Probabilidade e Estatística

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1 IFBA Probabilidade e Estatística Versão 1 Allan de Sousa Soares Graduação: Licenciatura em Matemática - UESB Especilização: Matemática Pura - UESB Mestrado: Matemática Pura - UFMG Vitória da Conquista - BA 015 1

2 Aula 17 de 1, 5 kg, determine o tamanho populacional: Pesquisas estatísticas, em geral, são realizadas estudandose uma amostra extraída da população que se pretende estudar. Fatores como tempo para a realização da pesquisa e seu custo tornam, na grande maioria das vezes, inviável a) considerando uma população infinita e um nível de confiança de 95, 5%; b) considerando uma população finita de 600 peça e um o estudo de toda a população. Contudo, pode-se ainda nível de confiança de 95, 5%; ter boa representatividade tomando-se parte da população (amostra). Para tanto precisaremos observar: a) O tamanho da amostra; b) A composição da Amostra. c) considerando uma população infinita e um nível de confiança de 99%; d) considerando uma população finita e um nível de confiança de 99%; Solução: ( ).10 a) 1,5 = Dimensionamento da Amostra b) ,5 (600 1)+.10 = 138 ) O dimensionamento dependerá de dois fatores: c) = 94 a.1) o tipo de variável: contínua ou nominal/ordinal; a.) o tamanho da população: grande). finita ou infinita(muito Para variáveis contínuas e populção infinita, temos: ( ) Z.σ d Para variáveis contínuas e populção finita, temos: onde N é o tamanho populacional; Z.σ.N d (N 1) + Z σ Z é abscissa da curva normal padrão; σ é o desvio padrão populacional; d é o erro amostral, expresso na unidade da variável. O erro amostral é a máxima diferença que o investigador admite suportar entre µ e x, isto é, x µ < d. Em alguns casos, não temos o conhecimento de σ para a determinação amostral. Neste caso temos alguns procedimentos: i) Assuma que σ aplitude/4; (TRIOLA, 013, pg. 87); ii) Comece o processo de coleta da amostra sem o conhecimento de σ e, com base em vários dos primeiros valores, calcule o desvio-padrão normal s e use-o no lugar de σ. Observe que o valor de σ pode ser melhorado fazendo o tamanho amostral se aproximar do ideal à medida que mais dados vão sendo analisados; iii) Estime o valor de σ usando os resultados de algum outro estudo feito anteriormente. o desvio-padrão é de 10 kg. Admitindo um erro amostral d) (, ,5, ,5 (600 1)+,57.10 = 198 Observação. Observe como o nível de confiança e o tamanho da população finita/infinita modificam os tamanhos amostrais! Para variáveis nominais ou ordinais e população infinita, temos: Z ˆpˆq d Para variáveis nominais ou ordinais e população finita, temos: onde N é o tamanho populacional; Z ˆpˆqN d (N 1) + Z ˆpˆq Z é a abscissa da curva normal padrão; ˆp é estimativa da verdadeira proporção de um dos níveis da variável escolhida; ˆq = 1 ˆp; d é o erro amostral, expresso na unidade da variável. O erro amostral é a máxima diferença que o investigador admite suportar entre µ e x, isto é, p ˆp < d. Em alguns casos, não temos qualquer estimativa de ˆp. Neste caso, tomamos ˆpˆq como 0, 5, isto é, usamos as fórmulas: Z.0, 5 d Z.0, 5 d (N 1) + Z.0, 5 Exemplo 1. Suponha que a variável escolhida num estudo seja o peso de certa peça. Pelas especificações do produto, Exemplo 3. Suponha que a variável escolhida num estudo seja a proporção de eleitores favoráveis ao candidato X.

