir uma variável aleatória para esse caso: (i) X = número de gols marcados nas três cobranças ou (ii) X = número de gols perdidos nas três cobranças. Vamos considerar X = número de gols marcados nas três cobranças X(ABC) = 3 X(A c BC) = X(AB c C) = X(ABC c ) = X(A c B c C) = X(A c BC c ) = X(AB c C c ) = X(A c B c C c ) = Vamos simplificar a notação para os possíveis valores da v.a.: X(ABC) X = 3 X(A c BC) = X(AB c C) = X(ABC c ) X = X(A c B c C) = X(A c BC c ) = X(AB c C c ) X = X(A c B c C c ) X = Assim pode-se escrever: P(X = 3) = P(ABC) = =.673 P(X = ) = P(A c BC AB c C ABC c ) =.854 P(X = ) = P(A c B c C A c BC c AB c C c ) =.396 P(X = ) = P(A c B c C c ) =.8

3 Normalmente reperentam-se os valores numa tabela com a distribuição das probabilidades, chamada de função de probabilidade: Tabela: Função de probabilidade da v.a. X = gols marcados nas 3 cobranças. Valores da v.a. X Probabilidades

4 Função de probabilidade de uma v.a. discreta A função que associa probabilidades aos possíveis valores de uma v.a. discreta X, é chamada de função de probabilidade (fp) ou função massa de probabilidade (fmp), sendo representada por: p() = P(X = ), I, I = conjunto dos possíveis valores de X. Propriedades: a) p() ; b) p ( ). I Eemplos: a) No eemplo dos 3 jogadores, temos I = {,,, 3 } e: p() função que associa.8 probabilidades à v.a..396 número de gols.854 narcados nas cobranças de penaltis. b) Uma indústria que produz placas para componentes eletrônicos, usadas na fabricação de celulares, afirma que no processo de produção dessas placas, % sai com defeito nas furações. Considerando que na inspeção dessas placas, unidades são selecionadas aleatoriamente e avaliadas, i) Defina uma variável aleatória para esse caso. Qual é a probabilidade de que a inspeção encontre: ii) eatamente uma placa com defeito? iii) pelo menos uma placa com defeito? iv) no máimo três placas com defeito?

5 Escrevendo as probabilidades em termos da v.a.: a) Seja a v.a. X = número de itens com defeito encontrados na inspeção de n = placas. Então, temos que I = {,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, }, ou seja p() = P(X = ), em que {,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, }. b) Probabilidade de que a inspeção encontre eatamente uma placa defeituosa: P(X = ). Se o índice de placas com defeitos na produção é de %, então, uma placa tem probabilidades. de ser defeituosa e.99 de ser boa. Sendo D = placa com defeito e b = placa boa, temos que b/d D b b b b b b b b b prob item Assim, a probabilidade de que a inspeção encontre eatamente uma placa defeituosa, senda esta a primeira é igual a: (.)(.99) 9 Como a placa com defeito pode ser a primeira placa ou a segunda ou a terceira... ou a décima, então temos dez vezes essa probabilidade, i.e.: P(X = ) = (.)(.99) 9 = (.) (.99) 9 =.935 c) Se a inspeção encontrar pelo menos uma placa com defeito, então, pode ser uma placa com defeito ou duas ou três... ou as dez. Portanto, a probabilidade da inspeção encontrar pelo menos uma placa com defeito é dada por: P(X ) = P( X ) P(X = ) + P(X = ) P(X = ).

6 Mas, utilizando o evento complementar, podemos escrever essa probabilidade como sendo um menos a probabilidade de que todas as placas sejam boas, ou seja: P(X ) = P(X = ) = (.99) =.956 d) A probabilidade da inspeção encontrar no máimo três placas com defeito é escrita como: P(X 3) = P(X = ) + P(X = ) + P(X = ) + P(X = 3). Em que: P(X = ) = (.) (.99) =.9438 P(X = ) = (.) (.99) 9 =.935 P(X = ) = (.) (.99) 8 =.45 P(X = 3) = (.) 3 (.99) 7 =. 3 Logo, P(X 3) = O modelo binomial No eemplo acima podemos escrever uma fórmula geral para as probabilidades: P(X = ) = (.) (.99) Generalizando um pouco mais, podemos pensar num processo de fabricação com índice de defeitos diferente de %.

