Variável aleatória. O resultado de um experimento aleatório é designado variável aleatória (X)

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1 Variável aleatória O resultado de um experimento aleatório é designado variável aleatória (X)

2 Função densidade de probabilidade A função densidade de probabilidade associa cada possível valor da variável aleatória (X) à sua probabilidade de ocorrência P(X)

3 Tipos de Variável Aleatória Variável aleatória discreta Os resultados possíveis são finitos e podem ser enumerados (jogadas de moedas, dados, etc.) Variável aleatória contínua Os resultados possíveis são infinitos e não podem ser enumerados (ex.: peso, altura, rendimento, saldo, duração de percurso, etc.)

4 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Exemplo 1. Um sistema de comunicação por voz para uma empresa comercial contem 48 linhas externas. Em um determinado tempo, o sistema é observado e algumas das linhas estão sendo usadas. Considere a variável aleatória X como sendo o número de linhas em uso. Então X pode assumir qualquer um dos valores inteiros de 0 a 48. Quando o sistema for observado, se 10 linhas estiverem sendo usadas, tem-se x = 10.

5 Exemplo 2. Seja: E - lançamento de duas moedas não viciadas S = { (c, c), ( c, k), ( k, c), ( k, k)} X = número de caras obtidos nas duas moedas X = { 0, 1, 2 } X = 0 (nenhuma cara ) - corresponde ao evento {(k, k)} X = 1 (uma cara) - corresponde ao evento {( k, c), ( c, k) } X = 2 (duas caras ) - corresponde ao evento {(c, c)} Para este mesmo espaço amostral, poderíamos definir muitas outras variáveis, por exemplo, o quadrado do número de caras, ou, o número de caras menos o números de coroas, etc.

6 Exemplo 3. Um peça é selecionada de uma produção diária com uma medição muito acurada de um comprimento. Considere X como sendo o comprimento da peça selecionada. A faixa de valores de X inclui todos os valores de um intervalo de números reais.

7 Definição: Seja E um experimento e S o espaço amostral associado ao experimento. Uma função X que associa para cada elemento s S um número real X(s) é denominada variável aleatória. Denota-se em geral por uma letra maiúscula X, Y,...etc. S R s X(s) X(s) OBSERVAÇAO: Uma variável aleatória X será discreta se o número de valores possíveis de X (seu contradomínio) for finito ou infinito enumerável. Caso seu contradomínio seja um intervalo ou uma coleção de intervalos, ela será uma variável aleatória contínua.

8 FUNÇÃO DE PROBABILIDADE Definição: Seja X uma variável aleatória discreta, e sejam x 1, x 2,...x n os valores que ela pode assumir. A cada possível resultado x i associaremos a probabilidade de x i. Os números p(x i ), i=1, 2, 3,...,n devem satisfazer as seguintes condições. 1. px ( ) 0 n 2. px ( ) 1 i 1 i i 3. p( x) P( X x) A função p definida acima, é denominada função de probabilidade da variável aleatória X e p(x) pode ser expressa por tabelas e gráficos.

9 Exemplo 01: Determine a função de probabilidade correspondente à variável aleatória do exemplo anterior e construa o seu gráfico. P(c, c) = 1/4 P( c, k)= 1/4 P(k, c)= 1/4 P(k, k)= 1/4 p(0) = P( X =0) = P(k,k)= 1/4 p(1) = P(X = 1) = P( c, k) + P( k, c)= 1/4 + 1/4 =2/4=1/2 p(2) = P(X = 2 )=P(c,c)= 1/4

10 Em forma de tabela ou gráfico a função de probabilidade é dada por: x p(x) 1/4 1/2 1/4 1/2 1/4 p(x) x Gráfico em barras

11 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE (f.d.p.) Definição: Seja X uma variável aleatória, cujo contradomínio X(S) é infinito não enumerável, como por exemplo, um intervalo. Consideremos que haja uma função contínua f : R R, tal que P( a X b) seja igual à área sob o gráfico de f entre x =a e x =b. ( conforme figura 1)

12 f( x) função de densidade de probabilidade ou função probabilidade contínua Figura 1 1. f( x) 0 2. f ( x) dx 1 3. P( a X b) f ( x) dx b a

13 Observações: 1. f ( x) 0 para todo x real, significa que o gráfico da função está acima do eixo x 2. f ( x) dx 1, significa que a área total sob a curva f ( x) é igual a 1 b 3. P( a X b) f ( x) dx, significa que as probabilidades, a são igual a áreas abaixo da curva f( x) a 4.Como P(X=a)= f ( x) dx 0,segue que a P(a<x<b)=P(a x<b)=p(a<x b)=p(a x b)

14 Distribuição Normal de Probabilidades 14

15 Idade de 100 pessoas Xi Total fi Fr ( % ) 15 % 20 % 30 % 20 % 15 % 100 % 15

16 fi 30 HISTOGRAMA Xi 16

17 fdp 3,0 Função Densidade de Probabilidade 2,5 P (20 x 40 ) = 50% 2,0 1,5 1,0 30% 20% 20% 15% 15% 0, Xi 17

18 fdp 3,0 Função Densidade de Probabilidade 2,5 P (20 x 40 ) = 50% 2,0 1,5 30% 1,0 20% 0, Xi 18

19 fdp 3,0 Função Densidade de Probabilidade 2,5 P (20 x 40 ) = 50% 2,0 1,5 1,0 50% 0, Xi 19

20 DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS

21 Considere a variável aleatória contínua X em que definimos a função f(x) denominada função densidade de probabilidade e que tem as seguintes propriedades: A probabilidade da variável aleatória X é sempre definida num intervalo de valores dessa variável X, por exemplo, (x 1, x 2 ). A probabilidade da variável aleatória X é medida pela área sob a curva da função densidade f(x) num determinado intervalo. A área total sob a curva f(x) é igual a um ou 100%. O valor f(x) da função densidade não mede a probabilidade do valor x da variável aleatória X.

22 VA Contínua Para a variável aleatória contínua X que assume valores do conjunto dos números reais há uma função matemática f(x) com as seguintes premissas: A função densidade de probabilidade f(x) é sempre positiva, para todo x pertencente a X. A área sob a função f(x) entre os limites menos infinito e mais infinito da variável aleatória contínua X é igual a um ou 100%: f ( x) dx 1 A probabilidade da VA contínua X dentro do intervalo (a, b) com ambos limites incluídos é medida pela área definida pela função f(x) entre os limites a e b: P ( a x b) f ( x) dx b a

23 Um ponto f(x) da função densidade não é a probabilidade do valor x da variável aleatória X, pois, por exemplo, o ponto f(x=a) da função densidade é zero. Como deve-se representar os limites do cálculo da probabilidade de uma variável aleatória contínua dentro do intervalo (a, b), P(a X b) ou P(a<X<b)? As duas podem representações podem ser utilizadas, incluindo a representação com limites mistos, por exemplo: P(a X<b) ou P(a<X b)! Neste estudo utilizaremos a representação P(a X b).