Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

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1 Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Contínuas 14/10 1 / 25

2 VALE A PENA VER DE NOVO:Variáveis Aleatórias Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Contínuas 14/10 2 / 25

3 VALE A PENA VER DE NOVO:Variáveis Aleatórias Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Contínuas 14/10 3 / 25

4 VALE A PENA VER DE NOVO:Variáveis Aleatórias Experimento: jogar 2 moedas e observar o resultado (K = cara e C = coroa) KK CK KC CC X: número de caras em 2 lances de moeda Ω X(Ω) (imagem) X(CC) = 0 X(KC) = X(CK) = 1 X(KK) = 2 P(X = 0) = P(CC) P(X = 1) = P(KC CK) P(X = 2) = P(KK) Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Contínuas 14/10 4 / 25

5 VALE A PENA VER DE NOVO:Função de Distribuição Definição:(Função de Distribuição) Seja X uma variável aleatória em (Ω,,P), sua função de distribuição é definida por com x percorrendo todos os reais. F(x) = P(X (,x]) = P(X x), PROPRIEDADES: As condições necessárias e suficientes para que uma função seja uma função de distribuição são: (F1) lim F(x) = 0 e lim F(x) = 1; x x (F2) F é contínua à direita, isto é, para x n x tem-se que F(x n ) F(x) lim x n x F(x n) = F(x + ) = F(x) ; (F3) F é não decrescente, isto é, F(x) F(y) sempre que x y, x,y. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Contínuas 14/10 5 / 25

6 Variáveis Aleatórias Apresente exemplos de variáveis aleatórias. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Contínuas 14/10 6 / 25

7 Variáveis Aleatórias Contínuas Considere a turma de Probabilidade II e responda as questões: Seja a variável Y=número de irmãos. Enumere todos os possíveis valores de Y. Seja a variável Z=nota na primeira prova, com duas casas decimais. Enumere todos os possíveis valores de Z. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Contínuas 14/10 7 / 25

8 Variáveis Aleatórias Contínuas Suponha que X possa assumir um número finito muito grande de valores, digamos todos os valores x no intervalo 0 x 1, da forma: 0;0.01;0.02;...;0.98;0.99;1.00. A cada um desses valores está associado um número não-negativo p(x i ) = P(X = x i ), i = 1,2,..., cuja soma é igual a 1. Poderia ser matematicamente mais fácil considerar a apresentação probabilística de X supondo que X pudesse tomar todos os valores possíveis, 0 x 1. Não podemos esperar que possamos atribuir probabilidades aos valores de uma variável contínua da mesma maneira que o fizemos para as variáveis discretas. A soma de uma quantidade não enumerável de números positivos não poderia ser igual a um. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Contínuas 14/10 8 / 25

9 Variáveis Aleatórias Contínuas Uma vez que os valores possíveis de X não são enumeráveis, não podemos falar do i-ésimo valor de X, e, por isso, p(x i ) se torna sem sentido. Em vez de atribuir, como no caso discreto, probabilidades aos valores da variável, pode-se atribuir probabilidades a intervalos de valores da variável contínua por meio de uma função. A ideia então é substituir a função p definida somente para x 1,x 2,... por uma função f definida para todos os valores de x. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Contínuas 14/10 9 / 25

10 Variáveis Aleatórias Contínuas Definição 1.1: (Variável aleatória contínua) Uma variável aleatória X é contínua se assume valores num intervalo da reta real, ou seja, o número de valores que X pode assumir é não enumerável. EXEMPLOS: Tempo até a cura de uma doença; Peso das peças em uma linha de produção; Salário dos estatísticos em João Pessoa. Definição 1.2: (Variável aleatória absolutamente contínua) Uma variável aleatória X é absolutamente contínua se existir uma função não negativa f tal que para todo x, F(x) = x f(t)dt, em que F é a função de distribuição acumulada e f é a função densidade da variável aleatória X. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Contínuas 14/10 10 / 25