7 Como esse índice de defeitos pode ser epresso como uma proporção entre e, podemos definir uma quantidade p, p, como sendo a probabilidade de que uma placa seja defeituosa. Considerando que a inspeção pode ser aplicada a um número n qualquer de placas, se X é a v.a. que conta o número de defeitos nas n placas inspecionadas, então podemos generalizar a probabilidade P(X = ) por: n P(X = ) = p ( p) n, =,,,..., n. Esse modelo é conhecido como modelo binomial. O modelo binomial está associado à ensaios ou eventos independentes com apenas dois resultados possíveis: sim/não; ocorre/não ocorre; ou. Os ensaios com essas características são chamados de ensaios de Bernoulli. Nos ensaios de Bernoulli estamos interessados na ocorrência de apenas um dos resultados ao qual chamaremos de sucesso sendo que, a não ocorrência do evento de interesse vamos chamar de fracasso. Desta forma, para o modelo binomial temos que: p = P(sucesso) e ( p) = P(fracasso) No eemplo acima, ocorre sucesso quando a inspeção detecta uma placa com defeito e fracasso quando a placa não apresenta defeito. O modelo binomial é, então, caracterizado pela realização de n ensaios independentes com apenas dois resultados possíveis (sucesso e fracasso), nos quais a probabilidade de sucesso p é constante.

8 A v.a. binomial é definida como sendo: Uma v.a. que conta o número de sucessos num número fio de ensaios de Bernoulli. Notação: X binomial(n; p). No eemplo das placas eletrônicas, temos p =. e n =, logo X binomial(;.). Outro eemplo: Considere a fabricação de pinos metálicos para montagens de motores em que o índice de produtos com defeito é de.5%. Se um inspetor seleciona um lote com 8 pinos para inspeção, qual a probabilidade de que: a) apenas um seja defeituoso? b) nenhum seja defeituo? c) no máimo dois sejam defeituosos? d) Qual é o número esperado de pinos defeituosos no lote? Vamos definir a v.a. X = número de pinos defeituosos dentre os 8. Como estamos interessados nos defeitos (sucesso defeito), então: p = P(defeito) =.5 e X binomial(8;.5) 8 a) P(X = ) = (.5) (.975) 79 =.76 8 b) P(X = ) = (.5) (.975) 8 =.39 c) P(X ) = P(X = ) + P(X = ) + P(X = ) = d) Espera-se: 8.5 = peças defeituosas no lote, ou seja, espera-se np peças com defeito.

9 Resultado: O número esperado de sucessos em n ensaios de Bernoulli, tal que, P(sucesso) = p é dado por np. No eemplo das placas eletrônicas, espera-se. =. placas com defeito na inspeção. Mais um eemplo: Segundo pesquisa Lance!/IBOPE (ago/) 9.% dos Paulistas são torcedores do Santos. Se pessoas do estado de São Paulo são escolhidas ao acaso, a) qual é a probabilidade de que pelo menos uma seja Santista? b) qual é a probabilidade de que no máimo duas sejam Santistas? c) qual o número esperado de Santistas entre as pessoas? Seja a v.a. X = número de torcedores do Santos na amostra. X binomial(;.9) a) P(X ) = P(X = ) = (.98) =.868 b) P(X ) = P(X = ) + P(X = ) + P(X = ) =.696 c) E =.9 =.93 torcedores

10 Função de probabilidade de uma v.a. contínua Para modelarmos as probabilidades associadas a uma v.a. contínua, temos de considerar que estas assumem valores em intervalos dos reias. Desta forma, o conjunto de possíveis valores que uma v.a. contínua X pode assumir é dado por I = { R k k }, k < k. Como eistem infinitos pontos no intervalo [k, k ], não faz sentido pensarmos na probabilidade de X assumir um valor I, uma vez que essa probabilidade será igual a zero. Desta forma, para uma v.a. contínua, P(X = ) =. No entanto, podemos determinar a probabilidade de X assumir um valor entre dois pontos quaisquer pertencentes a I: P(a X b) ; P(X b); P(X a); etc Definição : Seja um função f() não negativa tal que a) f(), I; b) f ( ) d ; I c) lim f ( ) lim f ( ) ; b Então: P(a X b) = a f ( ) d A função f() é chamada de função densidade de probabilidade (fdp) da v.a. X, ou simplesmente função densidade de X e serve para descrever a distribuição de probabilidade de uma v.a. contínua.