3 Admita a população infinita e que se deseje um nível de confiança de 99% e um erro amostral de %. Determine o tamanho amostral: a) admitindo uma população infinita e que o investigador suspeite que a porcentagem de eleitores favoráveis seja de 30%. b) admitindo uma população finita de 0000 eleitores e que o investigador suspeite que a porcentagem de eleitores favoráveis seja de 30%. c) admitindo uma população infinita e que o investigador não tenha qualquer informação sobre a proporção de eleitores favoráveis. d) admitindo uma população finita de 0000 eleitores e que o investigador não tenha qualquer informação sobre a proporção de eleitores favoráveis. Solução: a),57.0,30.0,70 0,0 = 3468;,57 b).0,30.0, ,0 (0000 1)+,57.0,30.0,70 = 956 c),57.0,5 0,0 = 419,57 d).0, ,0 (0000 1)+,57.0,5 = 34 de qualquer linha da tabela de números aleatórios, fazse o sorteio, ou seja, retiram-se conjuntos de três algarismos para se escolherem os elementos que irão compor a amostra. Assim, imagine que a sequêcia dos dígitos eleatórios seja: Dessa forma, os números sorteados são Para entender melhor veja (FONSECA, 1996, pg.318). No nosso exemplo foi tomada a segunda linha correspondente aos seguintes dígitos: [385][55 9][555][4 3][886] [597][80... Observação 5. Se o número sorteado superar o maior número dos elementos rotulados, abandona-se o número sorteado, prosseguindo o processo. Se o número for repetido, convém abandoná-lo. Se os dígitos aleatórios de uma linha não são suficientes váa para a próxima. 0. Composição da Amostra - Métodos Probabilísticos Um método de amostragem é dito probabilístico se cada elemento da população tenha a mesma probabilidade de ser selecionado, isto é, em uma população de N indivíduos, a probabilidade de qualquer indivíduo ser selecionado deve ser 1/N. Isso garante cientificamente a representatividade de uma amostra a fim de se realizar induções ou inferências sobre a população. Amostragem Sistemática: Trata-se de uma variação da amostragem aleatória simples, conveniente quando a população está ordenada segundo algum critério, como fichas em um fichário, listas telefônicas etc. Calcula-se o intervalo de amostragem N/n aproximando-o para o inteiro mais próximo a. Utilizando a tábua de números aleatórios, sorteia0se um número x entre 1 e a, formandose a amostra dos elementos correspondentes aos números x, x + a, x + a,... Exemplo 6. Por exemplo, seja N = 1000, 00. Amostragem Aleatória Simples: É o processo mais Logo, elementar e frequentemente utilizado. Atribui-se a cada elemento da população um número distinto (se a população Imagine que três seja o número sorteado entre 1 e 5. Por- a = N = 5 já for numerada utilizam-se esse rótulos). Efetuam-se sucessivos sorteios até completar-se o tamanho da amostra..., 998 irão compor a amostra. tanto, os elementos da população numerados por 3, 8, 18, n. Nestes sorteios utilizam-se as chamadas tábuas de Amostragem Estratificada: Subdividimos a população, números aleatórios que consistem em tabelas que apresentam sequências dos dígitos 0 a 9 distribuídos aleatori- em pelo menos dois subgrupos (ou estratos), de modo que sujeitos no mesmo subgrupo compartilhem as mesmas características e, em seguida, extraímos uma amostra amente. Exemplo 4. Suponhamos uma população com N = 1000 aleatória simples de cada subgrupo. As variáveis de estratificação mais comuns são: classe social, idade, elementos, numerada de 000 a 999. Escolhendo uma posição sexo, 3

4 profissão... ou qualquer outro atributo que revele os estratos dentro da população. Amostragem por Conglomerado: Primeiro dividimos a área da população em seções (ou conglomerados), depois selecionamos aleatoriamente alguns desses conglomerados e, a seguir, escolhemos todos os membros desses conglomerados selecionados. Exemplo 7. Num levantamento da população de uma cidade, podemos dispor do mapa indicando cada quarteirão e não dispor de uma relação atualizada dos seus moradores. Pode-se, então, escolher uma amostra dos quarteirões e fazer uma contagem completa de todos os que residem naqueles quarteirões sorteados. Observação 8. É fácil confundir amostragem estratificada com a amostragem por conglomerado uma vez que ambas envolvem a formação de subgrupos da população. Porém, a amostragem por conglomerado usa todos os membros de uma amostra de conglomerados, equanto que a amostragem estratificada usa uma amostra de membros de todos os extratos. Para maiores detalhes veja o Exemplo 3 (TRIOLA, 013, pg.3). 0.3 Exercícios 1) Dada a seguinte população (renda em $ 1000) tamanho obtido no item a); c) Agrupe os elementos da amostra em classe; d) Calule sua média; e) Calcule o desvio-padrão amostral; f) Calcule a média da população e verifique se µ x < d. g) Repita os itens b), c), d), e) e f) considerando uma outra amostra simples. ) A Internet está nos afetando de muitas maneiras diferentes, de modo que há inúmeras razões para se estimar a proporção de adultos que a usam. Suponha que o gerente de uma E-Bay deseje determinar a porcentagem atual de adultos dos Estados Unidos que usam a Internet. Quantos adultos devem ser entrevistados apara se ter 95% de confiança em que a porcentagem amostral esteja em erro não superior a três pontos percentuais (d = 3% = 0, 03)? a) Use o resultado de uma pesquisa do Pew Research Center: Em 006, 73% dos adultos americanos usavam Internet. b) Suponha que não tenhamos nenhuma informação prévia que sugira um possível valor da proporção. 3) Suponha que desejamos estimar o QI médio para a população de estudantes de estatística. Quantos estudantes de estatística devem ser selecionados aleatoriamente para os testes de QI, se desejamos estar 95% confiantes em que a média amostral estará a menos de três pontos do QI média populacional (d = 3)? Assuma que o desvio padrão populacional seja σ = 15 (TRIOLA, 013, pg ) a) Calcule o tamanho de uma amostra para se estimar a média, sendo d = $ 000, σ = 7000 e 1 α = 95%; b) Retire uma amostra aleatória simples considerando o REPOSTAS: 1.1) a) 34 b) Partindo da terceira linha da tabela de dígitos aleatórios (FONSECA, 1996, pg. 318) e considerando os itens do exercício sendo postos na ordem 9 primeiro, 06 segundo,... temos a seguinte amostra (confira):

5 c) Classe F i d) x 18, 1 (com base na tabela) e) S 8, 7 (com base na tabela) f) µ = 19, 6 18, 1 19, 6 = 1, 5 < g) mãos a obra!!! ) a) 84 b) ) amostra composta por 97 estudante entre os milhares de estudantes de estatística. 5