VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Joaquim H Vianna Neto Relatório Técnico RTE-03/013 Relatório Técnico Série Ensino

2 Variáveis aleatórias ufjfbr/joaquim_neto 31 Introdução Informalmente, uma variável aleatória va) é uma característica numérica do resultado de um experimento Matematicamente, uma variável aleatória é uma função com domínio Ω e contradomínio R Porém, nem toda função deste tipo é uma variável aleatória Para saber sobre as condições que uma função deve satisfazer para ser uma variável aleatória, consulte James 1981) Ω X ufjfbr/joaquim_neto R Exemplo 38: Em um experimento que consiste em lançar uma moeda n vezes, o número de caras observado é uma característica numérica do experimento Exemplo 39: Suponhamos agora um experimento que consiste em escolher um número ao acaso em [0, 1] Podemos definir uma va X que associa o resultado do experimento ao seu quadrado Assim, Ω = [0, 1] e Xω) = ω, ω Ω Exemplo 330: Suponhamos um experimento que consiste em escolher um número ao acaso no círculo unitário Podemos definir uma va X que associa o resultado do experimento à distância entre o ponto escolhido e a origem Assim, Ω = {x, y) : x + y 1} e, com ω = x, y), Xω) = x + y Notação: Seja x R e A R Consideremos os seguintes conjuntos: Joaquim Neto ufjfbr/joaquim_neto página 51 de 73

3 [X x] = {ω Ω : Xω) x} [X = x] = {ω Ω : Xω) = x} [X < x] = {ω Ω : Xω) < x} [X x] = {ω Ω : Xω) x} [X > x] = {ω Ω : Xω) > x} [X A] = {ω Ω : Xω) A} 3 Função de distribuição acumulada Definição 30: A função de distribuição acumulada fda) de uma variável aleatória X, representada por F é definida por Fx) = P[X x]), x R Obs: A função de distribuição acumulada também é chamada de simplesmente de função de distribuição Exemplo 331: Suponhamos um experimento que consiste em escolher um número ao acaso em Ω = [ 1, 1] Sejam X uma va que associa o número escolhido ao seu quadrado e F a fda de X a) Calcule F05) b) Determine F c) Construa o gráfico de F Solução: a) F 05) = P [ X 05 ]) = P { ω Ω : X ω) 05 }) = P { ω Ω : ω 05 }) = P {ω Ω : 05 ω 05}) = pela definição geométrica de probabilidade ) = = 05 05) 1 1) b) Para x < 0, temos que Para 0 x 1, = 05 F x) = P [ X x ]) = P { ω Ω : X ω) x }) = P { ω Ω : ω x }) = como x < 0) = P ) = 0 a) F x) = P [ X x ]) = P { ω Ω : X ω) x }) = P { ω Ω : ω x }) = P { ω Ω : x ω x }) = pela definição geométrica de probabilidade ) = ) x x = 1 1) = x Joaquim Neto ufjfbr/joaquim_neto página 5 de 73

4 Finalmente, se x > 1, F x) = P [ X x ]) = P { ω Ω : X ω) x }) = P { ω Ω : ω x }) = como x > 1) = PΩ) = 1 Logo, c) Fx) 0, se x < 0 F x) = x, se 0 x 1 1 se x > ufjfbr/joaquim_neto x 33 Variável aleatória discreta e função de probabilidade Definição 31: Uma variável aleatória X é discreta se toma um número finito ou enumerável de valores, ou seja, se existe um conjunto finito ou enumerável {x 1, x, } R tal que P[X {x 1, x, }]) = 1 Se X for uma va discreta, a função px) = P[X = x]) é chamada de função de probabilidade de X px) x ufjfbr/joaquim_neto Gráfico de uma função de probabilidade Joaquim Neto ufjfbr/joaquim_neto página 53 de 73