11 A função de probabilidade f() pode ser aproimada pelo histograma da v.a. X., conforme podemos observar pela figura. Definição : Seja um função F() tal que F ( ) P( X ) f ( u) du. F() é chamada função de distribuição acumulada (fda) da v.a. X, ou simplesmente função de distribuição.

12 Nota: Da definição de fdp segue-se que: b P(a X b) = a f ( ) d = F(b) F(a) Eemplo: Seja uma v.a. X com fdp f() dada por k f ( ) e, { R }. a) Para que valor de k, f() define uma fdp? k De f ( ) d e d, fazendo w = k, segue-se que dw = kd. k w dw w Portanto, e d e e e e k k k, de onde se obtém: k k. b) Encontrar a fda u / / e e u / F( ) e du. Portanto, / F( ) P( X ) e. Desta forma, podemos encontrar P( X ) = F() F(), ou seja P( X ) = / / / e e e e =.387.

13 Valor Esperado e Variância de uma v.a. A-) O valor esperado, esperança ou média de uma variável aleatória é definido por: i) Se X é uma variável discreta: ( X ) E p( ) ii) Se X é uma variável contínua: E ( X ) f ( ) d Propriedades de Esperança: a) E g( X ) g( ) p( ) ou g( X ) b) E( ax by) ae( X ) be( Y) E g( ) f ( ) d e E( ax b) ae( X ) b c) E( k) k, k constante. B-) A variância de uma variável aleatória é definida por: X E( X ) E( X ) E( ) Var( X ) E X, em que: E ( X ) p( ) ou E ( X ) f ( ) d Propriedades de Variância: a) Var( ax b) a Var( X ) b) Var ( k), k constante.

14 Eemplos: ) Seja uma v.a. discreta com função de probabilidade dada por: ( ) k p, k > e {,,,, 4 }: 3 a) Achar o valor de k para que p() seja uma função de probabilidade; b) Calcular o valor esperado de X ; c) Calcular a variância de X; d) Encontre P( X < 4 ); e) Quais os valores de a e b para os quais (ax + b) tenha média zero e variância um? a) Achar o valor de k: 4 p ( ) k 3 k 3 k 3 k 3 k 3 k 3 k 4 k 4 k 4 k Desta forma: ( ) 3 p ou p ( ). 4 p()

15 b) Valor esperado de X: E ( X ) p( ) ( ).3 ( ). (). (). (4).3 E (X ).6 c) Variância de X: E ( X ) p( ) ( ).3 ( ). () Var ( X ) E( X ). () E( ) 6.6 (.6) 6.4. (4).3 DP (X ) d) P( X < 4 ) = =.4 e) E ( ax b) ae( X ) b.6a b Var ( ax b) a Var( X ) 6.4a a Assim, temos que: b Resultado: Seja uma v.a. Y ax b, tal que X E( X ) Y DP( X ) uma v.a. padronizada, tendo média e variância., então Y é

16 ) Seja uma v.a. contínua com fdp dada por: k f ( ), k > e { R < }: a) Achar o valor de k para que f() seja uma densidade de probabilidade; b) Calcular o valor esperado de X ; c) Calcular a variância de X; d) Encontre a função distribuição acumulada de X; e) Encontre P(X /) e P(/4 < X < 9/6); f) Quais os valores de k e k tal que P(X k ) =.5 e P(X k ) =.5? a) Achar o valor de k: f ( ) d k d / k / k ( ) k k Logo: f ( ), <, é uma fdp.

17 b) Valor esperado de X : ) ( d d X E 3 3/ 3/ 3 ) ( X E c) Variância de X: 3/ ) ( d d X E 5 5/ 5/ ) ( X Var ) ( X DP d) fda de X: u du u F / / ) ( Logo:,,, ) ( F.