11 Variáveis Aleatórias Contínuas Definição 1.3: (Função densidade de Probabilidade - fdp) A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua é uma função que satisfaz (i) f(x) 0, x ; (ii) f(x)dx = 1. Observação 1.1: Por ser uma nomenclatura mais comum, a variável aleatória absolutamente contínua será chamada aqui apenas de contínua. Consideraremos então a variável aleatória X como contínua se sua função de distribuição F é absolutamente contínua (por ser integral da função de densidade). Observação 1.2: Uma variável aleatória pode ser classificada como singular, se sua função de distribuição é contínua, mas sua derivada é zero em quase todos os pontos Observação 1.3: Uma variável aleatória pode ser classificada como mista, se tem partes em diferentes classificações. O mais comum é a mistura de parte contínua com discreta. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Contínuas 14/10 11 / 25

12 Variáveis Aleatórias Contínuas IMPORTANTE: A partir da definição de função de distribuição, tem-se que P(a X b) = b a f(x)dx = F(b) F(a). Note que a integral acima não se altera com a inclusão ou não dos extremos a e b. Dessa forma, para as variáveis contínuas, a probabilidade da variável ser igual a um particular valor é zero. Assim, P(X(ω) [a,b]) = P(a X b) = P(a < X b) = P(a X < b) = P(a < X < b). P(a X b) representa a área sob a curva da função densidade entre a e b. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Contínuas 14/10 12 / 25

13 Variáveis Aleatórias Contínuas IMPORTANTE:A função de densidade serve para a caracterização da variável contínua. Dada a função de densidade, a função de distribuição é obtida por integração. Por outro lado, derivando a função de distribuição, obtemos a densidade. Ou seja, utilizando o teorema fundamental de Cálculo, se f(x) for contínua, temos a seguinte relação d F(x) = f(x) dx Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Contínuas 14/10 13 / 25

14 Exemplo 1 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Contínuas 14/10 14 / 25

15 Exemplo 2 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Contínuas 14/10 15 / 25

16 Exemplo 2 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Contínuas 14/10 16 / 25

17 Exemplo 2 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Contínuas 14/10 17 / 25

18 Exercícios Exercício 1.1: Seja X uma variável aleatória e F uma função. Verifique que F é uma funções de distribuição. É possível identificar se a variável é discreta ou contínua? Obtenha a função densidade ou função de probabilidade conforme o caso. a) F(x) = 0, se x < 6; (x 6)/2, se 6 x < 8; 1, se x 8. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Contínuas 14/10 18 / 25

19 Exercícios Exercício 1.1: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Contínuas 14/10 19 / 25

20 Exercício 1.2 Exercícios Seja X a variável aleatória denotando o tempo semanal necessário para completar um pequeno contrato. A fdpde X é dada por: x 2 Calcule:, para 2 x x f ( x ) =, para 6 < x , para outros valores a) Verifique que f é uma densidade; b) P(5 X 7); Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Contínuas 14/10 20 / 25

21 Variáveis Aleatórias Contínuas Exercício 1.2: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Contínuas 14/10 21 / 25

22 Variáveis Aleatórias Contínuas Exercício 1.3: Seja X uma V.A. com densidade f(x) = cx 2, 1 x 1, e f(x) = 0, caso contrário. a) Determine o valor de c. b) Calcule P( X > 1 2 ). c) Ache o valor de α tal que F(α) = 1 ( o valor de α que satisfaz esta 4 relação é denominado primeiro quartil da distribuição de X). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Contínuas 14/10 22 / 25

23 Variáveis Aleatórias Contínuas Exercício 1.3: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Contínuas 14/10 23 / 25

24 Variáveis Aleatórias Contínuas Exercício 1.4: O tempo de falha de um equipamento tem função densidade dada por f(t). f(t) = 2e 2t, t > 0; 0, c.c. a) Determine a função de distribuição acumulada de T. b) Qual a probabilidade do equipamento durar pelo menos 1 hora, dado que já durou meia hora? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Contínuas 14/10 24 / 25

25 Variáveis Aleatórias Contínuas Exercício 1.4: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variáveis Aleatórias Contínuas 14/10 25 / 25