Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr. Departamento de Estatística PPGEMQ / PPGEP - UFSM

Transcrição

1 Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr. Departamento de Estatística PPGEMQ / PPGEP - UFSM 1

2 Na prática da pesquisa em geral, o tamanho da amostra parece sintetizar todas as questões relacionadas ao processo de amostragem. E, às vezes, esse aspecto ainda é traduzido pela clássicas questões: Que percentagem da população deverá ser observada? 5 ou 10% será significante?

3 Determinação do Tamanho da Amostra Em pesquisas, uma etapa de grande importância é a determinação do tamanho da amostra que será utilizado para o levantamento dos dados. 3

4 Sabemos que conhecido o nível de confiança, o qual deve ser fixado em função do acerto que se deseja ter na estimação por intervalo, a medida que aumentamos neste nível, os intervalos passam a ter amplitudes maiores, o que implica em perda de precisão. 4

5 O ideal seria termos alto nível de confiança e pequena amplitude (logo teríamos grande precisão), mas necessitaríamos de uma amostra muito grande, pois, fixado n, confiança e precisão variam em sentidos opostos. 5

6 Depende de três fatores: 1º)Nível de confiança : determinado pelo pesquisador; º)Precisão (e0): o erro amostral corresponde à diferença entre as estimativas amostrais e os parâmetros populacionais, ocorrendo em qualquer tipo de pesquisa ou experimento; 3º)Tipo de Investigação: depende das características populacionais a serem investigadas. 6

7 Cálculo para mínimo da o tamanho amostra Um primeiro cálculo do tamanho da amostra pode ser feito, mesmo sem conhecer o tamanho da população, da seguinte forma: n0 Onde: n0 e0 1 e0 primeira aproximação para o tamanho da amostra. erro amostral tolerável 7

8 Quando se conhece o tamanho da população o cálculo anterior pode ser corrigido: N.n 0 n N n0 N tamanho da população n tamanho da amostra 8

9 Exemplo Planeja-se um levantamento por amostragem para avaliar diversas características da população das N=00 famílias moradoras de um certo bairro. Estas características (parâmetros) são especialmente do tipo percentagens, tais como, a percentagem de famílias que usam programas de alimentação popular, a de famílias que moram em casas próprias,... Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra aleatória simples, tal que possamos admitir, com alta confiança, que os erros amostrais não ultrapassem 4% (e0= 0,04)? 9

10 Para estimar a média populacional e0 = Semi-amplitude do intervalo de confiança, neste caso da média. e0 Z. n S ou e0 t. n 10

11 Tamanho da amostra para estimar a média populacional com variância populacional conhecida: População Infinita z n e0 População Finita z N n z e0 N 1 11

12 Exemplo Suponha que a variável escolhida num estudo seja o peso de certa peça e que a população é composta de 600 elementos. Pelas especificações do produto, o desvio-padrão é de 10 kg. Admitindose um nível de confiança de 95,5% e um erro amostral de 1,5 kg, calcule o tamanho da amostra. 1

13 com variância populacional desconhecida: Substituí-se pela variância que é obtida através de uma amostra piloto, de tamanho n1. População Infinita t, n e Onde 0 S População Finita t s N, n e 0 ( N 1) ( t, ) s = n1-1 graus de liberdade 13

14 Considerações após o cálculo do tamanho da amostra: Se n < n1: a pré-amostra selecionada, de tamanho n1, foi suficiente para garantir a precisão desejada. Se n >n1: deve-se completar a pré-amostra, acrescentando elementos até atingir o valor n que garanta a precisão desejada. 14

15 Observações: Se for desconhecido, o valor de S deve ser calculado numa amostra piloto de n elementos e com (n -1) gl. t Se n < n estimação; a amostra piloto já é suficiente para Se n > n retira-se da população os elementos amostrais necessários para estimar. Como a variância aparece no numerador das expressões, concluímos que quanto mais heterogênea for a população em estudo, maior deverá ser n. 15

16 Exemplos 1) Qual o tamanho da amostra necessária para se estimar a média de uma população infinita cujo desvio padrão é 4mm, com 98% de confiança e precisão de 0,5mm? 16

17 ) Foram feitas 0 medidas do tempo gasto em minutos para se fabricar um componente industrial,obtendo-se: 13,15,1,14,17,15,16,15,14,16,17,14,16,15,15,13,14,15, 16,15. Esses dados são suficientes para estimar o tempo médio gasto nessa fabricação, com precisão de 30 segundos e 95% de certeza? Caso negativo, qual o tamanho da amostra adicional necessária? 17

18 Tamanho da amostra se a variável for nominal ou ordinal de população finita População Infinita z p * p * n e0 População Finita z p*q* N n e0 (N 1) (z ) p*q* Onde: p* é a proporção amostral que pode ser obtida através de um pré-amostra de n1 elementos e q* =(1-p) 18

19 Exemplo Suponha que a variável escolhida num estudo seja a proporção de eleitores favoráveis ao candidato X e que o investigador tenha elementos para suspeitar que essa porcentagem seja de 30%. Admita a população infinita e que se deseja um nível de 99% e um erro amostral de %. Calcule o tamanho da amostra. 19

20 Observações: 1) Quando não se tem informação a respeito de p*, usa-se p* = q* = 50% o que levará a um tamanho de amostra superavaliado mas garantindo a precisão desejada, embora podendo ter como conseqüência, aumentos no custo e no tempo de amostragem e consequentemente na pesquisa. ) Se p for próximo de 0 ou 1 corre-se o risco de se dimensionar uma amostra maior do que o necessário. 0

21 Observações: 3) Se soubermos com segurança que p p 0 0,5 ou 0,5 p0 p, pode-se usar p0 obtendo-se uma amostra suficiente, pois p( 1 p ) p0 ( 1 p0 ). 1

22 Exemplos 1) Qual o número de jogadas de uma moeda é suficiente para se estimar a proporção de caras obtidas, com precisão de 3% e confiança de 90%?

23 ) Em uma pesquisa de mercado bem conduzida, 57 das 150 pessoas entrevistadas afirmaram que seriam compradoras de certo produto a ser lançado. Essa amostra é suficiente para estimar a proporção real de futuros compradores, com uma precisão de 0,08 e confiança de 95%? 3

24 Cálculo do tamanho da amostra quando se deseja fazer um teste de diferença de médias para amostras dependentes ( t ; n 1 t ; n 1 ) n x1 x S.D EPD n EPD - erro padrão da diferença - erro tipo II (sua probabilidade) 4

25 Quando o desvio padrão é desconhecido ( t ; n 1 t ; n 1 ) n ( x1 x ) S 1 S EPD n1 n Onde: S1 var iância da amostra piloto 1 S var iância da amostra piloto x1 média da amostra piloto 1 x média da amostra piloto EPD erro padrão da diferença 5

26 Cálculo do tamanho da amostra quando se deseja fazer um teste de duas médias para amostras independentes com desvios-padrões desconhecidos mas iguais ( t ; n1 1 t ; n 1 ).( EPD ) n ( x1 x ) ( n1 1 ).S 1 ( n 1 ).S EPD n1 n 1 1. n1 n 6

27 Cálculo do tamanho da amostra quando se deseja fazer um teste de duas médias para amostras independentes com desvios-padrões desconhecidos e desiguais ( t ; n1 1 t ; n 1 ).( EPD ) n ( x1 x ) EPD S1 S n1 n 7