18 Figura: fdp e fda, respectivamente. e) P(X /) e P(/4 X < 9/6): i) P ( X / ) F(/ ) / ii) 3 P ( / 4 X 9/ 6) F(9/6) F(/ 4) 4 4 f) k e k tal que P(X k ) =.5 e P(X k ) =.5: i) P X k ) k. 5 k. 5 ( ii) P X k ) P( X k ) k. 5 ( k. 95 k. 95

19 3) Seja X uma v.a. discreta com função de probabilidade binomial(n, p). Calcular E(X) e Var(X). 4) Seja X uma v.a. contínua com fdp dada por: / f ( ) e, > e { R }. Calcular E(X) e Var(X). O modelo acima é o modelo eponencial: X eponencial() E(X) = Var(X) = Obs: = / é a taa de ocorrência: O modelo eponencial também aparece na forma: f ( ) e, > e { R }.

20 Mais Eemplos: ) Para o modelo binomial mostra-se facilmente que E(X) = np e que Var(X) = np( p). Dessa forma, no eemplo das placas, como n = e p =., E(X) = (.) =. placas e Var(X) = (.)(.99) =.99 ) No eemplo da fabricação de pinos metálicos para motores, como n = 8 e p =.5, E(X) = 8(.5) = def./lote e Var(X) = 8(.5)(.975) =.95. / 3) Para o eemplo da v.a. contínua, em que f ( ) e, temos que: / / E( X ) e d e d, integrando por partes, E ( X ). / / E( X ) e d e d, integrando p. partes E ( X ) 8, logo, Var ( X ) 4.

21 A distribuição de probabilidade Normal. Uma v.a. X tem distribuição normal ou Gaussiana, com parâmetros e se a sua fdp for: e f,, e. Notação: X normal( ; ) ou X N( ; ). As principais características da distribuição normal são: a) X tem média E(X) = e variância Var(X) = ; b) f() é uma função simétrica em torno de : f( k) = f( + k); c) f() tem pontos de infleão em ( ) e ( + ); d) f() tem o conhecido formato de sino com 95% de probabilidade entre ( ) e ( + ) (ver figura).

22 A função de distribuição acumulada (fda) do modelo normal não pode ser determinada uma vez que a integral F w e dw, não tem solução algébrica, o que dificulta as coisas, pois temos de recorrer à programação numérica. No entanto, o resultado a seguir vem facilitar as coisas: Considere a va normal padronizada, dada pela transformação linear X Z. Essa transformação padroniza a va X em relação ao seu desvio padrão, além de centralizá-la na origem. Desta forma, tem-se que E(Z) = e Var(Z) =.

23 Resultado: Seja X uma va com distribuição normal com média e variância, então a variável Z tem distribuição normal padrão, com média e variância, ou seja: Z N(; ), z z. e a sua fdp é dada por: ( z) e, Nota: Com este resultado, basta construir uma única tabela de probabilidades para a distribuição normal padronizada que teremos as probabilidades para uma va normal qualquer. Eemplo: ) Seja uma va X com distribuição normal com média e variância 6, ou seja, X N(; 6). Calcular as probabilidades abaio: a) P(X 5) X 5 P = P(X 5) = PZ.5

24 b) P( X 8) X 8 P( X 8) = P P.5 Z. Z. PZ. P =.97 c) Qual o valor de k tal que P(X k) =.? P(X k) = X k P =., 4 4 k Da tabela temos que k =.38 d) Quais os valores k e k simétricos em torno de, tal que P(k X k ) =.95? P(k X k ) = k k P Z =.95, 4 4 k Da tabela temos que k P Z PZ =.5, e, 4 4 k 4.96 k =.6 Como k e k simétricos em torno da média, então k 4.96 k = 7.84

25 Eemplo: ) Suponha que o nível de dureza de uma peça de espuma N 4; 36. Qual a probabilidade de que: tenha distribuição a) Um item produzido tenha dureza inferior a 8.7? b) Um item produzido tenha dureza superior a 5.5? c) A especificação para esse produto é que pelo menos 95% dos itens produzidos tenham dureza entre 8 e 5. A especificação é atendida? a) P(X < 8.7) P =.3 6 P(X < 8.7) = Z PZ.88 b) P(X > 5.5) P =.4 6 P(X > 5.5) = Z PZ.75 c) P(8 < X < 5) P(8 < X < 5) = P. Z. PZ. PZ. = =.9545 Eemplo: 3) O tempo até a falha dos televisores da marca X-View tem distribuição normal com média 35 mil horas ( 4 anos) e desvio padrão de.675 mil horas ( 3.7 meses). A empresa deseja fiar a garantia do produto de forma que, no máimo 5% dos televisores apresentem problemas abaio desse limite. a) Encontre o limite de garantia? P(X < L) =.5 35 L L 35 P Z L = 3.6 mil horas ( 3.5 anos)

