Les Estatística Aplicada II AMOSTRA E POPULAÇÃO

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1 Les Estatística Aplicada II AMOSTRA E POPULAÇÃO AULA 1 04/08/16 Prof a Lilian M. Lima Cunha Agosto de 2016 Estatística 3 blocos de conhecimento Estatística Descritiva Levantamento e resumo de dados Medidas associadas a variáveis quantitativas Análise bidimensional Probabilidades Propriedades Probabilidade condicional e independência Teorema de Bayes V.A discretas, contínuas e multidimensionais Inferência Estatística Inferência: população e amostra Estimação Testes de hipótese 1

2 POPULAÇÃO E AMOSTRA todos os elementos do grupo de interesse, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que possuem uma característica em comum POPULAÇÃO Ex: moradores de uma determinada cidade, região ou país, conjunto de alunos de uma escola, de árvores de uma região ou de peixes de um rio, peso de indivíduos, pelo tamanho dos peixes, pela altura de árvores. seres ou a objetos, como também aos atributos desses seres ou objetos. População: todos os estabelecimentos varejistas de um município. Amostra: cinqüenta estabelecimentos varejistas entrevistados para levantar preços de produtos de População cesta básica. Amostra População: todos os agricultores filiados a uma cooperativa que possuem máquinas agrícolas de grande porte. Amostra: trinta agricultores da cooperativa entrevistados sobre o uso dessas máquinas. 2

3 Porque estudar as amostras e não a População? ONEROSO DIFÍCIL EXECUÇÃO (Tempo/recurso) CRITÉRIOS PARA AMOSTRA (destruição do elemento) Descobrir características da população a partir da amostra Amostragem: medição de parte de uma população Erro de amostragem: diferença entre resultados da amostra e da população Tipos de amostra (simples, estratificada, etc) 3

4 SELEÇÃO DA AMOSTRA Amostra Aleatória Simples (AAS) -selecionar os elementos de forma que cada um deles tenha a mesma chance de ser selecionado; -Sorteio - Supor interesse em levantar dados de comercialização de um produto agrícola (preços e quantidades): listagem dos estabelecimentos que vendem o produto em questão, numerar esses estabelecimentos e depois fazer um sorteio utilizando fichas. Amostra aleatória simples -AAS Tabela de números aleatórios - pag 502 Morettin;Bussab Ex: Selecionar 3 nomes de uma lista de 90 pessoas: -enumerar de 01, 02,...90; - escolher 1 coluna e tomar os 3 primeiros números. 4

5 SOBRE AAS Uma amostra aleatória simples de tamanho n de uma população finita de tamanho N é uma amostra selecionada de tal maneira que cada amostra possível de tamanho n tenha a mesma probabilidade de ser escolhida Uma amostra aleatória simples de uma população infinita é uma amostra selecionada de tal maneira que : *cada elemento selecionado vem dessa população; *cada elemento é selecionado de maneira independente. EXEMPLO 1 (Bussab e Morettin, 2002) (problema 1, pag.262) Dê sua opinião sobre os tipos de problemas que surgiriam nos seguintes planos amostrais: (a) Para investigar a proporção dos operários de uma fábrica favoráveis à mudança do início das atividades das 7h para as 7h30, decidiu-se entrevistar os 30 primeiros operários que chegassem à fábrica na quarta-feira. Não Aleatoria (b) Mesmo procedimento, só que o objetivo é estimar a altura média dos operários. Aleatoria População Finita 5

6 EXEMPLO 2 Mc Donald s (Anderson et al pg241): -distribuiu cupons de desconto; - ao apresentar o cupom de desconto, o cliente respondia um questionário sobre perfil do consumidor; -apresentação de cupons de forma aleatória e independente (sem viés de grupo). Aleatoria População Infinita EXEMPLO 3 (Hoffmann, 2006) (exercício 9.2, pag.140) Suponha que, para analisar a receita das famílias dos empregados de certa indústria, um pesquisador selecionou uma amostra aleatória de empregados cujos nomes constavam das folhas de pagamento das firmas dessa indústria. O procedimento é correto? Explique. Não Aleatoria População Finita 6

7 Amostra estratificada -garantia de que da amostra façam parte tipos diferentes de estabelecimentos (supermercados, armazéns, quitandas, etc; -Dividir os estabelecimentos em grupos de acordo com o tipo, e depois fazer uma amostragem por sorteio (amostra aleatória simples) para cada um desses grupos; -Recomendável que a amostragem estratificada seja feita de forma proporcional. Por ex., se a população é composta de 100 estabelecimentos dos quais 20 são supermercados (20%), 30 são armazéns (30%) e 50 são quitandas (50%), em uma amostra de 30 elementos devemos selecionar 6 supermercados (20%), 9 armazéns (30%) e 15 quitandas (50%). Amostra Agrupada/conglomerados Separa a população em partes ou conglomerados, em que cada um representa a população. Seleciona-se um ou mais conglomerados ao acaso e realiza-se um censo dentre de cada um. Ex: Amostra de estudantes: utiliza-se amostra de escolas; amostra de eleitores: utiliza-se numero de domicílios 7

