Estatística Aplicada I

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1 Estatística Aplicada I ESPERANCA MATEMATICA AULA 1 25/04/17 Prof a Lilian M. Lima Cunha Abril de 2017 EXPERIMENTO RESULTADOS EXPERIMENTAIS VARIÁVEL ALEATÓRIA X = variável aleatória = descrição numérica do resultado de um experimento -cada um de seus possíveis valores se associa a uma probabilidade DISCRETA CONTINUA 1

2 Distribuição de X: conjunto dos valores de X e as respectivas probabilidades X = variável aleatória P(X) = Probabilidade associada aos valores de X X = numero de clientes que usam caixa eletrônico no período de 1 minuto EX1 X P(X) 0 0, , , , , ou mais 0,0527 ( ) = % EX2 Resultado do lançamento de um dado P (X) P (X) 1/6 1/6 1/7 1/ X ( ) = = 2

3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS EX1:Examecom4partes(CPA) X = numero de partes que o candidato foi aprovado (0,1,2,3,4) = numero finito EX 2: X = numero de carros que chegam no pedágio no períodode1dia=numerointeiroseinfinitos EX 3: Pesquisa solicita ao individuo que relembre a mensagem de um recente comercial de TV X = 1 para os que lembram X = 0 para os que não lembram. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTINUAS EX 1: Ambulância no atendimento de ocorrências em um trecho de 90 km; X = numero de km até o local do próximo acidente de trânsito ao longo do trecho de 90 km; X = qualquervalorentre0e90 EX2:X=tempoparasacardinheiro EX3: encher uma lata de refrigerante que tem capacidade para 350 ml X = quantidade em ml; x = qualquer valor entre 0 e 350 3

4 DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE X = variável aleatória discreta P(X)=probabilidadeassociadaacadaX A distribuição dessas probabilidades (P(X)) e definida por uma função de probabilidade chamada f(x) EX1: X = numero de carros vendidos em um dia O experimento foi realizado no período de 300 dias X varia de 0 a 5 por histórico de vendas DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE EX1: X = numero de carros vendidos em um dia X Numero de dias f (X) /300 f(0) /300 f(1) /300 f(2) /300 f(3) /300 f(4) 5 3 3/300 f(5) 300 ( ) =( ) = + +()= 4

5 DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE EX1: X = numero de carros vendidos em um dia X Numero de dias f (X) f(x) f(x) /300 f(0) 0, /300 f(1) 0, /300 f(2) 0, /300 f(3) 0, /300 f(4) 0, /300 f(5) 0, soma soma A venda de 1 carro por dia é o evento mais provável Qual seria a probabilidade de vender 3 ou mais carros por dia? Resp: 0,19 DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE CONDIÇÕES NECESSARIA PARA FUNÇÃO DE PROBABILIDADE DISCRETA: 1) ( ) = 2) ( ) * Esta associada a probabilidade de ocorrência (só pode ser positiva) f (X) 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0, X 5

6 DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO UNIFORME DE PROBABILIDADE = n = número de valores que a variável aleatória pode assumir DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO UNIFORME DE PROBABILIDADE CONSIDERE O LANÇAMENTO DE UM DADO X = NUMERO QUE APARECE NA FACE VIRADA PARA CIMA X f(x) 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6 = = * Existem 6 possíveis valores para X 6

7 ESPERANÇA MATEMATICA (ou valor esperado) Aesperançadeumavariávelaleatóriaéasuamédia; Para variável discreta, a sua media não será media simples e sim uma média ponderada pela probabilidade de ocorrência. = = ( ) i = 0,1,..., n ESPERANÇA MATEMATICA (ou valor esperado) ** Utilizando o exemplo de vendas de automóveis... X f(x) 0 0,17 1 0,39 2 0,24 3 0,14 4 0,04 5 0,01 1,0 soma = =, +, + +, =, Por dia 7