5 Exemplo 33: Suponhamos um experimento que consiste em jogar dois dados Suponhamos ainda que os resultados são equiprováveis, ou seja, que cada resultado possível tem a mesma probabilidade Seja X uma variável aleatória que associa cada resultado à soma dos números obtidos em cada dado a) Faça o gráfico da função de probabilidade de X b) Faça o gráfico da função de distribuição de X Solução: Veja abaixo uma tabela com os valores de x, px) e Fx) x px) px) decimal) Fx) Fx) decimal) 1/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / A partir da tabela, podemos construir os gráficos px) x ufjfbr/joaquim_neto a) Função de probabilidade Fx) x ufjfbr/joaquim_neto b) Função de distribuição acumulada Exemplo 333: Suponhamos um experimento que consiste em arremessar um dado honesto Seja X a va associada ao número observado na face voltada para cima após o dado parar Sejam px) e Fx) a função de probabilidade e a função de distribuição acumulada de X, respectivamente a) Calcule p) b) Calcule p35) c) Calcule F) d) Calcule F37) e) Calcule F500) f) Calcule F 9) Joaquim Neto ufjfbr/joaquim_neto página 54 de 73

6 g) Construa o gráfico de px) h) Construa o gráfico de Fx) Solução: Temos que a) p) = P[X = ]) = 1/6 b) p35) = P[X = 35]) = 0 c) F) = P[X ]) = P[X = 1]) + P[X = ]) = 1/6 + 1/6 = /6 d) F37) = P[X 37]) = P[X = 1]) + P[X = ]) + P[X = 3]) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 e) F500) = P[X 500]) = 1 f) F 9) = P[X 9]) = P[X = 1]) + P[X = ]) + P[X = 3] + P[X = 4] + P[X = 5] + P[X = 6]) = P ) = 0 Obs: Se X é uma va discreta e A R então P X A ) = P [ X A ] [ X { x 1, x, }]) = P X A { x 1, x, })) [ ] = P X = xi i:x i A = P [ ]) X = x i i:x i A Resultado 38: Uma função px) é função de probabilidade de alguma variável aleatória discreta se, e somente se, existir um conjunto finito ou enumerável {x 1, x, } R tal que px) > 0 para x {x 1, x, }, px) = 0 caso contrário e i px i ) = 1 34 Variável aleatória contínua e densidade Definição 3: Uma variável aleatória X é contínua se existe uma função integrável px) 0 tal que x F x) = p t) dt, x R Joaquim Neto ufjfbr/joaquim_neto página 55 de 73

7 Se X for contínua, px) é chamada de função densidade de probabilidade de m _n et o X, ou simplesmente densidade de X /jo aq ui 𝑷 𝑿 𝒙 𝒙 u fjf b r 𝒑 𝒙 Resultado 39: Se X é uma va contínua então PX = x) = 0, x R Resultado 330S: e X é uma va contínua então, a, b R, PX a) = PX < a), PX a) = PX > a), e Pa < X < b) = Pa X b) = Pa < X b) = Pa X < b) Prova: Veremos apenas a prova da primeira equação, pois as demais possuem provas análogas PX a) = P[X < a] [X = a]) = pelo axioma 3) = = PX < a) + PX = a) = PX < a) + 0 = PX < a) Resultado 331: Se X é uma va contínua com densidade px), então Rb a p x) dx, a, b R 𝑷 𝒂<𝑿<𝒃 r/ jo aq ui m _n et o Pa X b) = Pa < X < b) = Fb) Fa) = u fjf b 𝒑 𝒙 𝒃 𝒂 Joaquim Neto ufjfbr/joaquim_neto página 56 de 73

8 Prova: Pa X b) = Pa < X b) = P[X b] [X a] c ) = PX b) PX a) = Fb) Fa) b a b = p x) dx p x) dx = p x) dx a Exemplo 334: Seja X uma variável aleatória com densidade p x) = { 6x x ), se 0 x 1 0, caso contrário a) Encontre a função de distribuição acumulada de X b) Calcule P0 < x < 07) Solução: a) Para x 0, F x) = x p t) dt = x 0dt = 0 Para 0 < x < 1, x x F x) = p t) dt = 6 x t t ) dt = 6 t t dt 0 0 = 6 t t3 x 3 = 6 x x3 = 3x x Para x 1, 0 1 F x) = p t) dt + 0 x 1 p t) dt + p t) dt = t t ) dt = 1 b) Usando a função de distribuição acumulada encontrada no item anterior, temos P0 < x < 07) = F07) F0) = ) = 068 Resultado 33: Uma função px) é densidade de alguma variável aleatória contínua se, e somente se, px) 0, x R e Joaquim Neto ufjfbr/joaquim_neto página 57 de 73

