Cálculo das Probabilidades I

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1 Cálculo das Probabilidades I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 1 / 19

2 Calculamos algumas características da variável aleatória X, tais como E(X) e Var(X), através da distribuição de probabilidade de X. Vimos que a variância pode ser expressa como uma função da esperança das duas primeiras potências de X. Outras características da distribuição de probabilidade de X podem ser expressas por meio das esperanças das potências de X como por exemplo coeficientes de assimetria e curtose. É possível introduzir uma outra função que facilita o cálculo de probabilidades e de outras quantidades relacionadas bem como é uma ferramenta muito útil para determinar distribuições de funções de variáveis aleatórias. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 2 / 19

3 Definição 4.1: Seja X uma variável aleatória. Então o momento de ordem k é definido como, µ k = E(X k ), se E( X k ) <. Para o caso discreto, temos que: µ k = E(X k ) = i=1 x k i p(x i ). Para o caso contínuo, temos que: µ k = E(X k ) = x k f(x)dx. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 3 / 19

4 O momento central de ordem k é definido como, µ k = E((X µ) k ). O valor esperado é o momento de ordem 1 e a variância é o momento central de ordem 2, que pode também ser obtida como a diferença entre o momento de ordem 2 e o quadrado do momento de ordem 1. Definição 4.2:(Função Geradora de Momentos) A função geradora de momentos da variável X é definida por M X (t) = E(e tx ), desde que a esperança seja finita para t real em algum intervalo t 0 < t < t 0, com t 0 > 0. Para o caso contínuo, temos que: M X (t) = E(e tx ) = etx f(x)dx. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 4 / 19

5 Segundo a definição de esperança o valor infinito é possível e, portanto, a expressão acima também pode produzir esse valor para algum intervalo de t. Entretanto, a definição de função geradora de momentos requer que a integral seja finita para valores de t em uma vizinhança de zero. Isto garante algumas propriedades importantes dessa função. Assim, diremos que a função geradora de momentos não existe para valores de t, fora de algum intervalo ao redor de zero, em que é infinita. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 5 / 19

6 EXEMPLO 4.1:Seja X uma V.A. com a seguinte função de distribuição. Obtenha a função geradora de momentos de X. 0, se x < 0; F(X) = x 2, se 0 x < 1; 1, se x 1; Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 6 / 19

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9 PROPRIEDADES: Apresentaremos agora a justificativa de se denominar M X função geradora de momentos. Lembrando que e X pode ser escrita com uma expansão em série de potências. Temos então que e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! x n n! +... e tx = 1 + tx + (tx)2 2! + (tx)3 3! (tx)n n! +... Aplicando esperança em ambos os lados obtemos do lado esquerdo M X (t). Para o lado direito, admitimos ser válido permutar soma infinita e esperança. M X (t) = E(e tx ) = E 1 + tx + (tx)2 + (tx) (tx)n ! 3! n! Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 9 / 19

10 M X (t) = 1 + te(x) + t2 E(X 2 ) 2! + t3 E(X 3 ) 3! tn E(X n ) n! +... Já que M X (t) é uma função da variável t, podemos tomar a derivada de M X (t) em relação a t, supondo que o lado direito possa ser escrito como a soma infinita das respectivas derivadas. M X (t) = t M X(t) = 0 + E(X) + 2tE(X 2 ) 2! M X (t) = E(X) + te(x 2 ) + t2 E(X 3 ) 2! + 3t2 E(X 3 ) 3! ntn 1 E(X n ) n! tn 1 E(X n ) (n 1)! Para t = 0 obtemos M (0) = E(X) X Assim, a primeira derivada da F.G.M. calculada para t = 0, fornece o primeiro momento que é o valor esperado da variável aleatória. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 10 / 19

11 Calculando a segunda derivada de M X (t) temos que, Para t = 0 obtemos M (t) = X E(X 2 ) + te(x 3 ) tn 2 E(X n ) +... (n 2)! M X (0) = E(X 2 ) Continuando dessa forma, teremos o seguinte teorema Teorema 4.1: Suponha que a função geradora de momentos de X exista para t < t 0, t 0 > 0. Então E(X n ) existe para n = e temos: E(X n ) = M ( n) X (t) = n t=0 t n M X(t) A demonstração desse teorema já está apresentada acima. t=0. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 11 / 19

12 IMPORTANTE: Se a f.g.m. existe, então para t = 0 tem-se que M X (0) = E(e t 0 ) = E(1) = 1. E(X n ), n = 1,2,..., são denominados momentos de ordem n da variável aleatória X, em relação a zero. Assim, mostramos que a partir do conhecimento da f.g.m. os momentos podem ser gerados. Em particular, Var(X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = M (0) [M (0)] 2. Teorema 4.2: Suponha que a variável aleatória X tenha função geradora de momentos M X. Seja Y = ax + b em que a e b são constantes. Então, a f.g.m. de Y é dada por: M Y (t) = e bt M X (at) Demonstração: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 12 / 19

13 Teorema 4.3: Sejam X 1,X 2,...,X n variáveis aleatórias independentes, com M X1,M X2,...,M Xn sendo suas respectivas funções geradoras de momentos para t em alguma vizinhança de zero. Se Y = X 1 + X X n, então a função geradora de momentos de Y existe e é dada por: Demonstração: M Y (t) = n M Xj (t). j=1 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 13 / 19

14 Teorema 4.4: Sejam X e Y variáveis aleatórias com função geradora de momentos M X (t) e M Y (t), respectivamente. Se M X (t) = M Y (t), para todo t em t < t 0, t 0 > 0, então X e Y tem a mesma distribuição de probabilidade. Em outras palavras, se X e Y têm a mesma F.D.A. então elas possuem a mesma f.g.m., do mesmo modo se X e Y tem a mesma f.g.m., então elas possuem a mesma F.D.A.. A demonstração desse teorema não será feita pois precisaríamos de alguns resultados que estão fora do conteúdo desse curso. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 14 / 19

15 EXEMPLO 4.2: A partir da função geradora de momentos do exemplo 4.1 obtenha a E(X) e a Var(X). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 15 / 19

16 EXEMPLO 4.3: Seja X uma V.A. com f.g.m. M X (t) = (0.4e t + 0.6) 8. a) Obtenha a esperança de X. b) Estabeleça a f.g.m. de Y = 3X + 2. c) Obtenha a esperança de Y. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 16 / 19

17 EXEMPLO 4.3: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 17 / 19

18 EXEMPLO 4.4: Seja X uma V.A.C com função densidade de probabilidade f(x) = 1 2 e x, com < x <. a) Obtenha a f.g.m. de X. b) A partir da f.g.m. obtenha a variância de X. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 18 / 19

19 EXEMPLO 4.4: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 19 / 19