8 ESPERANÇA MATEMATICA (ou valor esperado) ** para o exemplo do lançamento de um dado E (X) = 3,5 X f(x) X x f(x) 1 0,17 0, ,17 0, ,17 0, ,17 0, ,17 0, ,17 1,000 3,50 ESPERANCA VARIÂNCIA MEDIDA DE VARIABILIDADE OU DISPERSÃO PARA SINTETIZAR A VARIABILIDADE DE UM CONJUNTO DE DADOS E, NESSE CASO, PARA SINTETIZAR A VARIABILIDADE DOS VALORES DA VARIAVEL ALEATÓRIA VAR = = (( ( )) ( )) i = 0,1,..., n 8

9 VARIÂNCIA - cálculo ** Utilizando o exemplo de vendas de automóveis... X f(x) X x f(x) (X- E (X)) (X- E (X)) 2 (X- E (X)) 2 x f (X) 0 0,18 0,000-1,500 2,250 0, ,39 0,390-0,500 0,250 0, ,24 0,480 0,500 0,250 0, ,14 0,420 1,500 2,250 0, ,04 0,160 2,500 6,250 0, ,01 0,050 3,500 12,250 0,1225 1,500 1,250 soma soma Uma companhia está considerando uma expansão da fábrica que tornará possível à empresa produzir um novo produto. O presidente da empresa precisa decidir se a expansão será em média ou em grande escala. Existe uma incerteza em relação à demanda do produto, a qual pode ser baixa, média ou alta, com probabilidades de 20%, 50% e 30%, respectivamente. Considere que X e Y são as previsões de lucro da empresa em cada um dos cenários de expansão. Demanda EXEMPLO - APLICADO Média Escala Alta Escala X P(X) Y P(Y) Baixa 50 0,20 0 0,20 Média 150 0, ,50 Alta 200 0, ,30 a. Calcule o valor esperado para o lucro associado às duas alternativas de expansão. Que decisão é preferida para o objetivo de maximizar o lucro? b. Calcule a variância para o lucro associado às duas alternativas de expansão. Que decisão é preferida para o objetivo de minimizar o risco/incerteza? 9

10 RESOLUÇÃO Demanda média escala alta escala X P(X) Y P(Y) X*Pr(X) Y*Pr(Y) Baixa 50,00 0,20 0,00 0, Média 150,00 0,50 100,00 0, Alta 200,00 0,30 300,00 0, ESPERANCA X ESPERANCA Y a.calcule o valor esperado para o lucro associado às duas alternativas de expansão. Que decisão é preferida para o objetivo de maximizar o lucro? RESP: CENARIO DE MEDIA ESCALA RESOLUÇÃO (X - Media) 2 x Pr (X) (Y- Media) 2 x Pr (Y) , , VARIÂNCIA X VARIÂNCIA Y b. Calcule a variância para o lucro associado às duas alternativas de expansão. Que decisão é preferida para o objetivo de minimizar o risco/incerteza? RESP: CENARIO DE MEDIA ESCALA, também!!!! 10

11 DISTRIBUIÇÃO CONTINUA DE PROBABILIDADE 1) Para a variável aleatória discreta, a função de Probabilidade(f(X)) produz a probabilidade de a variável aleatória assumir um valor em particular; 2) Para a variável aleatória contínua, a contraparte da função de Probabilidade é a função de densidade de probabilidade, também expressa por f(x) função de densidade de probabilidade não produz probabilidade DIRETAMENTE A probabilidade de a variável aleatória continua assumir um exato valor, é zero; Aprobabilidadenessecasoseráobtidapelaáreasobográficodef(X).Essaáreaserá a probabilidade de a Variável aleatória continua X assumir um valor nesse intervalo. DISTRIBUIÇÃO CONTINUA DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO UNIFORME DE PROBABILIDADE SEMPRE QUE A PROBABILIDADE FOR PROPORCIONAL AO COMPRIMENTO DO INTERVALO, A VARIAVEL ALEATÓRIA SE ENCONTRA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA 11