26 b) Os diretores da companhia traçam um plano de ação para reduzir a variabilidade do processo de produção. De quanto deve ser reduzido o desvio padrão do processo para que, mantido o limite obtido em (a), o percentual de itens abaio do limite garantia caia pela metade? P(X < 3.6) = P Z * * * =.45 mil horas ( 3. meses) Notação: Seja Z o quantil % da distribuição N(, ), então, Z é tal que P(Z Z ) =

27 Principais quantis da distribuição Normal Quantil Z =.5.5% Z.5 =.575 =. % Z. =.33 =.5.5% Z.5 =.96 =.5 5% Z.5 =.645 =. % Z. =.8 =.5 5% ou ~ Z.5 = =.9 9% Z.9 =.8 =.95 95% Z.95 =.645 = % Z.975 =.96 =.99 99% Z.99 =.33 = % Z.995 =.575 Obs: ) Note que Z = Z ( ), por eemplo Z.5 = Z.975 ; ) No programa R os quantis da normal são obtidos pelo comando: qnorm(),. Eemplo: 4) O diâmetro D (cm) de esferas usadas na fabricação de um rolamento tem distribuição N (.64, 6.5 ). Uma esfera é classificada como boa se.6 D. 68; recuperável se.68 D. 6 ou.68 D. 6 e como descarte se D. 68 ou D. 6. Quais as probabilidades de uma esfera ser boa, recuperável e descarte? -6

28 P( boa ) = P(.6 D.68) = P = P(Z.6) P(Z.6).4.5 Z.4.5 = =.894 P( rec ) = P(.68 D <.6) + P(.68 < D.6) = [P(Z.6) P(Z.4)] + [P(Z.4) P(Z.6)] = [.548.8] + [ ] = =.93 P( des ) = P(D <.68) + P(D >.6) = P(Z.4) + [ P(Z.4)] =.8 + [.998] =.64 Classificação boa recuperável descarte probabilidade O fabricante deseja fiar limites de especificação (inferior e superior) para o produto bom de tal forma que apenas.5% dos rolamentos fiquem de fora. Quais devem ser esses limites? P(k D k ) =.5 k.64 k.64 = P Z =

29 k.64.5 Z.5.8 k =.67 Como k e k são simétricos em torno da média, então k.64.5 Z k =.6 Logo, P(.67 D.6 ) =.995 Considere que cada esfera é produzida a um custo de R$.5 e vendida a R$.5 por unidade, calcule o lucro esperado na venda de 5 mil unidades do produto se cada peça recuperável tem um custo adicional de R$.5 de retrabalho. Seja L o lucro na venda de uma esfera, então Classificação boa recuperável descarte probabilidade Custo C Venda V.5.5 Lucro L..5.5 E(L) =.894(.) +.93(.5) +.64(.5) = R$.94/esfera Em 5 mil esferas, temos: 5 E(L) = 5 (.94) = R$ 4.56,

30 Obs: Pode-se, ainda, encontrar o lucro esperado fazendo: L = V C E(L) = E(V) E(C), em que V é o valor da venda de uma esfera. Como E(V) = R$.459/un., e E(C) = R$.5466/un., então E(L) = R$.459 R$.5466 = R$.94/un. Eemplo: 5) Um produto é vendido em pacotes de um quilograma, sendo que a distribuição do peso dos pacotes é normal com média 5g e desvio padrão g. a) Qual a probabilidade de que um pacote saia com peso 5g abaio da média? b) Num fardo com pacotes, qual é a probabilidade de no máimo estejam abaio de 99g? c) Um fiscal informou o produtor de que são aceitos apenas 5% dos pacotes com peso abaio de 995g. De quanto deve diminuir a variabilidade para que esse limite seja atendido? d) Como o processo não permite o ajuste na variabilidade, a opção seria aumentar a média para atender a especificação. De quanto deve ser a nova média? e) Com a nova média obtida no item anterior, de quanto se espera aumentar a perda do empacotador em uma tonelada do produto.