8 Amostra Sistemática Seleciona-se indivíduos sistematicamente. Ex: Escolher 10 empregados do total de 70. Supor a lista de empregados em ordem alfabética, a cada 7 empregados, escolhe-se um, totalizando 10. ESTATISTICAS E PARAMETROS PARAMETRO: medida que descreve uma característica da população ESTATÍSTICA ou ESTIMADOR: medida que descreve uma característica da amostra ESTIMATIVA: valor numérico obtido pelo estimador (ou estatística) 8

9 EXEMPLO 4 Decida se o valor numérico descreve um parâmetro populacional ou uma estatística amostral estatistica parâmetro estatistica 9

10 Propósito fundamental da Inferência Estatística Desenvolver estimativas e testar hipóteses a respeito dos parâmetros populacionais, usando a informação contida em uma amostra (Anderson et al 2007) Distribuição Amostral 10

11 EXEMPLO 5 -Empresa com 2500 gerentes -1 Amostra com 30 gerentes (n) Avaliação do salário médio de gerentes Sobre a população de gerentes µ = US$ σ = US$4.000 Para estimar valor do parâmetro de uma população calcula-se uma estatística amostral Salario Anual X 1 = ,30 X 2 = ,90... X 30 = ,10 X = n i= 1 n X ( X i X ) S = n 1 i 1 AMOSTRA = $ = $3.348 Supor selecionar 500 amostras com 30 elementos (gerentes) cada uma... 11

12 Número das amostras Média dos salários das amostras Cada amostra com n=30 *A média amostral X pode ser uma variável aleatória X possui valor médio, desvio e distribuição de probabilidade **A distribuição da probabilidade de X é distribuição amostral *** Histograma desses 500 valores de X fornece uma aproximação da distribuição amostral A média das variáveis aleatórias X Corresponde ao valor esperado de X Número das amostras Média dos salários das amostras A média das médias dos Salários vale $ Que coincide com o valor da média de salarios da população µ 12

13 Definição: Distribuição amostral é a distribuição de probabilidade de uma estatística (ou de todos os valores possíveis da média amostral X População Amostras Funções amostrais Distribuição amostral Inferência Distribuição Amostral da Média Seja X uma v. a. de uma população com média µ e 2 variância σ da qual se extrai uma amostra aleatória de n elementos. Sabe-se que: X X representa a média amostral. Cada X i tem a mesma distribuição da população, com, E(X i ) = µ e Var(X i )= X 1, X 2,..., X n são independentes. Então, 2 σ E( X ) = µ e Var( X ) = n n i= = 1 n i σ 2 e 13

14 µ = US$ σ 2 = US$ POPULAÇÃO E ( X ) = µ = US$ S 2 = = ,3 Médias das MÉDIAS AMOSTRAIS EXEMPLO 6 Moretin pg 263 e 267 Considere a coleta de todas as amostras possíveis de tamanho (n=1) e (n=2), com reposição, da população finita {1,3,5,5,7}. Sendo a variável aleatória X : valor assumido pelo elemento na população. a)determine a distribuição de probabilidade de X nos dois casos (n=1 e n=2); b)determine a média e a variância populacional (nos dois casos (n=1 e n=2); c)construa os histogramas. O que se observa com os histogramas e os valores calculados no item b, com relação ao Teorema do Limite Central (TLC)? 14

15 Exercício 1 - ENTREGAR Considere a população {1, 3, 5, 7}. Defina a variável X como o valor assumido pelo elemento na população. a) Determine a distribuição de probabilidade de X; b) Determine a média e a variância populacional; c) Suponha que você selecionou todas as possíveis amostras de tamanho 2, com reposição, e calculou a média de cada amostra. Determine a distribuição amostral da média. Encontre o valor médio, a variância e o desvio padrão da média das amostras; d) Construa os histogramas. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Bussab, W.º; Morettin, P.A. (2002). Estatistica Básica, Editora Saraiva, São Paulo Brasil Cap 10 pgs Anderson, et al (2007). Estatistica Aplicada à Administração e Economia. Cap 7 pgs Hoffmann, R. (2006) Estatistica para Economistas, Pioneira, Thomson Learning, São Paulo Brasil Cap 9 15