9 R p x) dx = 1 _n et o 𝒑 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟏 𝒑 𝒙 u fjf b r/ jo aq ui m Resultado 333: Uma função F é uma função de distribuição se, e somente se, as condições abaixo forem satisfeitas: x y implicar Fx) Fy), ou seja, F for uma função não decrescente lim F x) = F a), ou seja, F for contínua a direita x a+ lim F x) = 0 x lim F x) = 1 x Prova: Ver James 1981) Resultado 334: Para os pontos x onde Fx) é derivável, temos que px) = F0 x) Prova: Teorema Fundamental do Cálculo Obs: Este resultado estabelece que a densidade de uma va contínua pode ser obtida derivando a função de distribuição acumulada Exemplo 335: Sejam k R e X uma va com função de distribuição acumulada k 1 e x, se x > 0 F x) = 0, se x 0 a) Calcule o valor de k b) Encontre a densidade de X Solução: a) Lembre-se que o limite da função de distribuição acumulada quando x tende a infinito é igual a 1 Assim, lim F x) = 1 k lim 1 e x = 1 x k lim 1 e x = 1 x x k =1 k = Joaquim Neto ufjfbr/joaquim_neto página 58 de 73

10 et o _n im oa qu r/j jf b u f b) Como a densidade é dada pela derivada da função de distribuição acumulada, temos que Se x 0, Se x > 0, p x) = F0 x) = 0)0 = 0 0 p x) = F0 x) = 1 e x = e x Logo p x) = 35 0, se x 0 e x, se x > 0 Variável aleatória mista Exemplo 336: A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X é dada por: F x) = a) Faça o b) Calcule c) Calcule d) Calcule e) Calcule f) Calcule Solução: 0, se x < 0 x, se 0 x < 1, se 1 x < 3 11, se x < 3 1 1, se x 3 gráfico de Fx) PX = ) PX < ) PX = 1) PX > 1 ) P1 < X < 3) a) 11 3 = 1 b) PX = ) = 1 = 41 = 0, c) PX < ) = PX ) PX = ) = 1 1 = 1 = = 0, d) PX = 1) = 3 = 6 = 1, e) PX > 1 ) = 1 PX 1 ) = 1 41 = 4 = 075 Joaquim Neto ufjfbr/joaquim_neto página 59 de 73

11 f) P1 < X < 3) = PX < 3) PX 1) = PX 3) PX = 3) PX 1) = ) 3 = 0, 5 36 Função de uma variável aleatória Se X é uma variável aleatória, então qualquer função de X, digamos gx), é também uma variável aleatória Assim, podemos considerar uma variável Y = gx), onde g é uma função com domínio e contradomínio R Para cada subconjunto A de R, consideremos um novo conjunto, denotado por g 1 A), e definido por g 1 A) = {x R : gx) A} Ω Ω X Y = gx) g 1 A) R g ufjfbr/joaquim_neto A PX g 1 A)) = PY A) R A partir da distribuição de probabilidades da variável X, podemos calcular chances para a variável Y Este cálculo pode ser feito com a equação PY A) = PgX) A) = PX g 1 A)) Exemplo 337: Seja X uma va com função de probabilidade p X x) = x 15, para x = 1, 1,, 3 0, caso contrário Encontre a distribuição de Y = X Solução: A tabela abaixo exibe uma relação entre valores e chances x y p X x) / /15 4 4/ /15 Joaquim Neto ufjfbr/joaquim_neto página 60 de 73

12 Resumindo as informações da tabela acima, podemos construir uma tabela que com a distribuição de chances de Y, a saber: y p y y) 1 /15 4 4/15 9 9/15 Exemplo 338: Seja X uma va com densidade p X x) = 9 x + 1), se 1 x 0, caso contrário a) Encontre a função de distribuição acumulada de Y = X b) Encontre a densidade p Y y) de Y = X Solução: a) Primeiro, observe o gráfico da densidade e o gráfico da função gx) = x ufjfbr/joaquim_neto c) Densidade de X ufjfbr/joaquim_neto d) Função gx) = x Sejam F X x) e F Y y) as funções de distribuição acumulada de X e Y, respectivamente Vamos encontrar F Y y) Para y 0, temos Para 0 < y 1, temos F Y y) = PY y) = PX y) = P ) = 0 F Y y) = PY y) = PX g 1 [Y y])) = P y X y) y = 9 t + 1) dt = t ) y 9 + t y y = y 9 + y y + ) y 4 y = 9 Joaquim Neto ufjfbr/joaquim_neto página 61 de 73