12 EX: SUPONHA QUE X = TEMPO DE VOO DE UMA AVIAO QUE VAI DE A PARA B. SUPONHA QUE TEMPO DE VOO POSSA TER QUALQUER VALOR NO INTERVALODE120 A140MINUTOS.UMAVEZQUEAVARIAVELALEATORIAX PODE ASSUMIR QUALQUER VALOR DESSE INTERVALO, X É UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTINUA, E NÃO UMA DISCRETA. DIANTE DE DADOS DISPONIVEIS, PODEMOS CONCLUIR QUE A PROBABILIDADE DE TEMPO DE VOO NO INTERVALO DE 1 MINUTO QUALQUER TENHA A MESMA PROBABILIDADE DE TEMPO DE VOO EM OUTRO INTERVALO DE 1 MINUTO, TODOS CONTIDOS NO INTERVALO TOTAL DE 120 A 140 MINUTOS. CONSIDERA-SE QUE CADA UM DOS INTERVALOS DE 1 MINUTO É IGUALENTE PROVAVEL, DIZEMOS QUE A VARIAVEL ALEATORIA CONTINUA TEM UMA DISTRIBUIÇÃO UNIFORME DE PROBABILIDADE. ASSIM, A FUNÇÃO DE DENSIDADE DE PROBABILIDADE, A QUAL DEFINE A DISTRIBUIÇÃO UNIFORME DE PROBABILIDADE, CORRESPONDE A VARIAVEL ALEATORIA TEMPO DE VOO E: 1/20 para f (X) = 0 outro ponto qualquer DISTRIBUIÇÃO UNIFORME DE PROBABILIDADE A FÓRMULA GERAL PARA FUNÇÃO DE DENSIDADE UNIFORME DE PROBABILIDADE: f (X) = 1/(b a) para a 0 outro ponto qualquer EM RELAÇÃO A VARIAVEL ALEATORIA TEMPO DE VOO, a = 120 e b = 140 1/20 QUAL A PROBABILIDADE DO TEMPO DE VOO SITUAR-SE ENTRE120E130MINUTOS? RESP: 0,

13 () FORMA GENERICA DE CALCULO DA DISTRIBUICAO DE PROBABILIDADE UNIFORME CONTINUA = =, F(X)= () *USANDO O EXEMPLO DA VARIAVEL ALEATORIA TEMPO DE VOO -QUAL A PROBABILIDADE DO TEMPO DE VOO SITUAR-SE ENTRE 120 E 130 MINUTOS? 1/20 Função de densidade de probabilidade ESPERANÇA MATEMATICA (ou valor esperado) 13

14 COMO SERIA O CALCULO DA ESPERANÇA MATEMATICA PARA: PARA DISTRIBUICAO UNIFORME DE PROBABILIDADE DISCRETA??? Usando a formulação genérica do slide anterior... 14

15 *USANDO O EXEMPLO DA VARIAVEL ALEATORIA TEMPO DE VOO, a = 120 e b = 140 1/ O CALCULO GENERICO PARA A ESPERANDA SERIA: == () (+) = () = EXERCICIO PARA ENTREGAR A tabela ao lado é uma distribuição de probabilidade referente ao lucro projetado da MRA Company (X = lucro em milhares de dólares) para o primeiro ano de operação ( o valor negativo denota prejuízo). X f(x) ,10 0 0, , , ,10 200???? a)qual é o valor adequado para f (200)? Qual a interpretação desse valor? b)qualaprobabilidadedeamraserrentável? c)qual e a probabilidade de a MRA alcançar pelo menos USS100mil? d)calculeovaloresperadodalucrodaempresa. e) Calcule a respectiva variância. 15

16 RESULTADOS a 0,05 b 0,90 Considerando lucro zero c 0,40 d 55 e 5475 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANDERSON, D.; SWEENEY, D.J.; WILLIANS, T.A Estatistica aplicada a administração e economia. Ed. Thompson. 2ª ed. 597 p. cap6pgs205a209;cap5pgs169a178. HOFFMANN, R. Estatística para economistas cap6. 16