13 Para 1 < y 4, temos F Y y ) = P Y y ) = P X g 1 [ Y y ])) = P 1 < X y ) y = 9 t + 1) dt = t ) y 9 + t 1 1 = y 9 + y 1 ) + 1 y + y + 1 = 9 Por fim, se y > 4, F Y y ) = P Y y ) = P X g 1 [ Y y ])) = P 1 < X ) = 1 Resumindo, temos ) F Y y = 0, se y 0 4 y 9, se 0 < y 1 y+ y+1, se 1 < y 4 9 1, se y > 4 b) Agora, para encontrar a densidade de Y, basta derivar a função de distribuição acumulada obtida no item anterior, ou seja, ) p Y y = 0, se y 0 y 05, se 0 < y y 05, se 1 < y 4 9 0, se y > 4 Definição 33 suporte): Sejam X uma va X Consideremos os conjuntos e Y = gx) uma tranformação de X = {x : p X x) > 0} e Y = {y : y = gx) para algum x X} O conjunto X é chamado de suporte de X Resultado 335: Sejam X uma va e Y = gx) uma tranformação de X Se g for uma função crescente em X, F Y y) = F X g 1 y)) para y Y Joaquim Neto ufjfbr/joaquim_neto página 6 de 73

14 Se g for uma função decrescente em X e X for contínua, F Y y) = 1 F X g 1 y)) para y Y Exemplo 339 Relação da exponencial com a uniforme): Seja X uma va com densidade 1 p X x) = { 1, se 0 < x < 1 0, caso contrário Encontre a densidade de Y = gx) = lnx) Solução: Consideremos os conjuntos X = 0, 1) e Y = 0, ) Primeiro, observe que g é decrescente em X derive a função g para uma verificação formal deste fato) Além disso, g 1 y) = e y e Pelo resultado 36, temos que 0, se x 0 F X x) = x, se 0 < x < 1 1, se x 1 F Y y) = 1 F X g 1 y)) = 1 F X e y ) = 1 e y, para y 0, ) Naturalmente, F Y y) = 0 para y 0 Resultado 336 densidade de uma transformação): Sejam X uma va e Y = gx) uma tranformação de X, onde g é uma função estritamente crescente ou estritamente decrescente Suponhamos ainda que p X x) é contínua 3 em X e que g 1 y) é derivável em Y A densidade de Y é dada por p Y y ) = p X g 1 y )) d dy g 1 y ), 0, caso contrário se y Y Prova: Usando o resultado anterior e a regra da cadeia, ) d p Y y = dy F ) Y y = 31) p X g 1 y )) d dy g 1 y ), se g for crescente p X g 1 y )) d dy g 1 y ), se g for decrescente, que pode ser expressa de forma concisa como 31) Exemplo 340: Seja X uma va com densidade p X x) = { x, se 0 < x < 0, caso contrário 1 Mais adiante, veremos que esta é a distribuição uniforme Mais adiante, veremos que esta é a distribuição exponencial 3 A continuidade de px) garante a diferenciabilidade de F X x) Joaquim Neto ufjfbr/joaquim_neto página 63 de 73

15 Encontre a densidade p Y y) de Y = X Solução: Consideremos os conjuntos X = 0, ) e Y = 0, 4) Temos que Y = gx), onde gx) = x e, como g é uma função estritamente crescente em X, temos que ) p p Y y = X g 1 y )) d dy g 1 y ), se y Y 0, caso contrário ) p = X y y, se 0 < y < 4 0, caso contrário 1 = 4, se 0 < y < 4 0, caso contrário 37 Quantil e mediana Definição 34: Seja p um número real tal que 0 < p < 1 uma va contínua X é um número real tal que O quantil qp) de PX qp)) = p Obs: Podemos obter qp) a partir da densidade com a equação qp) p x) dx = p Podemos obter qp) a partir da acumulada com a equação qp) = F 1 p) Definição 35: A mediana de uma va contínua X é dada por q0, 5) Exemplo 341: Seja X uma va com densidade p x) = { 3x, se 0 < x < 1 0, caso contrário Calcule a mediana de X Joaquim Neto ufjfbr/joaquim_neto página 64 de 73

16 Solução: Para x < 1, temos que q0,5) R p x) dx = 05 q0,5) R 0 3x dx = 05 q0, 5)3 = 05 3 q0, 5) = Valor esperado Definição 36: Se X é uma va discreta que assume valores no conjunto {x1, x,, xn }, o valor esperado de X é n X xi p xi = x1 p x1 ) + x p x ) + + xn p xn ) E X = Seja X uma va contínua, o valor esperado de X é Z E X = x p x) dx, 𝒑 𝒙 𝑬 𝑿 u fjf b r /jo aq ui m _n et o quando a integral está bem definida Obs: O valor esperado também é chamado de esperança ou expectativa Exemplo 34: Uma empresa comercializa um produto que possui um determinado prazo de validade Para cada R$8,00 reais e tem um custo produto ser vendido antes de a seguradora espera lucrar em Joaquim Neto unidade vendida do produto, a empresa recebe de R$,00 Sabendo que a probabilidade de um vencer seu prazo de validade é de 90%, quanto uma unidade do produto? ufjfbr/joaquim_neto página 65 de 73

17 Solução: Seja X o lucro da empresa em uma unidade do produto Se o produto for vendido, temos que X assume o valor R$8,00-R$,00=R$6,00 Caso contrário, X assume o valor -R$,00 Assim, EX) = R$6, R$, 00) 0, 1 = R$5, 0 Logo, o lucro esperado em uma unidade do produto é de R$5,0 reais Exemplo 343: Sejam k R e X uma va com densidade p x) = a) Encontre o valor de k b) Calcule o valor esperado de X Solução: a) b) x 1 k, se 1 < x < 3 0, caso contrário p x) dx = 1 3 x 1 k dx = 1 1 ) 1 x k x 3 = 1 1 k = E X ) 3 x 1 ) = xp x) dx = x dx 1 = 1 x 3 3 x 3 = ) = Valor esperado da função de uma va Resultado 337: Sejam X e Y = gx) duas variáveis aleatórias Se X é discreta e assume valores em um conjunto {x 1, x, }, então E Y ) = g ) ) x i px xi i Joaquim Neto ufjfbr/joaquim_neto página 66 de 73

18 Se X é contínua, então E Y ) = g x) p X x) dx 310 Propriedades do valor esperado Resultado 338: Se a, b R e X é uma va, temos que a) Ea) = a, b) EaX + b) = aex) + b e Prova: a) Ea) = a 1 = a b) Vamos provar o resultado assumindo que X é discreta A prova para X contínua é análoga basta trocar os somatórios por integrais) E ax + b ) n = axi + b ) P [ ax + b ) = ax i + b )]) n = axi + b ) P [ ]) X = x i n = a x i p ) n x i + b p ) x i = ae X ) + b } {{ } 1 Como consequência imediata do resultado acima, temos que EaX) = aex), a R e EX EX)) = Momento Definição 37: O k-ésimo momento da variável aleatória X, é definido por EX k ) Seja a R definido por O k-ésimo momento em torno de a da variável aleatória X, é EX a) k ) O k-ésimo momento central da variável aleatória X, é definido por EX EX)) k ) Joaquim Neto ufjfbr/joaquim_neto página 67 de 73

19 31 Variância Definição 38: Seja X uma va discreta que assume valores no conjunto {x 1, x,, x n } A variância de X é VarX) = EX EX)) ) Exemplo 344: Uma empresa comercializa um produto que possui um determinado prazo de validade Para cada unidade vendida do produto, a empresa recebe R$9,00 reais e tem um custo de R$,00 Nestas condições a probabilidade de um produto ser vendido antes de vencer seu prazo de validade é de 80% a) Quanto a empresa espera lucrar em uma unidade do produto? b) Qual é a variabilidade do lucro da empresa em uma unidade do produto? c) Faça uma comparação entre esta empresa e a empresa apresentada no exercício 38 compare a expectativa de lucro por unidade do produto e a variabilidade do lucro/prejuízo por unidade) Solução: a) Seja X o lucro da empresa em uma unidade do produto Se o produto for vendido, temos que X assume o valor R$9,00-R$,00=R$7,00 Caso contrário, X assume o valor R$, 00 Assim, EX) = R$7, R$, 00) 0 = R$5, 0 Logo, o lucro esperado em um carro segurado é de R$5,0 reais b) A variabilidade do lucro da seguradora em um carro segurado é dada por Var X ) = n xi E X )) ) p xi = 5, 0 ) , 0 ) 08 = 1, 96 c) Note que o valor esperado da unidade do produto nesta empresa é igual ao da empresa apresentada no exemplo 38 R$5, 0) Por outro lado, a variabilidade do lucro em uma unidade do produto desta empresa é maior aplicando os passos do item b) no exemplo 38, temos VarX) = 5, 76) Assim, podemos concluir que ambas as empresas possuem a mesma expectativa de lucro por carro Porém, a empresa deste exercício possui uma variabilidade de lucro maior, ou seja, está sujeita a perdas maiores mas, por outro lado, possui a possibilidade de lucrar mais mais agressiva) 313 Propriedades da variância Sejam a, b R e X uma variável aleatória As seguintes propriedades são válidas: a) Vara) = 0, b) VaraX + b) = a VarX) Joaquim Neto ufjfbr/joaquim_neto página 68 de 73

20 Prova: a) Vara) = a Ea)) 1 = a a) = 0 b) Sem perda de generalidade, suponhamos que X é uma va discreta Assim, Var ax ) n = axi E ax )) ) p xi = n = axi ae X )) ) p xi n = a xi E X )) ) p xi = a Var X ) Resultado 339: Prova: VarX) = EX ) EX)) Sem perda de generalidade, suponhamos que X é uma va discreta Assim, Var X ) = n xi E X )) ) p xi n = x i x i E X ) + E X )) ) p x i ) n = x p ) x i i E X ) n x i p ) x i + E X )) n p ) x i } {{ }} {{ }} {{ } EX ) EX) 1 = E X ) E X )) )) + E X = E X ) E X )) 314 Exercícios Exercício 31 Uma variável aleatória X tem densidade k p x) = e x, se x 0 0, caso contrário a) Qual é o valor de k? b) Qual é a função de distribuição acumulada de X? c) Qual é a mediana da distribuição de X? Joaquim Neto ufjfbr/joaquim_neto página 69 de 73

21 Exercício 3 Seja X uma variável aleatória associada ao diâmetro de um cabo elétrico Assuma que X tem densidade p x) = { kx x ), se 0 x 1 0, caso contrário a) Qual é o valor de k? b) Calcule EX) e VARX) c) Calcule P0 X 1/) Exercício 33 Seja X uma variável aleatória com densidade p x) = { 6x x ), se 0 x 1 0, caso contrário Calcule Pµ σ < x < µ + σ), onde µ = EX) e σ = VarX) Exercício 34 Considere a função: p x) = x 14, para x = 1,, 3 0, caso contrário a) Mostre que esta função é uma função de probabilidade b) Seja X uma variável aleatória com função de probabilidade px) Qual é a função de distribuição acumulada de X c) Seja X uma variável aleatória com função de probabilidade px) Determine P X = 1 X ) Joaquim Neto ufjfbr/joaquim_neto página 70 de 73

22 315 Respostas dos exercícios 31) a) k = ; b) F X x) = { 1 e x ), se x 0 0, caso contrário ; c) ) a) k = 3 ; b) EX) = 5 8 ; c) P0 X 1/) = ) µ = EX) = 1, EX ) = 3, σ = 0, Pµ σ < x < µ + σ) = x 34) a) Primeiro, observe que px) 0, x R Além disso, = 1; b) 14 x=1 0, se x < 1 1/14, se 1 x < F x) = ; c) 0 5/14, se x < 3 1, se x > 3 Joaquim Neto ufjfbr/joaquim_neto página 71 de 73